Concetti Chiave
- Two swimmers start from point A on one riverbank to reach point B directly opposite A on the other bank.
- One swims directly across the river, while the other swims perpendicular to the current and then walks along the bank.
- The first swimmer compensates for the current's speed, resulting in an effective swimming speed of [math]v_1 = \sqrt{v^2-V_0^2}[/math].
- The second swimmer crosses the river and walks back, resulting in a total time equated to the first swimmer's crossing time.
- The walking speed [math]u[/math] is derived as [math]u=(v^2-V_0^2+v\sqrt{v^2-V_0^2})/V_0[/math] after equating the travel times.
Testo dell'esercizio
Due nuotatori lasciano il punto[math]A[/math]
sulla riva di un fiume per raggiungere il punto [math]B[/math]
situato esattamente di fronte ad [math]A[/math]
sull’altra riva. Uno di loro nuota seguendo la linea retta [math]AB[/math]
mentre l’altro nuota perpendicolarmente alla corrente e poi cammina lungo la sponda tornando indietro fino a [math]B[/math]
, ove giunge contemporaneamente al primo. La velocità della corrente sia [math]V_0[/math]
e la velocità di ognuno dei nuotatori rispetto all’acqua sia [math]v[/math]
. Qual è la velocità [math]u[/math]
con cui cammina il secondo nuotatore? Soluzione dell'esercizio
Indichiamo con[math]t[/math]
il tempo impiegato dai due nuotatori e con [math]d[/math]
la larghezza del fiume.Il primo nuotatore, per attraversare perpendicolarmente il fiume deve nuotare in una direzione che compensi la componente data dalla velocità della corrente. La velocità risultante è:
[math]v_1 = \sqrt{v^2-V_0^2}[/math]
Il tempo della traversata diventa:
[math] t = \frac{d}{v_1} = \frac{d}{\sqrt{v^2-V_0^2}} [/math]
Il secondo nuotatore attraversa il fiume in un tempo:
[math]t_1=d/v[/math]
Durante la traversata la corrente gli fa percorrere un tratto verso valle dato da:
[math]x=V_0t_1= \frac{V_0d}{v}[/math]
Il tempo impiegato dal secondo nuotatore per raggiungere il punto B è dunque:
[math] t = \frac{d}{v}+ \frac{x}{u} = \frac{d}{v}+\frac{V_0d}{uv}[/math]
Uguagliando le due espressioni del tempo si ottiene:
[math] \frac{1}{\sqrt{v^2-V_0^2}} = \frac{1}{v} + \frac{V_0}{uv} [/math]
Da questa uguaglianza si trova:
[math] u = \frac{v^2-V_0^2+v\sqrt{v^2-V_0^2}}{V_0}[/math]
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