Parte 2 — Funzioni e studio delle funzioni
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Argomenti individuati nella scansione
Successioni e sommatorie presenti negli appunti; funzioni, dominio e immagini; grafici, proprieta e trasformazioni; funzioni elementari e relative osservazioni.
Nota sulla trascrizione
Il PDF originale e una scansione manoscritta. Per non alterare formule, simboli, passaggi dimostrativi o esempi che non risultano leggibili con sufficiente certezza, le pagine originali sono mantenute integralmente in questa versione. Questa copia e suddivisa per sezioni e conserva tutto il materiale della parte indicata; non e una trascrizione integrale in testo digitale.
Pagine originali incluse: 55—108 (su 162).
Fissiamo >0
bn - an = (1 + 1/n)n+1 - (1 + 1/n)n
forall N in N = (1 + 1/n)n (1 + 1/n - 1) =
on . (1/n) =
bn - an = an . (1/n) < 4e
x,y in R, x<y
exists n in N
nx<y
x=e
y=1
nn e > 1
e > 1/n
APPLICAZIONE PRINCIPIO DI INDUZIONE
(BINOMIO DI NEWTON)
n in N n! = n(n-1)...2.1 = n(n-1)!
k in N0 k <= n
puo essere anche 0
(n k) = coefficiente binomiale = n! / k!(n-k)!
(5 2) = 5! / 2!(3)! = 5.4.3.2 / 2.1.3.2 = 20/2 = 10
0! = 1 fattoriale di 0 e uguale a 1
(n0) = (nn) = 1
(nn-k) = n! / ((n-k)! k!) = (nk)
(nk-1) + (nk) = (nk+1)
TRIANGOLO DI TARTAGLIA
RIGA
POSIZIONE
- 1
- 1 1
- 1 2 1
- 1 3 3 1
- 1 4 6 4 1
Se a and b A e B != 0 n E N
(a+b)0 = 1
a,b E R /0
(a+b)1 = a+b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)n = K=0n (n choose k) ak bn-k
BINOMIO DI NEWTON
PRINCIPIO DI INDUZIONE
Potenza di un binomio
P(1) = (a + b)1 = a + b
K=01 (1 choose k) ak b1-k = b
+
K=11 (1 choose 1) a1 b1-1 = a
P(1) è vero
Per vale -> P(n + 1) è vero
(a + b)n+1 = K=1n+1 (n+1 choose k) ak bn-k+1 = P(n+1)
(a+b)n+1 = (a+b)n(a+b) = (a+b) sum from k=0 to n (n over k) ak bn-k
= sum from k=0 to n (n over k) ak bn-k+1
k = k+1
k2 = k
1 sommatoria sum from h=1 to n+1 (n over h-1) ah bn-h+1
2 sommatoria sum from h=1 to n (n over h) ah bn-h+1
1 som =
nh=0 (n over n) an+1 =
an+1 + nh=1 (n over h-1) an-h+1bh-1
+ nh=1 (n over h) ahbn-h+1
an+1bn+1 + n+1h=1 (n over h-1) + (n over h),
ahbn-h+1
un+1 + bn+1 + r=1n (n+1 r) ar bn-r+1
a = b = 1
P(n) = (a + b)n
2n = k=0n (n k) = somme dei coefficienti binomiali o di sottotermini (COMBINAZIONI) SEMPLICI
K < n
A = {a1 ... an}
PROBABILITA 1 = evento certo
Probabilita condizionata
a = 1
b = -1
(a+b)n = k=0n (nk) ak bn-k
0 = k=0n (nk) (-1)n-k
Funzioni
Se A ⊂ R e sia f : A -> R
Diremo che f e crescente in A se x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2)
STRETTAMENTE
Diremo che f e strettamente crescente in A se x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
Decrescenti
Diremo che f e decrescente in A se x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2)
Strttomenti dellaesanti in A =
se x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
Funzione monotona = crescenti o decresenti
Strttomenti monotome = 2 o 4
Osservazione
Se f: A -> R e' strttomente monotona allora f' e' iniettiva
INIETTIVITA' x != y => f(x) != f(y)
x < y => f(x) < f(y)
f(x) = { 1 - x se x ∪ [0,1]
x se x ∪ ]1,2]
Dominio
Intervallo [0,2]
e il grafico
non e rappresentativo
del corretto
Funzione limitata superiormente
Sia f: A → R, A ⊂ R
e sia f(A) = { y ∈ R :
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