Prodotto vettoriale: definizione e proprietà

Cherubino
di Cherubino
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Scopri il prodotto vettoriale, un'operazione fondamentale in fisica tra due vettori. Approfondisci le sue proprietà, come l'antisimmetria e l'ortogonalità, e le applicazioni pratiche nel calcolo del momento di forza e del momento angolare.

Concetti Chiave

  • Il prodotto vettoriale è un'operazione tra due vettori che genera un vettore perpendicolare ai due originali, fondamentale in fisica per determinare grandezze come il momento di una forza.
  • Le principali proprietà del prodotto vettoriale includono l'antisimmetria, la distributività e l'ortogonalità rispetto ai vettori di partenza, nonché il fatto che il prodotto di un vettore con se stesso è nullo.
  • La direzione del prodotto vettoriale si determina usando la "regola della mano destra", un metodo pratico per stabilire il verso del vettore risultante.
  • Il modulo del prodotto vettoriale ha un significato geometrico, rappresentando l'area del parallelogramma formato dai due vettori e calcolabile attraverso il prodotto dei loro moduli e il seno dell'angolo compreso.
  • Il prodotto vettoriale è frequentemente utilizzato in equazioni fisiche, come nel calcolo del momento di una forza e del momento angolare di una particella.

Nel seguente appunto studieremo che cos'è il prodotto vettoriale, ossia un'operazione che viene effettuata in fisica tra due vettori. Tale operazione è di importanza molto rilevante poiché molte grandezze in fisica sono proprio definite grazie al prodotto vettoriale, come il momento di una forza o il momento angolare, di cui discuteremo nei paragrafi successivi.

Prodotto vettoriale: definizione e proprietà articolo

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è un'operazione binaria tra due vettori nello spazio euclideo tridimensionale, che restituisce un vettore perpendicolare ad entrambi i vettori in input.
Siano
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale, dove con
[math] a_x, a_y, a_z, b_x, b_y, b_z [/math]
abbiamo indicato le componenti dei vettori in questione. L'operazione di prodotto vettoriale si indica con la notazione seguente:
[math] \vec a \times \vec b [/math]
Il prodotto vettoriale
[math]\vec a \times \vec b[/math]
(in questo ordine) restituisce il vettore
[math]\vec a \times \vec b =(a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y -a_y b_x )[/math]
.
Per approfondimenti sui vettori, vedi anche qua.

Proprietà del prodotto vettoriale

Si dimostra che il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprietà:
  • antisimmetria,
    [math]\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a[/math]
    , da questa proprietà segue che il prodotto vettoriale non è commutativo.
  • proprietà distributiva, valgono le relazioni:
    • [math]\vec a \times (\vec b + \vec c)= (\vec a \times \vec b) + (\vec a \times \vec c)[/math]
    • [math]k(\vec a \times \vec b) = (k \vec a) \times \vec b = \vec a \times (k \vec b)[/math]
  • è ortogonale ai due vettori in input:
    • [math]\vec a \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
    • [math]\vec b \cdot (\vec a + \vec b) =0[/math]
  • il prodotto vettoriale di un vettore con se stesso è nullo. In simboli:
    [math]\vec a \times \vec a = 0 [/math]
Il prodotto vettoriale di due vettori
[math]\vec a = (a_x, a_y, a_z)[/math]
e
[math]\vec b = (b_x, b_y, b_z)[/math]
è nullo se e solo i due vettori hanno la stessa direzione, ovvero
[math]\vec a = k \vec b[/math]
con
[math] k [/math]
numero scalare reale. Dalla definizione e dalle proprietà del prodotto vettoriale, segue che il vettore
[math]\vec c = \vec a \times \vec b[/math]
è perpendicolare sia al vettore
[math]\vec a [/math]
che al vettore
[math]\vec b [/math]
.

Regola della mano destra

Abbiamo detto che la direzione del prodotto vettoriale è perpendicolare ad entrambi i vettori, ma per determinarne il verso bisogna utilizzare una regola.
Il verso del vettore
[math]\vec c = \vec a \times \vec b[/math]
si determina infatti con la "regola della mano destra": quando
[math]\vec a [/math]
si porta su
[math]\vec b [/math]
in modo tale che le dita della mano destra diano piegandosi il senso della rotazione, allora il pollice indica il verso di
[math]\vec c = \vec a \times \vec b [/math]
.

