Statica delle equazioni cardinali

In questo appunto di Fisica si affronta l’argomento della statica sia del punto materiale che di un corpo rigido, analizzando le grandezze vettoriali coinvolte, forze e momento di una forza, e le condizioni di equilibrio ossia le equazioni cardinali della statica.

La statica

La statica è quel ramo della meccanica che studia la condizione di equilibrio di un corpo soggetto ad un dato insieme di forze. Tali condizioni variano a seconda che si stia studiando l’equilibrio di un punto materiale o di un corpo rigido. Il punto materiale, essendo una entità dotato di massa, ma le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alla totalità del sistema di studio, non è soggetto a movimenti di rotazione o torsione.
Al contrario, un corpo rigido, oltre ad avere una massa propria è dotato di dimensioni bi o tridimensionali che fanno si che durante il moto ci possano essere rotazioni intorno ad un asse: si ricordi che un corpo rigido può rototraslare, ossia traslare e ruotare contemporaneamente (un disco che ruota senza scivolare rototrasla), al contrario di un punto materiale. Per cui quando di analizza il moto o l’equilibrio di un corpo rigido soggetto ad un insieme di forze si deve tenere conto di una ulteriore grandezza vettoriale che ne quantifica la rotazione.

Le forze

Una forza è un ente fisico che modifica lo stato di quiete o di moto di un punto materiale o di un corpo rigido o che provoca la deformazione di quest’ultimo nel caso in cui si stia affrontando lo studio di corpi elastici.
L’intuizione ci suggerisce immediatamente che questa grandezza ha caratteristiche vettoriali, poiché gli effetti di una forza non dipendono soltanto dalla sua intensità (modulo), ma anche dalla direzione e dal verso in cui agisce.
A tale caratteristica vettoriale si aggiunga il fatto che gli effetti di una forza dipendo anche dal suo punto di applicazione, ossia dal punto corpo in cui tale forza agisce.
Le forze possono essere classificate a seconda della loro direzione nel modo seguente:

• Forze collineari
• Forze concorrenti in un punto
• Forze parallele
• Coppia

Le forze collineari sono quelle forze che hanno la stessa retta d’azione (giacciono sulla stessa retta). In questo caso la risultante vettoriale è un vettore collineare ai precedenti, con intensità pari alla somma vettoriale delle intensità delle forze componenti (ovviamente tenendo conto dei versi delle forze coinvolte).
Si chiamano forze concorrenti in un punto quelle forze che giacciono su rette d’azioni incidenti in un punto in comune (direzioni diverse). La risultante di un tale sistema di forze si trova scomponendo ciascuna forza lungo le due direzioni principali di un sistema di riferimento precedentemente fissato e sommando vettorialmente tutte le componenti appartenenti alla rispettive direzioni. Ad esempio fissato un riferimento cartesiano ortogonale OXY, si scompone ciascuna forza lungo l’asse X e l’asse Y:
, …, ,…, Dopodichè si sommano tali componenti per avere la componente della forza risultante lungo l’asse delle X e quella lungo l’asse delle Y
= Risultante forze esterne lungo l’asse delle X
= Risultante forze esterne lungo l’asse delle Y
Il modulo della risultante delle forze esterne , sarà dato da
La direzione della risultante , ossia l’angolo α che forma con la direzione principale costituita all’asse delle X è data dalla seguente relazione:
Ovviamente se il sistema di forze che stiamo studiando è tridimensionale, per la scomposizione delle forze si dovrà adottare un sistema di riferimento ortogonale OXYZ.
Le forze parallele sono forze applicate in punti diversi del corpo che hanno rette d’azione parallele. Possono essere concordi se hanno lo stesso verso, discordi se hanno verso opposto.
La coppia è sistema di due forze parallele discordi di uguale intensità.

Il momento di una forza

Il momento di una forza è una grandezza vettoriale che quantifica la rotazione di un corpo rigido.
Tale grandezza viene definita come segue:
ossia dal prodotto vettoriale fra la forza F di cui si vuole calcolare il momento ed il vettore P-O, dove P è il punto di applicazione della forza F ed O è il centro di riduzione, fissato arbitrariamente (solitamente si sceglie un punto fisso del sistema se disponibile).
Il modulo di tale vettore è dato da:
M = (F)(P-O)senϕ
dove ϕ è l’angolo che la direzione della forza F forma con il vettore (P-O)
in particolare
b = (P-O)senϕ
dove b viene chiamato braccio della forza F rispetto al punto O, ossia la distanza del centro di riduzione O dalla retta che contiene la forza F.
In conclusione il modulo di M è dato da:
M = (F)(b)
La direzione di M è sempre perpendicolare al piano individuato dai vettori e , mentre il verso è fornito dalla regola della mano destra (per sistemi di forze piani il verso del momento potrà essere orario o anti orario).
Il momento risultante di un qualunque sistema di forze è dato dalla somma vettoriale del momento di ciascuna forza: se il sistema di forze è piano, la direzione dei momenti sarà sempre la stessa, varieranno moduli e versi.
con n numero delle forze ed ovviamente calcolati tutti rispetto al solito centro di riduzione O.

