Appunti Analisi matematica 1

Analisi 1

Analisi 1 → intorno (crescenti, monotone, limitate) → funzioni forato → intorno di accumulazione → punto (+ teorema di unicità del limite) → limiti continue: → funzioni - teorema della permanenza del segno - teorema degli zeri - teorema dei valori intermedi - teorema di Weierstrass derivabili: → funzioni - legame continuità-derivabilità - massimi e minimi relativi - teorema di Fermat - teorema di Rolle - teorema di Lagrange - conseguenze teorema di Lagrange convesse → funzioni di flesso → punti de l’Hopital → teorema di Taylor → formula indefiniti: primitiva di una funzione → integrali definiti: → integrali - teorema della media integrale - teorema fondamentale del calcolo integrale - formula fondamentale del calcolo integrale

Intorno

1 → intorno ∈x R xDato un punto ed assegnato un numero r > 0, l’intorno di centro e raggio r è 0 0∈ ∨¿x R :∨x−x r l’insieme: ,0 x(x −r +; x r)che coincide che con l’intervallo aperto di centro e ampiezza 2r.0 0 0

Funzione

→ funzione Una funzione tra due insiemi X e Y è una legge f: X->Y che associa ad ogni elemento x appartenente all’insieme X, detto dominio di f, un unico elemento y=f(x) appartenente all’insieme Y, detto codominio di f.

Funzione crescente

Crescente → funzione crescente ∈ <x x x x⊆f : A X RDiremo che -> è crescente in A se da , A e segue che1 2 1 2(x )≤ ( )f f x . In modo analogo potremmo dire che una funzione è crescente se il rapporto1 2 ( )−f ( )f x x2 1 ≥ 0 incrementale ossia .−xx 2 1

Funzioni monotone

Monotone → funzioni monotone Si chiamano funzioni monotone le funzioni crescenti o decrescenti, ossia quelle tali per cui il prodotto( )−f (x )f x1 2 x e x), con nel dominio, non cambia mai di segno. Le funzioni strettamente1 2( −x )∙¿x 2 1 monotone sono iniettive, il viceversa in generale è falso.

( )f : α , β → R - Teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone: Sia una( ) α e βα , β funzione monotona definita in un intervallo , dove sono reali estesi. Allora, x → α e x → β esistono i limiti per di f(x), e risulta che: f−−lim ( (x )e (x)= ( )f x)=inf f lim f x se f è crescente x→ α x →β f( )= ( (x )=inf (lim f x x)e lim f f x)-- se f è decrescente x→α x →β

Funzioni limitate

� Limitate → funzioni limitate f : X RData una funzione -> si dice che f è limitata superiormente in X se esiste una ≤ h ,costante h tale per cui f(x) per ogni x appartenente ad X.

Si dice che f è limitata in X se è limitata sia superiormente che inferiormente in X, cioè esistono( )≤h ≤ f x kdue costanti h e k tali per cui per ogni x appartenente ad X.

Esempi di funzioni limitate nel loro dominio sono il segno, l’arcotangente e la mantissa.

Es. la funzione y=1/x non è limitata né inferiormente né superiormente nel suo R dominio (cioè in tutto tranne che in x=0), mentre è limitata inferiormente ∞ ∞ ma non superiormente in X= (0;+ ) ed è limitata in X=(1;+ ).

Intorno forato

Forato → intorno forato { }∈ ∨¿x x R: 0<¿ x−x δδSi dice intorno forato di un punto di raggio l’insieme: .0 0

Punto di accumulazione

Di accumulazione → punto di accumulazione ∈x R ⊆X RUn punto si dice punto di accumulazione per un insieme se in ogni intorno0 { }( )∘x X ∩ B x x ≠∅>δ 0forato di cadono punti di X, cioè se per ogni risulta .0 δ 0 0xDalla definizione sopra si deduce che se è di accumulazione per un insieme X, allora ogni0xintorno di contiene infiniti punti di X.02 ⊆X R

- I punti di un insieme che non sono di accumulazione per x si dicono punti isolati di X.

