Concetti Chiave
- La forza di attrazione gravitazionale, secondo Newton, è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di esse.
- La costante gravitazionale, indicata con gamma, ha un valore di 6,67 x 10^-11 m^3 Kg^-1 s^-2 ed è fondamentale per calcolare l'attrazione gravitazionale.
- La massa della Terra può essere determinata utilizzando la formula M_T = (g * R_T^2) / gamma, dove g è l'accelerazione di gravità e R_T il raggio terrestre.
- La massa della Luna è circa un novantaseiesimo di quella della Terra, calcolata tramite la relazione M_L = (1/96) * M_T.
- L'accelerazione di gravità sulla Luna è circa un sesto di quella terrestre, rappresentata dalla formula g_L = g_T / 6.
In questo appunto di Fisica, dopo una introduzione sulla forza di attrazione gravitazionale e sulla misura della massa terrestre, si trova il rapporto fra la massa della Luna e quella della Terra utilizzando la legge di attrazione gravitazionale.
Legge di attrazione gravitazionale
La forza di attrazione gravitazionale è quella che determina il moto dei pianeti e dei satelliti. Newton ebbe l’intuizione che tale forza si esercitasse fra due oggetti qualsiasi e non solo fra corpi celesti.Al fine di esprimere questa legge fisica, si considerino due punti materiali qualunque
P_1
[/math]
P_2
[/math]
m_1
[/math]
m_2
[/math]
La forza
\overrightarrow{F_{12}}
[/math]
P_1
[/math]
P_2
[/math]
\overrightarrow{F_{12}} = - \gamma \cdot \big(\frac{m_1 m_2}{r^2}\big) \cdot \overrightarrow{r}
[/math]
dove
\overrightarrow{r} = (P_2 – P_1)
[/math]
è il versore che individua la direzione da
P_1
[/math]
P_2
[/math]
Il segno negativo indica la natura attrattiva di tale forza, mentre \gamma è una costante che dipende solo dalle unità di misura usate.
Dall’espressione di tale forza possiamo dedurre che la forza di attrazione gravitazionale fra due masse è un vettore avente modulo:
F_{12} = \gamma \cdot \big(\frac{m_1 m_2}{r^2}\big)
[/math]
Tale modulo risulta essere direttamente proporzionale alle due masse coinvolte ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa: quindi aumenta se aumenta il valore delle masse considerate e diminuisce se si aumenta la distanza fra queste, fino a diventare praticamente nulle per distanze infinite.
La costante
\gamma
[/math]
\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11 } m^3 Kg^{-1} s^{-2}.
[/math]
La direzione del vettore che rappresenta la forza di attrazione gravitazionale è individuata dalla retta che contiene la congiungente delle due masse
m_1
[/math]
m_2
[/math]
Infine il verso è sempre attrattivo: la massa
m_1
[/math]
m_2
[/math]
m_2
[/math]
m_1.
[/math]
Supponiamo adesso che invece di due punti materiali,
P_1
[/math]
P_2
[/math]
Legge gravitazionale e Terra
Supponiamo che la superficie della Terra sia approssimativamente sferica e che la sua densità vari soltanto con la distanza dal centro. In tali ipotesi, l’attrazione subita da un oggetto di massa m sulla superficie terrestre, risulta in modulo essere uguale a:F = \gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{(R_T)^2}\big)
[/math]
dove
M_T
[/math]
R_T
[/math]
Tale forza spiega la caduta dei gravi con accelerazione g.
Inoltre, per il Secondo Principio della Dinamica si ha che:
\gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{(R_T)^2}\big) = m g
[/math]
quindi
\gamma \cdot \big(\frac{M_T}{(R_T)^2}\big) = g.
[/math]
Un forza attrattiva del tutto analoga fra la Terra ed il suo satellite, la Luna, determina il moto di quest’ultima intorno al nostro pianeta, infatti, applicando ancora il Secondo Principio della Dinamica,
F = ma
[/math]
si ottiene che
\gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{D^2}\big) = m a
[/math]
e quindi
\gamma \cdot \big(\frac{M_T}{D^2}\big) = a
[/math]
dove D è la distanza Terra – Luna.
Si ha che deve valere la seguente proporzione:
g : a = D^2 : R^2.
[/math]
Il modulo dell’accelerazione a della Luna può essere calcolata approssimativamente considerando il moto della Luna intorno alla Terra come circolare uniforme.
La massa della Terra
Nel 1798 Henry Cavendish riuscì a misurare in laboratorio la costante di attrazione gravitazionale\gamma
[/math]
Lo strumento che gli permise di fare tale misurazione è la bilancia di torsione la quale è costituita da due piccole sfere di piombo di masse diverse, fissate alle estremità di un’asta leggera (di massa trascurabile) e sospesa per il suo punto medio ad un lungo e sottile filo. Tutto il dispositivo è posto in una custodia in modo da essere schermato da correnti convettive di aria. Altre due grosse sfere di piombo sono fissate in prossimità delle sferette. La forza gravitazionale esercitata dalle sfere grosse su quelle piccole fa ruotare il dispositivo mobile di un angolo proporzionale alla forza: misurando tale angolo di torsione, note le proprietà elastiche del filo di sospensione (costante elastica del filo), si può ricavare il valore della forza gravitazionale. La riflessione di un raggio luminoso sopra uno specchio fissato sul filo di torsione va su di una scala graduata sulla quale si legge l’angolo di torsione.
Ripetendo più volte questa esperienza variando il materiale con cui sono fatte le sfere, la loro distanza e le loro dimensioni Cavendish riuscì a stimare con buona approssimazione il valore della costante gravitazionale.
