Appunti Analisi matematica I - Completi

Insiemi numerici

Concetti fondamentali

Insieme = collezione di elementi

Elemento = oggetto per cui è ben definito un criterio di appartenenza a un insieme dato non ambiguo.

• “Per ogni” ∀
• “Esiste almeno un” ∃
• “Esiste un unico (solo)” ∃! esistenza e unicità
• “Insieme vuoto” ∅

a ∈ A “L’elemento a appartiene all’insieme A”

A ⊆ B “A è un sottoinsieme di B” se ∀ a ∈ A, a ∈ B

A ⊆ A sempre

Inclusione di insiemi

A ⊂ B “A è un sottoinsieme di B se esiste un elemento b che appartiene a B ma non ad A” ∀ b ∈ B : b ∉ A, inclusione propria.

Se A ⊆ B ma A ≠ B ⇒ A ⊂ B.

Uguaglianza tra insiemi

A = B “A è uguale a B” se A ⊆ B e B ⊆ A.

Se ∀ a ∈ A, a ∈ B e ∀ b ∈ B, b ∈ A.

A ≠ B “Non è vero che A = B”.

Implicazione universale

∀ x ∈ A (p(x) ⇒ q(x)): per ogni x appartenente ad A, se è soddisfatta la proprietà p, è soddisfatta la proprietà q.

Negazione

Se uso la negazione con i quantificatori, potrebbero invertirsi i quantificatori: ∀ e ∃.

Doppia negazione è come non negare.

Non è vero “non appartiene” ⇒ ∉ ∈

∀ x ∈ A è soddisfatta la proprietà P ⇒ ∃ x ∈ A per cui non è soddisfatta la proprietà P.

∃ x ∈ A è soddisfatta la proprietà P ⇒ ∀ x ∈ A per cui non è soddisfatta la proprietà P.

Vale la proprietà P e vale la proprietà Q ⇒ Non vale la proprietà P oppure non vale la proprietà Q.

Vale la proprietà P oppure vale la proprietà Q ⇒ Non vale la proprietà P e non vale la proprietà Q.

∀ x ∈ A (p(x) ⇒ q(x)) ⇒ ∃ x ∈ A (p(x) e non q(x)).

A ⊂ B ⇒ A ⊆ B oppure A = B.

Insiemi numerici

Numeri naturali ℕ = {0, 1, 2, 3, 4...}

Numeri interi ℤ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2...}

Numeri razionali ℚ = { - ½, - ⅓, ⅕, ⅞...} n, m ∈ ℤ, m ≠ 0.

Numeri reali ℝ = {√2, π...}, cifre dopo la virgola illimitate e aperiodiche.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Decimali periodici e frazioni

Per passare da un decimale periodico ad una frazione: (es. 34,652).

• A numeratore la differenza tra l’intero numero senza virgola e la parte che non sta sotto il periodo.
• A denominatore tanti 9 quante le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante le cifre dell’antiperiodo.

Teorema: √2 non è un numero razionale

TEOREMA √2 ∉ ℚ: dimostrazione logica.

TESI: √2 ∉ ℚ ⇒ q² = 2.

OSSERVAZIONI: se n è dispari n² è dispari.

Se n è pari n² è pari.

DIMOSTRAZIONE (per assurdo): negando la tesi √2 ∉ ℚ ⇒ q² = 2, esiste almeno 1 q che al quadrato = 2.

q = n/m, n, m primi tra loro, n, m ∈ ℤ.

q² = n²/m² = 2 ⇒ n² = 2m².

n² quindi è divisibile per 2, pari anche n è pari, n = 2k.

(2k)² = 2m² ⇒ 4k² = 2m² ⇒ 2k² = m².

m² è quindi anch’esso divisibile per 2, pari anche m è pari.

CONTRADDIZIONE: se n e m sono pari, entrambi divisibili per 2, hanno 2 come fattore comune, quindi non sono due numeri primi tra loro ⇒ q² = 2, √2 ∈ ℚ, √2 ∉ ℚ.

