Tesi, Sviluppo del circuito equivalente delle macchine elettriche

Ora si dimostrerà che questi risultati si possono ottenere elaborando le equazioni

magnetiche e le equazioni elettriche, trovando i loro circuiti equivalenti.

Per il primo esempio si scrivono le seguenti equazioni:

- equazioni magnetiche relative al circuito di Fig.1:

- utilizzando la legge dell’induzione elettromagnetica ricavo: 5

La rappresentazione circuitale dell’equazione ottenuta è il circuito di Fig.2

Per il secondo esempio si scrivono le seguenti equazioni:

- equazioni magnetiche relative al circuito di Fig.3: :

utilizzando la legge dell’induzione elettromagnetica ricavo

-

La rappresentazione circuitale dell’equazione ottenuta è il circuito di Fig.4

Il metodo della dualità magnetica-elettrica degli induttori appena presentato ora verrà

.

utilizzato per ricavare i circuiti equivalenti delle principali macchine elettriche

4. Studio della dualità nel trasformatore monofase a due

avvolgimenti

Nel seguente capitolò verrà studiato il circuito equivalente del trasformatore monofase a due

avvolgimenti sfruttando il metodo ricavato precedentemente.

La prima operazione necessaria è quella di schematizzare la struttura del trasformatore

monofase a due avvolgimenti con un circuito magnetico a parametri concentrati facendo due

ipotesi fondamentali:

- si suppone che tutte le spire dell’avvolgimento primario(1) e secondario(2) siano

avvolte allo stesso modo; 6

- si sostituiscono alle linee di campo di concatenazione parziale un tubo di flusso

equivalente a concatenamento totale, in modo tale da non modificare l’equivalenza agli

effetti esterni; Fig.1 Struttura del trasformatore monofase a due avvolgimenti

Per stabilire i versi delle tensioni e delle correnti ho adottato la convenzione degli

utilizzatori per l’avvolgimento primario(1) e la convenzione dei generatori per

l’avvolgimento secondario(2).

4.1 Circuito magnetico del trasformatore e relative equazioni

magnetiche

Il circuito magnetico del trasformatore lo ottengo associando ai tubi di flusso della struttura

del trasformatore(Fig.1) le relative riluttanze: :

Posso fare due considerazioni

θ ≈ θ perché sono entrambe riluttanze del

- 1 2

tubo di flusso che si trova sulle colonne 7

θ » θ ≈ θ perché è la dispersione del tubo di flusso che si trova in aria

- d 1 2

Fig.2 Circuito magnetico a parametri concentrati

Le equazioni magnetiche le ricavo applicando la legge di Kirchhoff dei flussi al nodo a e la

legge della circuitazione di Amperè alle maglie a-b-c-d e a-b-f-g :

sapendo che :

Per risolvere queste equazioni suppongo noti m , m , la geometria del trasformatore e

1 2

infine considero le riluttanze costanti, anche se i materiali non sono lineari; quindi le

incognite sono φ , φ e φ :

1 2 d

θ θ + θ θ + θ θ

D =

con 1 2 1 d 2 d

Posso riscrivere le equazioni esprimendo i flussi come la somma di un flusso comune

:

dovuto ad entrambe le f.m.m. e un flusso proporzionale alla propria f.m.m. 8

Si possono fare alcune considerazioni:

1. il seguente parametro tiene conto della non linearità dei materiali utilizzati

θ θ

posso trascurare il termine perchè, come visto precedentemente, è molto

1 2

θ ;

inferiore al termine d

posso definire due parametri che indicano la ripartizione del flusso disperso sui due

2. :

avvolgimenti θ ≈ θ

come visto precedentemente quindi posso dire che

3. 1 2

ciò significa che le predite dovute al flusso disperso sono simili su entrambi gli

.

avvolgimenti :

Fatte queste considerazioni le equazioni magnetiche diventano 9

con:

Λ : permeanza di magnetizzazione (rappresenta la permeanza del nucleo in ferro

fe della struttura del trasformatore

Λ Λ

e : rappresentano le permeanze di dispersione rispettivamente

1d 2d

dell’avvolgimento primario e secondario

:

Sapendo che

quindi:

con:

φ : flusso mutuo ad entrambi gli avvolgimenti

m

φ φ

e : flussi di dispersione dell’avvolgimento primario e secondario

1d 2d

Per ottenere il circuito equivalente devo passare dalle equazioni magnetiche alle equazioni

elettriche

4.2 Circuito elettrico equivalente del trasformatore e relative

equazioni elettriche

Le equazioni elettriche le ricavo applicando la legge di kirchhoff delle tensioni agli

:

avvolgimenti della struttura del trasformatore(Fig.1) collegati ai morsetti esterni 10

con:

v e v : tensioni ai morsetti degli avvolgimenti

1 2

R i e R i : perdite per effetto Joule degli avvolgimenti

1 1 2 2

e , e : f.e.m. indotte sugli avvolgimenti

1t 2t

Per trovare le f.e.m. indotte sull’avvolgimento primario(e ) e sull’avvolgimento

1t

secondario(e ) devo utilizzare la legge dell’induzione elettromagnetica da applicare alle

2t :

equazioni magnetiche trovate precedentemente

Per rappresentare circuitalmente le equazioni appena trovate devo fare alcune

considerazioni:

una parte di queste equazioni possono essere rappresentate attraverso un

- trasformatore ideale con rapporto di trasformazione k pari al rapporto tra il numero di

