Matematica: a cosa serve?

A cosa serve la matematica?

Matematica e cultura

Un viaggio nelle correlazioni tra «la regina delle scienze» e altre realtà apparentemente distanti

Annamaria Cavallo

Liceo Scientifico “Leonardo Da Vinci”, Fasano (BR)

Anno scolastico 2007/2008

Annamaria Cavallo

A cosa serve la matematica? Matematica è cultura

Liceo Scientifico “Leonardo Da Vinci”, Fasano (BR)

Anno scolastico 2007/2008

Classe 5^ A

Tesina di Annamaria Cavallo

Discipline analizzate:

• Italiano
• Storia
• Filosofia
• Storia dell’arte
• Fisica
• Matematica
• Latino
• Scienze della terra
• Inglese
• Francese
• Ed. fisica

Scuola di Atene.

Raffaello, L'affresco rappresenta dei celebri filosofi antichi intenti a dialogare tra loro, all'interno di un immaginario edificio classico. Nel particolare Euclide.

2 Annamaria Cavallo

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V.V. Kandinskij, Punte nell’arco. 1927. Parigi P. Klee, Senecio, 1922. Basilea, Kunstmus.

Indice

Introduzione

Italiano: incontri di Dante con la matematica

1

1.1 Numerologia

1.2 Aritmetica

1.3 Logica

Calcolo delle probabilità

1.4

1.5 Geometria

1 Uno, cento, mille racconti

1.6 La sestina lirica

1.7 La letteratura combinatoria

1.8 I tarocchi: una macchina narrativa

Matematica: derivate delle funzioni di una variabile e frattali

2

2.1 Derivate

2.2 Frattali

2.3 Fiocco di neve di Koch

3 Annamaria Cavallo

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2.4 Immagini della natura

2.5 La curva di Hilbert

2.6 La bellezza dei frattali

2.7 I frattali in borsa

Filosofia: filosofia della logica e logica matematica

3

3.1 Bertrand Russell

3.2 Logica delle proposizioni

La natura degli enunciati

3.3

3.4 Come è formata una proposizione atomica?

3.5 Le descrizioni definite

3.6 La teoria di Peano

Il paradosso del barbiere

3.7

3.8 L’ABC della relatività

Fisica: meccanica relativistica

4

4.1 La relatività galileiana

La relatività ristretta

4.2

4.3 La relatività generale

Scienze della terra: la relatività e l’universo

5

5.1 L’evoluzione di una stella come il sole

5.2 Stelle di neutroni e buchi neri

5.3 Alcune applicazioni della relatività nell’universo

5.4 L’universo in espansione

5.5 Dalla terra all’universo in tre momenti

5.6 Le coniche... in orbita

Storia: la crittografia nella seconda guerra mondiale

6

6.1 La crittografia

6.2 La seconda guerra mondiale

6.3 Storia di Enigma

4 Annamaria Cavallo

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Storia dell’arte: da Escher a Picasso

7

7.1 Maurits Cornelis Escher

7.2 Escher matematico

7.3 Arte al cubo: lo sconvolgimento dei canoni pittorici

La quarta dimensione

7.4

7.5 Due fasi del Cubismo

7.6 Kandinskij

Piet Mondrian

7.7

Latino: Vitruvio

8

8.1 La vita

8.2 De Architectura

L’uomo vitruviano

8.3

Francese: le mathématiques

9

9.1 Descartes

9.2 Fermat

Inglese: “Principia Mathematica” by Bertrand Russell

10

Ed. fisica: la matematica nello sport

11

11.1 Pallone da calcio

11.2 Lo sci

Il cambio della bicicletta

11.3

11.4 Matematica e Formula 1

Conclusione

Bibliografia

Conferenze

Sitografia

Ringraziamenti

5 Annamaria Cavallo

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Introduzione

Perché ho deciso di impostare questo percorso sulla matematica?

