Tesi, Sviluppo di Modelli Previsionali per Sistemi Fotovoltaici

S V$

J W

il coefficiente è normalmente positivo, mentre è negativo.

Per calcolare i valori di Isc e Voc a diversi livelli di temperatura (a

irraggiamento di riferimento) si utilizzano quindi le seguenti formule:

= +S ∗ −

J J , J , (1.12)

$ = $ + V$ ∗ −

W W , W , (1.13)

Se i valori sono misurati in [A/K] e [V/K], mentre

= ∗ 1+S ∗ −

J J , J , (1.14)

$ = $ ∗ 1 + V$ ∗ −

W W , W , (1.15)

Se sono misurati in [%/K].

Si ricorda che con il pedice ref si indicano i parametri riferiti alla condizioni

STC di riferimento.

Questi parametri sono molto utilizzati, perché risultano di facile reperibilità e

utilizzo pratico, tuttavia non spiegano fisicamente a cosa siano dovuti i

cambiamenti della curva caratteristica a causa della temperatura. Per far questo

occorre analizzare come variano i parametri del modello rispetto alla

temperatura.

28 Fisica e modellizzazione elettrica della cella fotovoltaica

La resistenza in parallelo e quella in serie sono generalmente in prima

approssimazione ritenute indipendenti dalla temperatura, così come anche il

fattore di idealità del diodo n [3]. Per la corrente di illuminazione, essendo molto

simile a quella di corto circuito, e correlata al valore della stessa solo dai valori

delle due resistenze (assunti indipendenti dalla temperatura) è utilizzata la

seguente formula per calcolarne la variazione:

= ∗ 1+S ∗ −

56 56, J , (1.16)

Il potenziale termico del diodo è direttamente proporzionale alla temperatura,

pertanto (

$ = $ ∗ )

& &, ( (1.17)

),YZ[

Infine, la corrente di saturazione inversa del diodo, che è assunta indipendente

dall’irraggiamento [17] presenta tuttavia una forte dipendenza dalla temperatura,

che può essere espressa con la seguente relazione [3]:

_`,YZ[ _`

\ M

] ∗ F # b

(

= ∗7 < ∗ a),YZ[ a)

^

)

, ( (1.18)

),YZ[

Dove k è la costante di Boltzmann, E è l’energy gap del silicio a 25 °C

g,0 è l’energy gap del silicio alla

(espresso in Joule), che vale 1.121 eV, mentre E g

temperatura T, che si ricava da E con la seguente relazione di tipo semi-

g,0

empirico [3]; = ∗ 1 − 0.0002677 ∗ −

, , (1.19)

Altri autori [5], [12], [18], [13] utilizzano una forma semplificata, assumendo

l’energy gap del silicio indipendente dalla temperatura:

_`

\ a)

] ∗ PF # b

(

= ∗ 7 < ∗ !∗ a),YZ[

) ",YZ[

, ( (1.20)

),YZ[

Dove E questa volta deve essere espresso in eV.

g

Le curva caratteristiche di una cella fotovoltaica al variare della temperatura

risultano essere le seguenti: 29

Capitolo 1

Figura 1.25 Caratteristica V-I di una cella fotovoltaica (Sun Power A300) al variare della

2

temperatura (G = 1000 W/m )

Si nota, come già spiegato, che la corrente di corto circuito cresce leggermente

con la temperatura, a causa dell’energy gap del silicio che si riduce, aumentando

così l’intensità della corrente foto generata, mentre la riduzione della tensione di

circuito aperto è causata essenzialmente dall’incremento di I con la

0

temperatura, che porta il comportamento esponenziale del diodo a manifestarsi

per livelli inferiori di tensione (effetto simile a quello visto in figura 1.18 dove si

confrontavano le curva con diversi valori di ). Globalmente, questo porta ad

una riduzione della potenza generata dalla cella al crescere della temperatura,

effetto che può essere calcolato e quantificato con un coefficiente di variazione

della potenza con la temperatura (normalmente fornito anch’esso nel datasheet e

normalizzato sulla potenza nelle condizioni di riferimento).

Si può notare che i valori di tensione di corto circuito che si ottengono facendo

variare i parametri del modello secondo le equazioni proposte, ben si accordano

V$

W

con i valori sperimentali ricavati attraverso il coefficiente fornito dal

costruttore, e che la differenza tra i valori è dell’ordine di qualche punto

percentuale. Tuttavia, se si vuole rendere il modello più preciso, si può utilizzare

la seguente equazione per calcolare la variazione di con la temperatura, che fa

S V$

J W

utilizzo anche dei coefficienti già visti e [4]:

0 >c0 ∗ ( F(

= :) )

:),YZ[ ),YZ[ (1.21)

8d ∗ a) ea),YZ[

X)

X),YZ[ !∗ FP

"

30 Fisica e modellizzazione elettrica della cella fotovoltaica

Utilizzando tale formula si nota che nei punti di circuito aperto le curve

caratteristiche si coincidono quasi perfettamente con la tensione di circuito

aperto calcolata con l’equazione (1.15), a differenza che nella figura 1.25, nella

quale si può osservare uno scostamento maggiore.

Figura 1.26 Caratteristica V-I di una cella fotovoltaica (Sun Power A300) al variare della

2

temperatura (G = 1000 W/m )

1.6.2 Variazione dell’irraggiamento

L’effetto più importante dell’irraggiamento è legato alla variazione della

corrente foto generata in maniera pressoché lineare, e determina una traslazione

in direzione verticale della curva caratteristica; gli altri parametri del modello

possono ritenersi costanti al variare dell’irraggiamento, a parte un effetto

marginale che riguarda la resistenza di shunt per bassi valori di irraggiamento

[3] [19] In questa sede si considera la variazione dell’irraggiamento sempre

considerandolo uniforme sulla superficie della cella e del modulo fotovoltaico.

