Parte 3 - Limiti e continuita
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Argomenti individuati nella scansione
Definizioni e proprieta dei limiti; limiti di successioni/funzioni; calcolo dei limiti; confronti, valori assoluti, logaritmi ed esercizi di verifica.
Nota sulla trascrizione
Il PDF originale e una scansione manoscritta. Per non alterare formule, simboli, passaggi dimostrativi o esempi che non risultano leggibili con sufficiente certezza, le pagine originali sono mantenute integralmente in questa versione. Questa copia e suddivisa per sezioni e conserva tutto il materiale della parte indicata; non e una trascrizione integrale in testo digitale.
Pagine originali incluse: 109-162 (su 162).
Si x e solo x sta in un intervallo che contiene A
Si dice che A e illimitato
insieme compatto
Sia B ≤ R, diremo che B e compatto se valgono le seguenti:
- B e limitato
- B e chiuso
B = [1,7] -> compatto
Proprieta
Se C1 e C2 sono due insiemi chiusi allora la loro unione C1 U C2 e chiuso,
Definizione
Sia A ⊆ R e sia x0 ∈ A diremo che x0 e un punto isolato in A se x0 non e un punto di accumulazione.
Esempio
A = {x1, ... , xn} xi ∈ A ogni punto e un massimo finito e un punto isolato.
h' insieme degli punti isolati di A si indica con I(A)
LIMITI
Sia f : A -> B, A, B R e sia x0 e R = R
u { - oo,+oo } e x0 e D(A)
Diamo che un numero l e R e il limite per x che tende ad x0 di f(x) e scriviamo
lim f(x) = l <=> ? Ul ? Vx0 : ? x e A n Vx0 \ {x0}
intorno di x
=> f(x) e Ul
Cosi fatti allora
Supponiamo che x0 e R e l e R
if e>0, ? 8 >0: ? x e A : 0 < |x - x0| < 8 => |f(x)-l|<e
lim f(x) = +oo
x->x0
x0 e a
(M,+oo) = intorno di +oo = { x e R : x > M }
(-oo,b) = intorno di -oo =
V n ? ) V . n
Definizione
limx -> +∞ f(x) = +∞
∀ M > 0, ∃ K > 0 : ∀ x ∈ A ^ x > K
f(x) > M
limx -> +∞ f(x) = -∞
Definizione
∀ M > 0 ∃ K > 0 : ∀ x ∈ A ^ x > K
f(x) < -M
lim f(x) = -∞
x -> -∞
LEZIONE 6 OTTOBRE
Disequazioni
Sia f(x): A -> R con A ⊆ R
f(x) > b s: { x ∈ A : f(x) > b }
g: A -> R S1 = { x ∈ A : g(x) > c } con c > 0
{ f(x) > bg(x) > c } <=> S ∩ S1
f(x) > bg(x) > c obbliamo che le due disequazioni sonoequivalenti se S = S1
Disequazione intera di 1 grado
ax + b > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0) con a ≠ 0
-ax - b < 0 sono equivalenti
ax + b > 0 <=> ax > -b <=> x > -b/a
S = { x ∈ R : x > -b/a }
ax + d < 0 <=> x < -d/e x < -d/e
S = { x ∈ R : x < -d/e }
Esempio
1) x + 3 > 0 S = { x in R; x > -3/2 }
2) -5x + 1 < 6 S = { x in R: x > 1/5 }
-5x < -1
x > 1/5
3) (x - 2)/3 > (3x + 7)/6
(2x - 4)/6 > (3x + 7)/6
S = { x in R: x < -11/3 }
1) (x + 1)/(x + 2) > 3/(2x + 4)
(x + 1)/(x + 2) > 3/(2(x + 2))
(2(x + 1) - 3)/(2(x + 2)) > 0
(2x + 2 - 3)/(2x + 4) > 0
(2x - 1)/(2(x + 2)) > 0 <=>
{ 2x - 1 > 0
{ 2x + 2 > 0 v 2x - 1 < 0
{ 2x + 2 > 0 2(x + 2) < 0
2x > 1
x > 1/2
V
2x < 1
x < 1/2
x > -2
x < -2
x > 1/2 U x < -2
S = { x in R : x > 1/2 v x < -2 }
Disequazione razionale intera di 2'
ax2 + bx + c > 0 ( <0, >0 ,1 =0 ) d>0
ax2 - bx - c <0 v sono equiv.
x2 + 2x + 1 > 0 con a > 0 se non i multipli per -1
-x2 - 2x - 1 <0
ax2 + bx + c con a > 0
a(x2 + b/a x + c/a) =
a[(x2 + 2bx/2a + c/a) =
a[(x2 + 2bx/2a + b2/4a2) - b2/4a2 + c/a]
a[(x + b/2a)2 - b - 4ac/4a2 =
a = [(x + b/2a)2 - D/4a2
ax2 + bx + c = 0 <=> a(x + b/2a)2 - D/4a2 = 0
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