Analisi 1

Parte 1 — Insiemi, relazioni e strutture algebriche

Appunti riordinati per sezione

Argomenti individuati nella scansione

Insiemi e sottoinsiemi; operazioni e proprieta; relazioni e relazioni di equivalenza/compatibilita; prime strutture e definizioni algebriche.

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1 LEZIONE ANALISI 1

LOGICA MATEMATICA = fondata sulla notazione che ci permette di capire se una teorema e corretto.

PROPOSIZIONE LOGICA = ci permette di capire se un' affermazione e vera o falsa.

negazione di una proposizione e si ottiene mettendo un non

CONGIUNZIONE LOGICA o ET -> ^

P ^ Q

P = 2 e un numero dispari

Q = Parigi e la citta della Francia

P | Q | P^Q

V | V | V

V | F | F

F | V | F

F | F | F

DISGIUNZIONE LOGICA

P e Q = 2 proposizioni

P ∨ Q (↔) Q equivalenti a forme gli termini valori di verita

PROPRIETA COMMUTATIVA

P

Q

P ∧ Q

Q ∧ P

IMPLICAZIONE LOGICA

P e Q

implicazione logica

P => Q

se P e vera e Q e falso

P | Q | P => Q

P = piove

Q = PRENDO l'OMBRELLO

P => se gioco allora prendo l'ombrello

TEOREMA SI PUO FORMULARE:

P ∧ (P => Q) => Q

E SI PUO SINTETIZZARE

PRINCIPIO DI CONTRAPOSIZIONE

SONO EQUIVALENTI

P => Q (↔) Q => P

f: A -> B

x -> y = f(x)

INIETTIVA

x != y => f(x) != f(y)

f(x) = f(y) => x = ySONO EQUIVALENTI

P => Q

P Q P=>QV V VV F FF V FF F V

se sono entrambefalse o verosono vere

RAGIONAMENTO PER ASSURDO

P => Q

Q

Dimostrare che non esiste nessun numerorazionale il cui quadrato e' due

x = m/n      m > 0m E N

RAZIONALI = Z

esiste un numero parim = 2p    p E N => (m/n)² = 2

m² = 2n²m e' parim = 2p4p² = 2n²2p² = n²

n² e' pari

ESERCIZIO

n² e' pari <=> n e' pari

supponiamo che n e' dispari

n = 2p + 1

n = (2p + 1)²

n = 4p² + 1 + 4p

n = 2(2p² + 2p) + 1

p => q =

p v q = p^q

p ^ q = p v q

legge di DE MORGAN

PREDICATO

P(x, y ...)

P(x) = {x e R ; x > 103}

P(l) = e' vera

P(4) = FALSA

UNIVERSALE

forall x P(x)

exists x ... P(x)

QUANTIFICATORI

per ogni x

esiste almeno un x

TEORIA DEGLI INSIEMI = A, B, C, S, T...

definizione di elementiconcetto primitivoa in A = a e' proprietario solo Aa not in A = non proprietario

3 MODI PER DISTINGUERE GLI INSIEMI1) elencare tutti gli insiemi2) proprieta' caratteristica3) Diagrammi di Eulero Venn

SOTTOINSIEMESia S un insieme piu' dio che A e' un sottoinsieme di S∀ x in A = x e SA subset S

A = {1,2}     {1,5,7}

A è un sottoinsieme proprio di S se esiste un elemento di S che appartiene ad AA < S

Q = insieme vuotoSia S un insieme si definisce insieme delle parti di S, si indicaP(S) = {insiemi di tutti i sottoinsiemi di S}

P(S) = {A, A subseteq S} e P(S)

S = {1,2,3}

P(S) = {1,2,3} - Qsimbolit

S = (n elementi)S = 2ⁿ

SOTTOINSIEMICOME CALCOLARE

OPERAZIONI INSIEMI

Sia S un insieme x cio A, B E P(S)

A n B = intersezione C { x E S; x E A, x E B } DEFINIZIONE

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { 3, 4, 7 }

A n B = { 3, 4 }

A u B = C (unione) { x E S : x E A o x E B }

A = { 1, 2, 3 }

B = { 1, 4, 5 }

A u B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

A \ B = C { x E S : x E A ^ x E B }

A \ B = { 2, 3 }

B \ A = { 4, 5 }

EQUIVALENZA TRA INSIEMI

Sia S e T due insiemi diremo che

S = T (--->) S