Operazioni tra insiemi

Dati due insiemi A e B.

∩ INTERSEZIONE: A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}, elementi che stanno in entrambi gli insiemi.

∪ UNIONE: A ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B}, sia gli elementi di A che di B.

\ DIFFERENZA: A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}, solo elementi di A che non stanno in B.

X PRODOTTO CARTESIANO: A X B = {(a,b) : a ∈ A e b ∈ B}, coppie ordinate di elementi di A e di B.

ℝ² = ℝ X ℝ = {(x₁, x₂) : x₁ ∈ ℝ e x₂ ∈ ℝ}. Ogni punto sul piano cartesiano è rappresentato da una coppia ordinata di numeri reali.

Operazioni con l’insieme vuoto e l’insieme universo X

A ∩ ∅ = ∅

A ∩ X = A

A ∪ ∅ = A

A ∪ X = X

Sommatoria

SOMMATORIA: esprime in forma compatta una somma di n termini. q – p + 1 = n° addendi.

∑ = + +...+ (i = indice)

TEOREMA: ∀ q ∈ ℝ \ {1} si ha ∑ =. Per q = 1 la somma di quella formula per n volte è n, quindi non utilizzo quella formula.

DIMOSTRAZIONE: ∑(1-q) = ∑1 – ∑q.

(1-q)∑ = ∑ – ∑q = 1 + - pongo k = i + 1 quando i = 0 k = 1.

∑ = 1 + ∑ - ∑ = 1 + – (∑ + q) = 1 – q.

Proprietà della sommatoria

• ∑ - ∑ = c
• ∑(⋆) - ∑ = c * n = c * (numero di addendi della sommatoria)
• ∑ + ∑ = ∑ (+)
• ∑ - ∑ = ∑
• ∑ - ∑ = ∑

Fattoriale

FATTORIALE: n! = 1*2*3*4...*n, fattoriale di n, n ∈ ℕ.

0! = 1.

Proprietà: n! = (n-1)! n.

(n)!/(n-k)! = (n-k+1)(n-k+2)...n, 0 < k < n.

Coefficiente binomiale

COEFFICIENTE BINOMIALE: n, k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n.

n su k = n!/(n-k)!k! = 1 = 1.

Sono tutte le possibili combinazioni di n oggetti presi a gruppi di k.

Formula del binomio di Newton

FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON: per elevare un binomio alla potenza n, (a + b)ⁿ.

(a + b)ⁿ = ∑ con n+1 addendi.

Triangolo di Tartaglia

TRIANGOLO DI TARTAGLIA: inizio sempre con 1, finisco sempre con 1.

k = 0, k = 1, k = 2, k = 3, k = 4, k = 5.

n = 0: 1.

Gli altri sommo quello che sta sopra e sopra a sinistra.

n = 1: 1 1. k si muove orizzontalmente, n si muove verticalmente.

n = 2: 1 2 1.

n = 3: 1 3 3 1. Es. = 1; = 3; = 3; = 1.

n = 4: 1 4 6 4 1.

n = 5: 1 5 10 10 5 1.

( )!/( )! + ( )!/( )! = ( )!/( )! + = DIMOSTRAZIONE.

( )!/( )! + ( )!/( )! = ( )! !/( )( )! = ( )!/( )! + ( )!/( )! = ( )!/( )!.

Somma dei coefficienti binomiali

SOMMA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI: ∑ n su n = ∑ = formula di Newton = (1+1)ⁿ = 2ⁿ.

Es. n = 1: 1a + 1b, 1 + 1 = 2.

n = 2: 1a² + 2ab + 1b², 1 + 2 + 1 = 4.

Es. ∑ = ∑ = (2 + 1)ⁿ = 3ⁿ.

Proprietà dei numeri reali

Somma: a, b ∈ ℝ ⇒ a + b ∈ ℝ.

Prodotto: a, b ∈ ℝ ⇒ a*b ∈ ℝ e a*(1/b) ∈ ℝ con b ≠ 0.

Proprietà riflessiva: ∀ r ∈ ℝ, r ≤ r.

