In questo appunto risolveremo l'equazione:
[math] \left | \frac{2 + |x| }{3 + |x|} \right | > \frac{1}{2} [/math]
Un buon modo per gestire quest'ultimo valore assoluto è il seguente:
quando si ha una disequazione del tipo:
[math] |x| > a [/math]
[math] x a [/math]
mentre quando l'equazione è:[math] |x|
la soluzione è l'intervallo [math] - a
Fatta questa utile premessa, svolgiamo l'equazione.
Risulterà utile, sulla base di quanto appena detto, suddividere due casi.
Caso 1
[math] \frac{2 + |x|}{3 + |x|}
questa disequazione non ha soluzioni perché è il rapporto tra due quantità strettamente positive. Pertanto, per la regola dei segni è impossibile che il risultato sia negativo.
Caso 2
Passiamo ora alla disequazione:[math] \frac{2 + |x|}{3 + |x|} > \frac{1}{2} [/math]
La possiamo riscrivere come:
[math] \frac{2 + |x| - \frac{1}{2} (3 + |x|)}{3 + |x|}> 0 [/math]
[math] 2 + |x| - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} |x| > 0 [/math]
[math] \frac{1}{2} + \frac{1}{2} |x| > 0 [/math]
[math] x [/math]
essendo una somma di quantità positive.In definitiva, la disequazione è soddisfatta
[math] \forall x \in \mathbb{R} [/math]
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