Nel corso del mio ciclo di istruzione superiore, frequentando un liceo scientifico, ho dovuto “fronteggiare” per cinque anni le applicazioni, i teoremi e le formule della matematica. È stato nella mia scuola che a primo impatto, grazie anche alla bravura dei docenti, mi sono accorta della sua bellezza, scoprendo una disciplina affascinante e travolgente. Circa un anno fa, dopo la lettura del saggio “Introduzione alla filosofia matematica”, ove Bertrand Russell parla dei fondamentali della matematica (che cosa sono i numeri, che cos’è l’infinito, quali metodi si usano per dimostrare un teorema) non credo di aver compreso tutto, ma sono rimasta sicuramente entusiasta. Alla fine ho deciso di iscrivermi il prossimo anno al corso di laurea in matematica. Molti avranno vissuto questa fase importantissima della vita, dove si prova un senso di libertà, ci si trova davanti a vie immense spalancate sul futuro, tutte ugualmente percorribili avendo tante alternative. Ebbene, anche all’interno della matematica è così.

Nell’ambito di questo mio lavoro cerco di dimostrare come la matematica sia parte della cultura in generale, e abbia quindi attinenza con la filosofia, la musica, la pittura, la letteratura, le scienze, la teologia… La matematica è difficile ma bella e probabilmente è bella anche perché è difficile. Questa affermazione è stata spesso considerata dalla maggior parte dei miei amici studenti, coetanei e non, come una provocazione e difatti contestata, ma quando si capisce una teoria matematica, si coglie il significato di un risultato; o anche, quando si riesce a risolvere un problema impegnativo, si prova grande soddisfazione e ci si sente orgogliosi di se stessi. «La regina delle scienze» oggi pervade quasi ogni disciplina possibile. Non mi riferisco solo alla fisica, alla chimica, all’ingegneria, all’economia, ma anche alle scienze della vita. Da Dante ai medici, da Russell allo sport, tutto è armoniosamente collegato sotto il segno della matematica.

Essa è molto simile alla musica: Mozart asseriva di vedere le sinfonie compresse in un punto. L’unica cosa che doveva fare – diceva – era dispiegarle. Questo è quello che succede anche nella matematica. Dimostrare, come rivela l’etimologia stessa della parola, è rivelare un prodigio, mostrare un portento, un qualcosa di meraviglioso. A pensarci bene questo aspetto è quasi più vicino all’arte che alla scienza; è davvero possibile lasciarsi affascinare dalla bellezza del ragionamento. La matematica inoltre insegna a pensare in modo razionale, perché è la forma più pura di razionalità, in un mondo che è completamente irrazionale.

Rifacendoci al discorso sulla cultura in generale, ci accorgiamo, dunque, che in qualunque arte c’è una componente razionale, ispirata alla matematica: anche nella pittura, da Klee a Kandinskij, o nella musica, da Bach a Schönberg. In definitiva, la matematica è dappertutto, e vale davvero la pena di studiarla, per capire meglio non solo il mondo tecnologico nel quale viviamo, ma anche l’intera cultura e quindi il mondo umanistico. E, naturalmente, per imparare a pensare con la propria testa e a non diventare schiavi di una società che vorrebbe dominarci attraverso l’irrazionale che rischia altrimenti di sommergerci.

La matematica è cultura. E la cultura rende liberi. Annamaria Cavallo

6 Annamaria Cavallo

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Incontri di Dante con la matematica

«Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come bruti, ma per seguire virtute e conoscenza.»