Proprietà antisimmetrica: ∀ a, b ∈ ℝ, a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b.

Proprietà transitiva: ∀ a, b, c ∈ ℝ, a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c.

Proprietà tricotomica: ∀ a, b ∈ ℝ, a ≤ b oppure b ≤ a, si possono sempre mettere in relazione due numeri reali, e non c’è altra possibilità.

Estremi di un sottoinsieme

E ⊆ ℝ, sottoinsieme non vuoto.

Definizioni

E è detto limitato superiormente se: ∃ M ∈ ℝ ∀ x ∈ E, x ≤ M.

E è detto limitato inferiormente se: ∃ m ∈ ℝ ∀ x ∈ E, x ≥ m.

E è detto limitato se è limitato superiormente e limitato inferiormente: m ≤ x ≤ M, ∀ x ∈ E.

x ∈ ℝ è detto massimo di E se ∀ x ∈ E, x ≤ .

x ∈ ℝ è detto minimo di E se ∀ x ∈ E, x ≥ .

k ∈ ℝ è detto maggiorante di E se ∀ x ∈ E, x ≤ k.

k ∈ ℝ è detto minorante di E se ∀ x ∈ E, x ≥ k.

Si chiama estremo superiore di E (sup E) il minore dei maggioranti di E.

x ≤ sup E, ∀ x ∈ E: sup E deve essere maggiorante.

sup E ≤ k, ∀ k maggiorante di E.

Si chiama estremo inferiore di E (inf E) il maggiore dei minoranti di E.

x ≥ inf E, ∀ x ∈ E: inf E deve essere minorante.

inf E ≥ k, ∀ k minorante di E.

Proprietà dell’estremo superiore

Proprietà dell’estremo superiore: assioma della continuità.

Ogni insieme E ⊆ ℝ non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore.

Ogni insieme E ⊆ ℝ non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore.

∀ E ⊆ ℝ, E ≠ ∅, (inferiormente/superiormente limitato) ⇒ ∃ inf E, ∃ sup E.

Esempi

Es. E = ℕ ⊆ ℝ.

Non è limitato superiormente perché se fisso un qualsiasi valore M grande a piacere, esiste sempre un numero naturale più grande di quel reale M. È limitato inferiormente, m = 0 (minimo), ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 0.

E = {x = 1/n : n ∈ ℕ \ {0}}.

È superiormente limitato da M = 1 (massimo), è inferiormente limitato da m = 0 ma non è minimo perché non appartiene all’insieme.

E = {x = 1/n : n ∈ ℕ} ⊆ ℝ. Il denominatore è maggiore del numeratore ⇒ < 1, è superiormente limitato da 1, 1 è un suo maggiorante ma non è il massimo perché non appartiene all’insieme.

Ma di maggioranti ce ne sono tanti, come sapere se è il minimo dei maggioranti? Prendo ε numero piccolo a piacere: E = 1 – ε, 1 - ε > 0, 1 – ε < 1 - ε >.

E = {x ∈ ℚ, x > 0, x < 2}, 0 < x < √2.

È superiormente limitato, ad esempio 2 è un maggiorante, 1,42 o 1,415 o 1,4143. √2 non è razionale quindi x non può assumere questo valore, non esiste estremo superiore.

Dominio

DOMINIO: è il più ampio sottoinsieme di R che può essere preso, costituito da tutti i valori per i quali esiste l’espressione analitica che definisce la funzione.

• R – le C.E. che pongo su x.
• Funzioni razionali intere: R.
• Funzioni razionali fratte: denominatore ≠ 0.
• Irrazionali: se n dispari, dominio di f(x) = ().
• Se n pari, f(x) ≥ 0.
• Logaritmo y = log_a(f(x)): f(x) > 0; a > 0; a ≠ 1.
• Esponenziali y = a^f(x): a > 0; a ≠ 1, studio f(x).
• y = g(x)^f(x): sistema: dominio g(x) ^ f(x) > 0.
• Potenza y = f(x)^a: se a negativo, f(x) ≠ 0; se a razionale, dominio funzioni irrazionali; se a irrazionale positiva, f(x) ≥ 0.

