Concetti Chiave
- Il problema riguarda un'anatra che vola a un'altezza costante e un proiettile sparato per colpirla.
- Due approcci risolutivi sono suggeriti, entrambi implicano l'uso di equazioni cinematiche per determinare la velocità minima e l'angolo di tiro.
- Il proiettile deve raggiungere l'anatra al punto più alto della sua traiettoria parabolica, dove la componente verticale della velocità è nulla.
- La velocità minima necessaria del proiettile è calcolata come 28,5 m/s, con un angolo di tiro di 50,88 gradi.
- Il tempo necessario affinché il proiettile colpisca l'anatra è determinato essere 2,26 secondi.
{etRating 5}
Un'anatra vola orizzontalmente ad una quota
[math]H = 25 m[/math]
dal suolo con velocità costante [math]v = 18 m/s[/math]
. All'istante [math]t = 0[/math]
l'anatra si trova proprio sopra la testa di un cacciatore, e questi spara un proiettile per colpirla. Calcolare: a) il modulo vmin della minima velocità che deve avere il proiettile per colpire l'anatra b) il relativo angolo di tiro [math] heta[/math]
(alzo) c) dopo quanto tempo il proiettile colpisce l'anatra. Suggeriamo due modi per risolvere il problema. Il primo è il seguente Scriviamo le leggi orarie lungo la componente verticale e quella orizzontale per quanto riguarda l'anatra. Si ha
[math]\egin{cases} x=v \cdot t \\ y=H \ \end{cases}[/math]
Per il proiettile invece[math]\egin{cases} x=v_0 \\cos \theta \cdot t \\ y=v_0 \\sin \theta \cdot t-1/2 g \cdot t^2 \ \end{cases}[/math]
L'impatto del proiettile con l'anatra deve avvenire evidentemente all'altezza [math]H[/math]
, per cui poniamo [math]H=y[/math]
per l'equazione del proiettile e otteniamo:[math]H=v_0 \\sin \theta \cdot t-1/2 g \cdot t^2[/math]
(1) Similmente l'ascissa dei due punti corpi all'impatto è la medesima quindi:[math]v \cdot t=v_0 \\cos \theta \cdot t rArr v=v_0 \\cos \theta[/math]
A questo punto notiamo che il problema richiede la velocità minima del proiettile Quindi cerchiamo quella velocità per cui il proiettile colpisce l'anatra alla massima altezza della traiettoria (vertice della parabola). Quindi si scrive:[math]v_y=v_0 \\sin \theta - g \cdot t[/math]
Nel vertice della traiettoria parabolica, si ha che la componente verticale della velocità è nulla, dunque[math]v_y=0[/math]
pertanto[math]t=(v_0 \\sin \theta)/g[/math]
tempo che impiega il proiettile a raggiungere la massima altezza, che deve essere H per cui scrivo sostituendo alla (1):[math](v_0 \\sin \theta)^2/(2g)=H rArr v_0 \\sin \theta= \sqrt{2gH}[/math]
a questo punto metto a sistema le due relazioni trovate che riguardano la velocità del proiettile con l'angolo:[math]\egin{cases} v_0 \\sin \theta=\sqrt{2gH} \\ v_0 \\cos \theta = v \ \end{cases}[/math]
da cui ottengo [math]\sqrt{2gh}/v=\\tan \theta rArr \theta=50,88°>p>>/p> >p>>/p> [/math]
v_0 = v / cos heta = 28,5 m/s[math]>p>>/p> >p>>/p> [/math]
t= (v_0 sin heta)/(g)=2,26 s[math] La seconda strada è la seguente: Si può facilmente verificare che la parabola descritta dal proiettile ha equazio
e [/math]
y=xtantheta-g/(2v^2cos^2theta)x^2 Quindi si ragiona così: dobbiamo trovare le intersezioni di questa parabola con la rettae [/math]
[math]y=H[/math]
. Quindi otteniamo l'equazione di secondo grado in [math]x[/math]
[math]x\\tan heta-g/(2v^2\\cos^2 heta)x^2-H=0[/math]
Calcolando il delta si ha[math]Delta=\\tan^2 heta-(2gH)/(v^2\\cos^2 heta)[/math]
Affinché la parabola e la retta si intersechino, devo avere [math]Delta>=0[/math]
quindi andiamo a prendere il caso limite ponendo[math]Delta=0[/math]
Fatto ciò, ottengo la relazione[math]v^2\\sin^2 heta=2gH[/math]
quindi[math]v\\sin heta=\sqrt{2gH}[/math]
A questo punto il procedimento da seguire è lo stesso della prima soluzione, visto che anche in quel caso si giunti a questa relazione. D'altra parte il significato dell'ultima formula è chiaro: ricorda la conservazione dell'energia meccanica. Mostra quindi che la componente verticale della velocità si azzera all'altezza [math]H[/math]
. FINE
Domande da interrogazione
- Qual è la velocità minima che il proiettile deve avere per colpire l'anatra?
- Qual è l'angolo di tiro necessario per colpire l'anatra?
- Quanto tempo impiega il proiettile a colpire l'anatra?
- Qual è il significato della relazione [math]v\\sin heta=\sqrt{2gH}[/math]?
La velocità minima che il proiettile deve avere è 28,5 m/s.
L'angolo di tiro necessario è di 50,88°.
Il proiettile impiega 2,26 secondi per colpire l'anatra.
La relazione indica che la componente verticale della velocità si azzera all'altezza [math]H[/math], ricordando la conservazione dell'energia meccanica.
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