Dante Alighieri (ritratto di Sandro Botticelli)

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L’approccio ad uno dei testi letterari più ammirati del panorama artistico mondiale rivela sin dai primi canti il genio dell’autore, sorprendente considerando il contesto culturale dell’epoca. In questo quadro bene si inserisce una delle caratteristiche peculiari della Commedia: la polisemia, ossia la ricchezza inesauribile di significati collegati alla stretta interpretazione del testo. È pacifico che in un qualunque altro testo non letterario a prevalere sia la denotazione, cioè il significato letterale. Invece, e la Commedia rappresenta il non plus ultra del genere, nell’opera letteraria, il testo assume un ruolo connotativo, richiamando l’insieme di ulteriori significati che sovente non coincidono con quelli letterari ma sono più importanti e che di tanto in tanto possono essere evocati da piccoli elementi del testo stesso. La connotazione, che è figura e anche ricerca, rappresenta una tra le tante chiavi interpretative che ci consentono di penetrare nel microcosmo della letteratura, che può apparire estraneo alla dimensione della vita pratica, ma in realtà esprime l’essenza più autentica dell’uomo, ossia il suo mondo spirituale. Andrea del Castagno, ritratto di Dante.

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Dante Gabriel Rossetti, Paolo e Francesca

1.1 Numerologia

Sono molteplici gli studi dedicati all’analisi sulla presenza della matematica nelle opere di Dante e nella Divina Commedia in particolare.

La Commedia, infatti, segnò il destino di Dante scrittore e quello nostro: del grande pubblico di lettori ed interpreti a cui egli stesso si rivolgeva nella sua opera. Nel tempo in cui visse Dante l’aspetto matematico dell’universo veniva studiato soprattutto come ramo della filosofia. Ecco alcuni numeri che costituiscono la struttura dell’opera dantesca:

1 e 3 sono numeri di fondamentale importanza, i quali si riconducono naturalmente a Dio, all’assoluto e alla perfezione. Il 3 rimanda alla Trinità cristiana. Ma tripartito è anche il male, il peccato, l’inferno e quindi il fiume Acheronte. A parte il primo canto, che è il prologo dell’opera, seguono 33+33+33 canti scritti in terzine. Il 9 era considerato un numero sacro nel medioevo e rappresenta la rinascita, il rinnovamento, l'invenzione e la crescita attraverso l'ispirazione divina poiché quadrato del numero 3. I canti sono 100, numero perfetto perché potenza di 10, a sua volta connesso all’1 Divino.

4 è il numero che rappresenta gli elementi primari da cui tutte le cose sono create: aria, acqua, terra e fuoco. Inoltre 4 sono le morti simboliche di Dante nella Divina Commedia: sviene nella Selva Oscura, precipita al piano dell’Acheronte, cade «come corpo morto cade» vinto, davanti agli spiriti di Paolo e Francesca, cade infine, nel Purgatorio prima del Lete.

Vi sono 4 terremoti, 4 ruine e 4 fiumi. Anche 4 sono le volte in cui sorride Virgilio.

Il 5 viene utilizzato da Dante per indicare gli aspetti maligni delle cose: la Luna compie 5 cicli prima che Ulisse coli a picco e 5 sono gli eretici dalle laide colpe.

Il 7 è il numero della perfezione umana, il numero dei giorni della settimana (sei giorni più il dies dominicus), dei sacramenti, ma anche in connotazione negativa il numero dei sette vizi capitali.

70, per concludere, è il numero della vita perfetta (da cui la perifrasi dantesca che, nel primo verso del poema, indica i trentacinque anni di età del poeta).

Questi sono soltanto alcuni piccoli riferimenti della presenza corposa di numeri nascosti tra le terzine dantesche.

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1.2 Aritmetica

All’età di 25 anni Dante si avvicina al mondo della filosofia ed in particolare a Boezio, nella sua duplice veste di traduttore delle opere di Euclide e valente matematico, autore di pregevoli trattati di geometria e di aritmetica. Dante inoltre studia a Firenze, terra di maestri d'abaco di risapute capacità. Ciò precisato fa comprendere i numerosi riferimenti matematici presenti nell'opera, segno di vasta e specifica conoscenza della materia.