Funzioni goniometriche

Sen x, cos x: ℝ. Arcsen x, arcos x: [-1; 1].

Tg x: ℝ – {π/2 + kπ}. Arctg x, arccotg x: ℝ.

Cotg x: ℝ – {kπ}.

Codominio

• Ricavo x ⇒ x = f(y).
• Pongo C.E. su y, dominio per x = f(y).
• Funzioni goniometriche: Sen x, cos x: [-1; 1]. Tg x, cotg x: ℝ.

Esponenziali

a^x/y - x x 0. a^x = a^y = (1/a)^-x. a⁰ = 1.

a^x+y = a^xa^y. a^x-y = a^x/a^y. a^xb^x = (a*b)^x.

Y = a^f(x), a > 0. Y = f(x)^g(x) esiste se f(x) > 0.

Equazioni esponenziali

Equazioni: a^x = b, b > 0; a ≠ 1.

È indeterminata se a, b = 1.

È impossibile se b ≤ 0; a = 1, b ≠ 1.

Disequazioni esponenziali

Se a > 1, a^t > a^z ⇒ t > z.

Se a tra 0 e 1, a^t > a^z ⇒ t < z.

Logaritmo

log_ab = x ⇒ a^x = b.

Log_a1 = 0. Log_aa = 1. Log_ax = 0 ⇒ x = 1.

log_ab + log_ac = log_a(b*c).

log_ab - log_ac = log_a(b/c).

log_abⁿ = n * log_ab.

Cambio base: log_ab = log_cb / log_ca.

Equazioni logaritmiche

Equazioni: Log_af(x) = Log_ag(x) ⇒ f(x) = g(x), con f(x) e g(x) > 0.

Disequazioni logaritmiche

Se a > 1, log_at > log_az ⇒ t > z.

Se a tra 0 e 1, log_at > log_az ⇒ t < z.

Equazioni e disequazioni

> > 0, > √|A| > B ⇒ A > 0; A < 0.

> > √ < −, > < − √|A| = B ⇒ A = B ±.

Funzioni

Dati due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f di dominio A a (assume) valori B è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B:

f: A → B, ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B : b = f(a).

f(x), valore che f associa a x.

Y = f(x): a = x variabile indipendente, DOMINIO.

b = y variabile dipendente, CODOMINIO, insieme delle immagini.

x ∈ A. f(x), valori di f in x, immagine di x attraverso f.

f(A) = insieme = {b ∈ B ∃ a ∈ A : b = f(a)}. f(x) = f(a) = elemento dell’insieme.

B = insieme delle immagini = codominio.

f(A) ⊆ B, quindi può essere anche f(A) ⊂ B, ogni elemento a ha un’immagine, ma può esserci elemento b che non è immagine di a.

Le funzioni che tratteremo noi: f: D → D ⊆ ℝ.

Successioni: f: ℕ → ℝ, ℕ ⊆ ℝ.

Definizioni

Una funzione f: A → B è detta:

• INIETTIVA se a₁ ≠ a₂, a₁, a₂ ∈ A ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂). Elementi distinti hanno immagini distinte. Per un valore di y corrisponde un solo valore di x, o nessuno.
• SURIETTIVA se ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : b = f(a). Ogni elemento dell’insieme d’arrivo è immagine di un elemento di partenza. Per un valore di y corrisponde uno o più valori di x.
• BIETTIVA se ∀ b ∈ B ∃! a ∈ A : b = f(a). Sse è sia iniettiva che suriettiva.

Esempi

Es. f(x) = x², f: ℝ → ℝ.

Non è iniettiva: perché ad un valore di y possono corrispondere due valori di x, x = 1, y = 1 e x = -1, y = 1, stessa immagine.

Non è suriettiva: perché i numeri negativi non possono essere immagini di un elemento di ℝ tale che sia x², x ≠ -1, quindi non posso calcolare la radice quadrata di y per y negativi.

f(x) = x², f: ℝ → [0; +∞).