Modulo del prodotto vettoriale

La lunghezza (il modulo) di
[math]\vec a \times \vec b[/math]
ha un interessante significato geometrico; se
[math] \vec a [/math]
e
[math] \vec b [/math]
sono vettori non nulli formanti tra loro un angolo
[math]\vec \theta [/math]
tra
[math]0 [/math]
e
[math]\pi [/math]
, si ottiene che
[math]|\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
Infatti, se descriviamo un parallelogramma mediante due vettori
[math]\vec a [/math]
e
[math]\vec b [/math]
(con la regola del parallelogrammo), poiché
[math]\vec a [/math]
è la base del parallelogrammo e
[math]|\vec b| \sin \theta[/math]
è l'altezza del parallelogrammo determinato dai vettori, si ha che
[math]|\vec a \times \vec b|= |\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
è uguale all'area del parallelogrammo.
Analogamente, descrivendo i lati di un triangolo mediante due vettori
[math]\vec a [/math]
e
[math]\vec b [/math]
, si ha che l'area del triangolo è data da
[math]\frac 1 2 |\vec a \times \vec b|= \frac 1 2|\vec a| |\vec b| \sin \theta[/math]
dove
[math]\theta[/math]
è l'angolo compreso tra i due vettori.

Il prodotto Vettoriale nelle equazioni della Fisica

Ci sono alcune equazioni della fisica che risultano molto comode se espresse in termini di prodotti vettoriali. Vediamo qualche esempio:
  • Momento di una forza: Il momento di una forza
    [math]\vec F[/math]
    applicata in un punto a distanza
    [math]\vec r[/math]
    rispetto a un polo è dato da
    [math]\vec \tau = \vec r \times \vec F[/math]
    che significa
    [math]\begin{cases}
    \tau_x = y F_z - z F_y \\ \tau_y = z F_x - x F_z \\ \tau_z = x F_y - y F_z
    \end{cases} [/math]
  • Momento angolare: Il momento angolare di una particella con quantità di moto
    [math]\vec p [/math]
    che si trova a distanza
    [math]\vec r [/math]
    dall'origine è
    [math]\vec L = \vec r \times \vec p[/math]

    Prodotto vettoriale: definizione e proprietà articolo

    Per approfondimenti sul momento angolare, vedi anche qua.

  • La forza che agisce su una particella con carica
    [math]q[/math]
    e velocità
    [math]\vec v[/math]
    , in una regione dello spazio caratterizzata dal campo elettrico
    [math]\vec E[/math]
    e campo magnetico
    [math]\vec B[/math]
    è:
    [math]\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)[/math]
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è il prodotto vettoriale e qual è la sua importanza in fisica?

    2. Il prodotto vettoriale è un'operazione binaria tra due vettori nello spazio euclideo tridimensionale che restituisce un vettore perpendicolare ad entrambi. È fondamentale in fisica poiché molte grandezze, come il momento di una forza e il momento angolare, sono definite tramite questa operazione.

  2. Quali sono le principali proprietà del prodotto vettoriale?

    3. Le principali proprietà del prodotto vettoriale includono l'antisimmetria (cioè \(\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a\)), la proprietà distributiva e il fatto che il prodotto di un vettore con se stesso è nullo (\(\vec a \times \vec a = 0\)).

  3. Come si determina la direzione del prodotto vettoriale?

    4. La direzione del prodotto vettoriale si determina utilizzando la "regola della mano destra": se si porta il vettore \(\vec a\) su \(\vec b\) seguendo la direzione della rotazione delle dita della mano destra, il pollice indica il verso del vettore risultante \(\vec c = \vec a \times \vec b\).

  4. Qual è il significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale?

    5. Il modulo del prodotto vettoriale \(|\vec a \times \vec b|\) rappresenta l'area del parallelogramma formato dai vettori \(\vec a\) e \(\vec b\). Se i vettori formano un angolo \(\theta\), si ha che \(|\vec a \times \vec b| = |\vec a| |\vec b| \sin \theta\).

  5. In quali equazioni fisiche è utile il prodotto vettoriale?

    6. Il prodotto vettoriale è utile in diverse equazioni fisiche, come nel calcolo del momento di una forza \(\vec \tau = \vec r \times \vec F\) e nel momento angolare \(\vec L = \vec r \times \vec p\), facilitando la rappresentazione di fenomeni fisici complessi.

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