∈x X >δ 0Quindi un punto si dice punto isolato se esiste un tale che0{ }(x )=X ∩ B x .δ 0 0

Limiti

Limite finito-finito

→ limiti xf : X → R - Limite finito-finito: Sia una funzione reale di variabile reale e sia un punto0di accumulazione per il dominio X di f. Si dice che f(x) tende ad un numero reale l per x che x >ε 0 δ> 0 ε tende ad se per ogni esiste (dipendente da ) tale che da0∨¿0<¿ x−x δ ∈ ¿ (x )−l∨¿x X f εe segue .0

Limite finito-infinito

xf : X → R - Limite finito-infinito: Sia una funzione reale di variabile reale e sia un0∞punto di accumulazione per il dominio X di f. Si dice che f(x) tende a + per x che tende a x ∈ >M R δ 0se per ogni esiste tale che da0 ∨¿0<¿ x−x δ ∈x Xe segue che f(x)>M.0

Limite infinito-finito

f : X → R - Limite infinito-finito: Sia una funzione reale di variabile reale e supponiamo che ∞X non sia limitato superiormente, cioè che ogni semiretta destra (a;+ ) contenga infiniti ∞punti di X (ciò per dire che + è un punto di accumulazione per X). Allora diremo che f(x) ∈>∞ ε 0 a Rtende ad un numero reale l per x che tende a + se per ogni esiste un tale ∈ ¿ (x )−l∨¿x X f ε .che da x>a e segue che

Definizione di limite tramite gli intorni

f : X → R - Definizione di limite tramite gli intorni: Sia Sia una funzione reale di α variabile reale e sia un punto di accumulazione per il dominio X di f. Si dice che f(x) tende ¿∈ α λ αλ Ra per x che tende ad se per ogni intorno V di esiste un intorno U di ∈ ∈Vx U ∩ X e x ≠ α .tale che per ogni si ha che f(x) Si usa anche dire che il limite per x α λ che tende ad di f(x) è uguale a .

Teorema di unicità del limite

α - teorema di unicità del limite: Supponiamo che il limite per x che tende ad di f(x) esista (finito o infinito). Allora tale limite è unico.

∈=xα RDIM: Possiamo fare la dimostrazione nel caso in cui e limite finito.0x → x l ≠ l(x) (f →l e f x) →l - Per assurdo, supponiamo che: per , con1 20 1 2¿¿ −l ∨l 1 2 2 - Fissiamo poi .ε ≤¿ > ∨¿δ 0 0<¿ x−x δ ∈x X - Per definizione di limite esiste un tale che se e si ha che1 0 1¿ (x )−l ∨¿f ε .1 > ∨¿δ 0 0<¿ x−x δ ∈x XAnalogamente esiste un tale che se e si ha che2 0 2¿ (x )−l ∨¿f ε .2 { } ∨¿=min 0<¿ x−x δδ δ , δ ∈x X - Prendendo e tale che , dalla disuguaglianza01 2 triangolare del valore assoluto si ha che: ¿¿ −l ∨l 1 2 2¿ −l ∨¿∨l −f ( )+f ( ∨≤∨f ( ∨+¿ (x)−l ∨¿l x x)−l x)−l f 2 ε da cui si ricava ,1 2 1 2 1 2 >¿εε che contraddice la scelta di .

Funzioni continue

Continue → funzioni continue ∈x X⊆f : X R → RUna funzione reale di variabile reale si dice continua in un punto se0x xè un punto isolato di X oppure, nel caso che sia un punto di accumulazione di X, se0 0x0 ).( ¿lim f x)=fx → x 03

f : X → R - Ricordando la definizione di limite potremmo anche dire che una funzione è ∈x X > =δ (ε )>0ε 0 δ continua in un punto e di accumulazione se per ogni esiste un0¿ ∨¿x−x δ ¿ (x )−f ( )∨¿∈ f x εx Xtale che da e segue che .00

Teorema della permanenza del segno

f : X → R - teorema della permanenza del segno: Sia una funzione continua in un punto x∈x X 0 > (δ 0 f x)>0e sia ) >0. Allora esiste un tale che , per ogni0 ¿f∈( −δ + )∩x x ; x δ X .0 0

x xSe f non è continua in un punto del suo dominio, si dice che f è discontinua in0 0x xoppure che f ha una discontinuità in . Possiamo trovare 3 tipi di discontinuità: f ha in0 0xuna discontinuità di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro di f in ma sono0+¿ (x )x → x f0−¿ (x )≠ ¿x → x f lim diver