Equazioni cardinali della statica

Giunti a questo punto possiamo enunciare le condizioni necessarie e sufficienti affinché un punto materiale ed un corpo rigido siano in equilibrio.
In fisica diremo che un punto materiale o un corpo rigido sono in equilibrio se permangono nel loro stato di moto: ossia se sono in quiete rimangono in tale stato, se sono in moto si muovono di moto rettilineo uniforme.
Diremo che un punto materiale soggetto ad un numero n di forze è in equilibrio se la risultante di queste forze è nulla:
dove
Diremo che un corpo rigido soggetto ad un numero n di forze è in equilibrio se sono soddisfatte contemporaneamente le due seguenti condizioni:
ossia se sono nulli contemporaneamente i vettori che individuano la forza risultante ed il momento risultante.
Per un corpo rigido si possono avere le seguenti condizioni.
Se
nel caso in cui il momento è diverso da zero, ma la risultante delle forze è nulla, il corpo rigido è soggetto a sola rotazione (disco che gira sulla piattaforma).
Se
nel caso in cui sia diversa da zero soltanto la risultante delle forze esterne, il corpo trasla senza ruotare.
Se
ossia sia la risultante delle forze esterne che il momento risultante sono diversi da zero, il corpo rototrasla.
L’equilibrio di un corpo può essere classificato come:

• stabile
• instabile
• indifferente

Diremo che un punto materiale o un corpo rigido si trovano in una condizione di equilibrio stabile se spostati di una piccola quantità da tale configurazione, il punto materiale o il corpo rigido tendono a tornare in tale posizione iniziale di equilibrio. Contrariamente diremo che un punto materiale o un corpo rigido si trovano in una condizione di equilibrio instabile se spostati di una piccola posizione da tale configurazione, tendono ad allontanarsene indefinitamente. Infine diremo che tali entità si trovano in una posizione di equilibrio indifferente, se allontanati di una piccola quantità dalla posizione di equilibrio, permangono nello stato di equilibrio senza ulteriori spostamenti (comunque si sposti una massa su di un piano orizzontale, questa rimane in equilibrio).

Macchine Semplici: le leve

In meccanica si definiscono macchine tutti quei dispositivi capaci di compiere lavoro.
Uno dei modelli più semplici di macchina che si può avere è la leva.
Definiamo una leva come un sistema vincolato per mezzo del quale una forza motrice, , riesce ad equilibrare un’altra forza resistente, , che ha una diversa intensità o agisce in una diversa direzione.
Una leva è un corpo rigido capace di ruotare attorno a un punto fisso chiamato fulcro.
E’ un dispositivo che per compiere lavoro sfrutta le equazioni di equilibrio descritte sopra:
rispetto al fulcro la leva è in equilibrio quando i momenti di rotazione delle due forze sono opposti.
Quindi si ha che
() () = () ()
ossia i due momenti si devono equilibrare
dove
e sono il braccio della forza motrice rispetto al fulcro, della forza motrice e della forza resistente, rispettivamente.
Una leva è solitamente costituita da:
un’asta
un fulcro (o punto di appoggio)
una forza motrice una forza resistente .

Questo sopra descritto è lo schema base per capire il funzionamento, ma lo stesso meccanismo lo si può innescare con dispositivi diversi (ad esempio, un classico schiaccianoci è un tipo di leva realizza to diversamente).
Una prima classificazione delle leve può essere fatta in base alla loro vantaggiosità.
Vantaggiosa: forza motrice è minore della forza resistente.
Svantaggiosa: forza motrice maggiore della forza resistente.
Indifferente: le due forze sono uguali
Vantaggio:

- se V > 1 è vantaggiosa;
- se V > 1 è svantaggiosa;
- se V = 1 è indifferente.
Oppure possono essere suddivise in tre generi in base alla posizione delle forze e del fulcro:
Primo Genere
Secondo Genere
Terzo Genere
Si definiscono leve di primo genere quelle in cui il fulcro è compreso tra e . In questo caso si ha una leva vantaggiosa se [math]
b_m
[/math], mentre avremo una leva svantaggiosa se (ne sono esempi il palanchino, le tenaglie, le forbici, la stadera, la bilancia a bracci).
Sono leve di secondo genere quelle in cui è compresa tra ed il fulcro. In questo caso avremo una leva sempre vantaggiosa se .
Infine sono leve di terzo genere quelle in cui è compresa tra il fulcro e . Questo tipo di leva risulta sempre svantaggiosa se ( ne sono esempi le pinzette o le braccia umane).
Altri esempi di leve molto studiati in fisica sono:
la carrucola fissa
la carrucole mobile
La prima è una leva di 1° genere a bracci uguali, per cui . La macchina è indifferente.
La carrucola mobile: è una leva di 2° genere poiché il braccio della forza motrice è uguale al diametro della carrucola e il braccio della forza resistente è uguale al raggio.
( Nel Paranco si avrà

Per ulteriori approfondimenti su questo argomento si consiglia di consultare il seguente link:
https://www.skuola.net/fisica/concetti-generali/statica-equilibrio-corpi-solidi-punto-materiale-corpo-rigido.html