Noto il valore di G
G = \gamma = 6,67 \cdot 10^{-11 } m^3 Kg^{-1} s^{-2}
[/math]
Si può trovare indirettamente il valore della massa della Terra,
M_T
[/math]
Sia
R_T
[/math]
F = \gamma \cdot \big(\frac{m M_T}{(R_T)^2}\big)
[/math]
conseguentemente, l’accelerazione di gravità,
g_T
[/math]
g = \frac{F}{m} = \gamma \cdot \frac{M_T}{(R_T)^2}
[/math]
da cui possiamo ricavare la massa
M_T
[/math]
M_T = \frac{g \cdot (R_T)^2}{\gamma}
[/math]
Sostituendo i valori numerici otteniamo che:
M_T = \frac{(9,8) \cdot (6,38 \cdot 10^6)^2)}{6,67 \cdot 10^{-11}} Kg
[/math]
essendo
R_T = 6,38 \cdot 10^6 m
[/math]
il raggio terrestre.
Massa della Luna in funzione della massa della Terra
L’accelerazione di gravità sulla superficie della Luna,g_L
[/math]
g_T
[/math]
g_L = \frac{g_T}{6}.
[/math]
Sapendo inoltre che il raggio della Luna,
R_L
[/math]
R_T
[/math]
R_L = \frac{R_T}{4}
[/math]
Si vuole esprimere la massa della Luna in funzione di quella della Terra.
Svolgimento
Sappiamo che
g_L = \frac{g_T}{6}
[/math]
R_L = \frac{R_T}{4}.
[/math]
La legge di attrazione gravitazionale fra due qualunque masse, m ed M, è data da:
F = \gamma \cdot \big(\frac{m M}{d^2}\big),
[/math]
dove F è la forza che M esercita su m e di è la distanza che le separa.
Tale forza, per il Secondo Principio della Dinamica, vale anche
F = m a,
[/math]
quindi dall’uguaglianza di queste due espressioni si ha che:
\gamma \cdot \big(\frac{m M}{d^2}\big) = m a
[/math]
da cui, dividendo entrambi i membri per la massa m, si ottiene:
a = \gamma \cdot \big(\frac{M}{d^2}\big).
[/math]
Il valore trovato per l’accelerazione, a, corrisponde a quello dell’accelerazione di gravità, quindi in generale possiamo scrivere:
g = \gamma \cdot \big(\frac{M}{d^2}\big).
[/math]
Il valore dell’accelerazione di gravità sulla Terra è dato da:
g_T = \gamma \cdot \big(\frac{M_T}{(R_T)^2}\big).
[/math]
Il valore dell’accelerazione di gravità sulla Luna è dato da:
g_L = \gamma \cdot \big(\frac{M_L}{(R_L)^2}\big).
[/math]
Da queste due relazioni ricaviamo la massa della Terra,
M_T
[/math]
M_L
[/math]
M_T = \frac{(R_T)^2 \cdot g_T}{\gamma}
[/math]
M_L = \frac{(R_L)^2 \cdot g_L}{\gamma}.
[/math]
Sapendo che l’accelerazione di gravità sulla Luna risulta essere un sesto di quella sulla Terra ed il raggio della Luna risulta essere un quarto di quello terrestre, sostituiamo queste informazioni alla formula della massa lunare:
g_L = \frac{g_T}{6}
[/math]
R_L = \frac{R_T}{4}
[/math]
e quindi
M_L = \frac{\big(\frac{R_T}{4}\big)^2 \cdot \frac{g_T}{6}}{\gamma}
[/math]
da cui
M_L = \frac{1}{\gamma} \cdot \frac{(R_T)^2}{16} \cdot \frac{g_T}{6}
[/math]
Quindi
M_L = \frac{1}{96} \cdot \frac{(R_T)^2 g_T}{\gamma}
[/math]
Osservando che
M_T = \frac{(R_T)^2 g_T}{\gamma}
[/math]
rappresenta la massa della Terra, si può concludere che
M_L = \frac{1}{96} \cdot M_T.
[/math]
per ulteriori approfondimenti sulla forza di attrazione gravitazionale vedi anche qua
Domande da interrogazione
- Qual è la legge di attrazione gravitazionale e come si esprime?
- Come si calcola la massa della Terra utilizzando la costante di attrazione gravitazionale?
- Qual è la relazione tra l'accelerazione di gravità sulla Luna e quella sulla Terra?
- Come si determina la massa della Luna in funzione della massa della Terra?
- Qual è il valore della costante di attrazione gravitazionale e chi l'ha misurato?
La legge di attrazione gravitazionale descrive la forza che due masse esercitano l'una sull'altra, esprimibile con la formula \( \overrightarrow{F_{12}} = - \gamma \cdot \big(\frac{m_1 m_2}{r^2}\big) \cdot \overrightarrow{r} \), dove \( \gamma \) è una costante e il segno negativo indica la natura attrattiva della forza.
La massa della Terra \( M_T \) può essere calcolata con la formula \( M_T = \frac{g \cdot (R_T)^2}{\gamma} \), dove \( g \) è l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre e \( R_T \) è il raggio terrestre.
L'accelerazione di gravità sulla Luna \( g_L \) è circa un sesto di quella sulla Terra \( g_T \), esprimibile come \( g_L = \frac{g_T}{6} \).
La massa della Luna \( M_L \) è espressa come \( M_L = \frac{1}{96} \cdot M_T \), dove \( M_T \) è la massa della Terra, derivata dalle relazioni tra le accelerazioni di gravità e i raggi dei due corpi.
La costante di attrazione gravitazionale \( \gamma \) è \( 6,67 \cdot 10^{-11} \, m^3 \, Kg^{-1} \, s^{-2} \) e fu misurata da Henry Cavendish nel 1798 utilizzando una bilancia di torsione.
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