Un passo della Divina Commedia in cui si può analizzare un riferimento all’aritmetica si trova in Paradiso XV 55-57 dove Cacciaguida racconta a Dante come era la Firenze dei suoi tempi. Cacciaguida, illustrazione di Gustave Doré

Tu credi che a me tuo pensier mei

da quel ch'è primo, così come raia

da l'un, se si conosce, il cinque e 'l sei

“Tu credi che il tuo pensiero discenda a me da Dio, così come il cinque e il sei derivano dall’unità, se essa è conosciuta”.

E’ noto, infatti, che in matematica si possono costruire tutti i numeri naturali a partire dal primo. Il numero naturale n è il successivo n+1 mentre il numero naturale n è il suo precedente n-1. La notazione simbolica “n” è stata utilizzata dai matematici, però, solo di recente. Per Dante, invece, il cinque e 'l sei indicano numeri generici successivi. D’altro canto anche Euclide quando nella sua opera “Elementi” formula la prima rappresentazione organica e completa della geometria e vuole considerare un numero generico di numeri primi ne prende tre. Alcuni critici hanno esageratamente visto in questa terzina un’anticipazione della teoria di Giuseppe Peano il quale dimostrerà che è possibile costruire l’intera teoria dei numeri naturali partendo da tre concetti fondamentali (zero, numero e successore) e da 5 assiomi.

Un altro riferimento all’aritmetica è quello che si trova in Paradiso XXVIII 91-93 dove Dante affronta l’analisi delle gerarchie angeliche:

L'incendio suo seguiva ogni scintilla

Ed eran tante, che 'l numero loro

Più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla.

Ogni scintilla, e qui si parla di angeli numerosi come scintille, girano nel cielo. Questi non si contano ad uno ad uno, ma a mille a mille. Il numero totale è più grande della progressiva duplicazione degli scacchi. Si allude alla leggenda di origine araba secondo la quale l'inventore degli scacchi, Sissa Ebu Daher, presentò al re di Persia il nuovo gioco non appena ideato. Il re, apprese le regole, ne fu subito entusiasta e chiese al suo inventore quale dono desiderasse come ricompensa. 10 Annamaria Cavallo

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Con apparente umiltà Sissa Ebu Daher, che indubbiamente doveva conoscere assai bene la matematica ed i calcoli sull’elevamento a potenza, chiese che gli fosse donato unicamente un poco di grano per il bisogno suo e della sua famiglia. Precisamente chiese solo un chicco di grano per il primo riquadro della scacchiera, due per il secondo, quattro per il terzo, otto per il quarto e così via per tutti i sessantaquattro riquadri. Il re ed i suoi cortigiani, certamente non esperti di matematica, irrisero della richiesta dell’inventore, poiché, secondo loro, aveva chiesto un premio eccessivamente modesto, sprecando così una buona occasione. Per mantenere la propria promessa il re fece chiamare i matematici di corte per eseguire il calcolo che, già dalle prime file di riquadri, si mostrava un po’ troppo complicato. I matematici eseguirono il calcolo, e scoprirono allibiti e costernati che i chicchi di grano corrispondenti all’ultima casella erano ben 18.446.744.073.709.551.615, ossia due elevato alla sessantaquattresima potenza. Una tale quantità di grano non era reperibile in tutto l’intero regno persiano. Dante in questo modo ha reso perfettamente l’idea di infinito trasmessa dalla moltitudine degli angeli in Paradiso.

Affascinante è il passo del XXXIII canto del Purgatorio, precisamente nei versi 37-45, i quali sono al centro di una querelle tra studiosi:

nel quale un cinquecento diece e cinque

Se si scrive il numero utilizzando la notazione latina risulta DXV. I più grandi dantisti si chiedono se questo sia o meno un anagramma di DUX (ai tempi di Dante si riferiva forse ad Arrigo VII) oppure l'espressione di un monogramma greco di Cristo, o ancora Domini Xristi Vergatus.