L’effetto della disuniformità dello stesso sulla superficie del modulo e della

singola cella fotovoltaica verrà analizzato in seguito.

La corrente foto generata risulta direttamente proporzionale al livello di

irraggiamento che riceve la cella, in quanto, a pari probabilità di incidenza del

fotone con l’atomo di silicio, maggiore è la quantità di fotoni incidenti,

maggiore è quella di elettroni che riescono a compiere il salto energetico dalla

banda di valenza a quella di conduzione, e quindi a contribuire all’effetto

fotovoltaico. La formula che esprime la dipendenza della corrente foto generata

dall’irraggiamento è quindi la seguente: 31

Capitolo 1 U

= ∗

56 56, U (1.22)

YZ[

E la curva caratteristica della cella fotovoltaica varia nel seguente modo:

Figura 1.27 Caratteristica V-I di una cella fotovoltaica (Sun Power A300) al variare

dell’irraggiamento (T = 25 °C)

Come effetto sui parametri sensibili, si ha che la corrente di corto circuito cresce

in modo lineare rispetto all’irraggiamento, al pari della corrente foto generata:

U

= ∗

J J , U (1.23)

YZ[

L’equazione (1.23) può essere sfruttata per ricavare la radiazione incidente sulla

cella a partire dalla misura della sua corrente di corto circuito, almeno in prima

approssimazione, trascurando l’effetto della temperatura e ipotizzando che la

radiazione incidente abbia distribuzione spettrale fissata (e ritenuta costante

nelle varie condizioni di funzionamento della cella) [10].

La tensione di circuito aperto cresce anch’essa, ma in modo logaritmico, come

effetto indiretto della traslazione lungo l’asse delle correnti della curva

caratteristica; la formula che esprime la variazione della tensione di circuito

aperto rispetto all’irraggiamento può essere ricavata a partire dall’equazione

(1.5), valutata per l’irraggiamento di riferimento ed un altro livello di

irraggiamento:

32 Fisica e modellizzazione elettrica della cella fotovoltaica

f ∗-∗'∗( 0 0 0

$ = ln 7 + 1< = D ln 7 + 1< =

gD ln 7 <

: ),YZ[ 12,YZ[ 12,YZ[ 12,YZ[

W , * 0 0 0

3,YZ[ 3,YZ[ 3,YZ[

(1.24)

Avendo definito f ∗-∗'∗(

D = = h ∗ % ∗ $

: ),YZ[ J &,

* (1.25)

, assume valori

E potendo trascurare l’1 all’interno del logaritmo, in quanto

56,

-7

in genere inferiori a 10 e valori di qualche Ampere.

Analogamente, per un livello qualsiasi di irraggiamento (e temperatura sempre

pari a quella di riferimento) si può scrivere:

0 0

$ = D ∗ ln 7 + 1< −

g D ∗ ln 7 <

12 12

+, 0 0 (1.26)

3,YZ[ 3,YZ[

Sostituendo la (1.23) nella (1.26):

i i

56, 56,

$ =

gD ln #=D ln #+D ln #=

g

i i

+, , , U

=

g $ +D ln 7 <

+,, U (1.27)

YZ[

Se al posto di essere ad una temperatura pari a quella di riferimento, ci si trova

D D

ad una temperatura diversa, al posto di è sufficiente sostituire

nell’equazione (1.27), che a sua volta si calcola dalla (1.25) sostituendo a

, .

Alcuni autori [3] [19] come accennato, propongono un modello di variazione

della resistenza di shunt con l’irraggiamento valido per bassi livelli di

irraggiamento, per i quali, come proposto da [3] la resistenza di shunt risulta

essere inversamente proporzionale all’irraggiamento stesso:

U

I = I ∗ YZ[

5 5, U (2.28)

Una formula alternativa è proposta da [19]: m

Fl∗

(0) − I

I = I i − jI i k∗ mYZ[

5 5 5 5 (2.29)

33

Capitolo 1 (0)

I i I

5 5

Dove e sono rispettivamente la resistenza in parallelo alle STC

e con illuminazione nulla, e K è una costante, il cui valore proposto dall’autore è

5.5.

1.6.3 Effetto combinato di temperatura e irraggiamento

Unendo le considerazione fatte nei due paragrafi precedenti, si possono ricavare

la formule che esprimono la variazione dei parametri sensibili della cella

fotovoltaica in dipendenza delle condizioni ambientali, come effetto combinato

della variazione della temperatura e dell’irraggiamento.

U

= ∗ ∗ 1+S ∗ −

J J , J ,

U (2.30)

YZ[ U

$ = $ ∗ 1 + V$ ∗ − + D ∗ ln 7 <

+, +,, W , U (2.31)

YZ[

Si ricorda che nell’utilizzo pratico di tali formule, se si usano i coefficienti

espressi in [%/K] come qui proposto, si deve sempre prestare attenzione alla

conversione di tali coefficienti in A e V. Per far questo si ricorda che le quantità

per cui sono stati normalizzati per renderli adimensionali, sono riferite sempre

alle condizioni di riferimento (sia per quanto riguarda la temperatura, sia per

quanto riguarda l’irraggiamento).

Alcuni autori [18] hanno proposto dei modelli per considerare anche la

variazione di R e R con i parametri ambientali:

s p '

I = n + + n ∗

N

J P \

o (2.32)

I = I ∗ F' ∗(

p