Non è iniettiva (motivo sopra).

È suriettiva: perché nell’insieme di arrivo non ho più i numeri negativi, quindi ogni elemento può essere immagine di x², quindi posso calcolare la radice quadrata di y.

f(x) = x², f: [0; +∞) → [0; +∞).

È iniettiva: perché ho cambiato l’insieme di partenza e non considera i valori di x negativi.

È suriettiva (motivo sopra).

Numerosità degli insiemi

È il numero di elementi che possiede un insieme e si misura con la cardinalità card. Es. Card{re di Roma} = 7.

Due insiemi A e B si dicono equipotenti, cioè hanno la stessa cardinalità se ∃ φ: A → B (funzione biettiva), se posso creare una funzione che ad ogni valore di A venga associato un solo valore di B.

Ma se il numero di elementi di un insieme non è finito ci sono diverse forme di infinità:

• CARDINALITÀ DEL NUMERABILE: card(ℕ) = card(ℤ) = card(ℚ) = ℵ₀ (alef zero). Si dice numerabile ogni insieme che ha la stessa cardinalità di ℕ.
• CARDINALITÀ DEL CONTINUO: card(ℝ) = C. Non è numerabile, è molto più infinito.

Dimostrazione che ci sono più numeri reali compresi tra 0 e 1 che razionali.

[0;1] = {x ∈ ℝ, 0 ≤ x ≤ 1}.

Card(ℝ \ ℚ) = C.

I numeri irrazionali hanno la stessa cardinalità di quelli reali. ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ).

La proprietà che collega razionali a irrazionali:

∀ q₁, q₂ ∈ ℚ, q₁ < q₂ ∃ r ∈ ℝ \ ℚ : q₁ < r < q₂.

∀ r₁, r₂ ∈ ℝ \ ℚ, r₁ < r₂ ∃ q ∈ ℚ : r₁ < q < r₂.

[a, b] = {x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b}, a < b.

Valore assoluto – modulo

Se a ≥ 0, |a| = a. Per definizione |x| ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ.

Se a < 0, |a| = −a.

Disequazioni

|x| ≤ α ⇒ α ≥ 0 ⇒ −α ≤ x ≤ α.

|x| < α ⇒ α < 0, impossibile, x ∈ ∅.

|x| ≥ β ⇒ β ≥ 0 ⇒ x ≥ β ∪ x ≤ −β.

|x| > β ⇒ β > 0, sempre, ∀ x.

Proprietà

• -|x| ≤ x ≤ |x| ∀ x ∈ ℝ.
• -|y| ≤ y ≤ |y| ∀ y ∈ ℝ.
• -(|x|+|y|) ≤ x + y ≤ |x|+|y|.
• |x| + |y| ≥ |x + y| ∀ x, y ∈ ℝ, disuguaglianza triangolare.
• |α*β| = |α|*|β|.
• |α\β| = |α|\|β| con β ≠ 0.
• |0| = 0.
• |-x| = |x| ∀ x ∈ ℝ.
• x → |x| è una funzione.

Composizione di funzioni

f: A → B, g: C → D con f(A) ⊆ C.

(g∘f)(x) = g(f(x)): al posto di x nella funzione g, metto la funzione f(x).

Es. f: ℝ, f(x) =; g: [0, +∞), g(y) =. Richiesta f(ℝ) ⊆ [0, +∞) per (g∘f).

f(ℝ) è la totalità dei valori per x a tutto, verifico che f(ℝ) ≥ 0, xⁿ sempre positivo, f(ℝ) ⊆ [0, +∞).

f(ℝ) in particolare è tra 0 e 1, (0, 1] ⊆ [0, +∞), (g∘f), f composto g =.

Richiesta g([0, +∞)) per (f∘g). (f∘g), g composto f = f(ℝ) ⊆ ℝ.

Intervalli

Dati a, b ∈ ℝ, a ≤ b; si chiama intervallo di estremi a e b ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di ℝ:

• [a, b] = {x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b}, intervallo chiuso.
• [a, b)