:

spire :

la f.e.m. indotta in ogni spira dal flusso mutuo vale

-

- le f.e.m. di dispersione dei due avvolgimenti valgono: 11

:

Posso riscrivere le equazioni elettriche nel seguente modo :

Posso definire un primo circuito equivalente riferito alle seguenti equazioni

In questo circuito i due generatori e ed e non sono indipendenti, quindi si dovrà sviluppare

1 2

ulteriormente la trattazione prendendo in considerazione il flusso comune ai due

:

avvolgimenti

poiché il lato alimentato è il primario una parte della corrente i serve per magnetizzare il

1 :

nucleo del trasformatore ed è la corrente di magnetizzazione i , quindi

m

quindi:

Si può rappresentare circuitalmente il ramo che assorbe la corrente i sapendo che è

m

:

sottoposto alla tensione e 1 12

quindi: φ

per capire il valore della derivata del flusso mutuo rispetto alla forza magnetomotrice

m

m , studio la seguente caratteristica:

m :

il punto p equivale a

:

l’equazione diventa

con L induttanza non lineare.

m

Aggiungendo anche le perdite nel ferro, rappresentate dalla conduttanza G in parallelo alla

fe

:

L , il circuito equivalente diventa

m

con:

- R e R rappresentano le perdite per effetto joule dei due avvolgimenti

1 2 13

- L e L sono le induttanze di dispersione dei due avvolgimenti

1d 2d

- L è l’induttanza di magnetizzazione

m

- G è la conduttanza che rappresenta le perdite per correnti parassite nel ferro

fe

5. Studio della dualità nel trasformatore trifase a due

avvolgimenti

In questo capitolo verrà studiato il circuito equivalente del trasformatore trifase a due

avvolgimenti utilizzando la dualità tra circuito magnetico e circuito elettrico.

Il trasformatore trifase può essere visto come un collegamento di tre trasformatori monofasi

e può avere il nucleo connesso a stella o a triangolo.

Il trasformatore trifase a due avvolgimenti connesso a stella viene anche chiamato a flussi

:

dipendenti e la sua struttura è la seguente

Fig.1 Struttura del trasformatore trifase a due avvolgimenti connessi a stella

Il trasformatore trifase a due avvolgimenti connesso a triangolo viene anche chiamato a

flussi indipendenti e la sua struttura è la seguente: 14

Fig.2 Struttura del trasformatore trifase a due avvolgimenti connessi a triangolo

5.1 Circuito magnetico del trasformatore trifase a due

avvolgimenti

Per ricavare il circuito magnetico del trasformatore trifase dalla struttura del trasformatore è

necessario fare alcune ipotesi:

- sono nulle le mutue induttanze tra avvolgimenti appartenenti a fasi diverse;

- i due avvolgimenti di ogni colonna generano due forze magnetomotrici M ’ e M ’’

i i

- entrambi gli avvolgimenti di ogni colonna sono concatenati con il flusso principale di

colonna Φ ;

c

- gli avvolgimenti sono concatenati con i propri flussi di dispersione Φ ’ e Φ ’

d d

:

Il circuito magnetico è il seguente

Fig.2 Circuito magnetico del trasformatore trifase a due avvolgimenti connessi a stella 15

5.2 Circuito elettrico equivalente del trasformatore trifase a

due avvolgimenti

Il circuito elettrico del trasformatore si ricava dal circuito magnetico applicando i metodi

:

della dualtà tra reti magnetiche e reti elettriche

Fig.3 Circuito elettrico equivalente del trasformatore trifase a due avvolgimenti connessi a stella

Posso trovare un circuito equivalente ridotto inglobando le due impedenze Z’ e Z’’ in

un’unica impedenza serie Z e inserendo 6 trasformatori ideali, 3 su lato alta tensione e 3 sul

s

:

lato bassa tensione 16

Fig.4 Circuito elettrico equivalente ridotto del trasformatore trifase a due avvolgimenti connessi a stella

Il circuito equivalente ricavato rappresenta un trasformatore con collegamento stella-

triangolo (Yd).

In questo circuito si può notare che se la somma dei flussi concatenati dei tre avvolgimenti è

nulla (Φ + Φ + Φ = 0), e quindi anche la somma delle tre tensioni ai capi degli

c1 c2 c3

avvolgimenti è nulla, allora il trasformatore si comporta come tre trasformatori monofasi

indipendenti.

6. Studio della dualità nel trasformatore monofase a tre

avvolgimenti

Il trasformatore monofase a tre avvolgimenti è composto da tre bobine avvolte sullo stesso

circuito magnetico.

Ipotizzo che il nucleo ferromagnetico sia ideale quindi:

- non si considerano le perdite per effetto joule negli avvolgimenti

- non si considerano le perdite nel ferro 17

- non si ha flusso di dispersione

- non si considerano le correnti di magnetizzazione

Con queste ipotesi è possibile ricavare il circuito equivalente del trasformatore a tre

avvolgimenti. :

La struttura del trasformatore è la seguente

Fig.1 Struttura del trasformatore a tre avvolgimenti

Dalla strutta del trasformatore vengono ricavate le equazioni magnetiche e le relative

.

equazioni elettriche che saranno utilizzati per ricavare i circuiti magnetici ed elettrici

6.1 Dualità equazioni magnetiche-elettriche nel trasformatore

a tre avvolgimenti

Per scrivere le equazioni magnetiche del trasformatore ricavo il flusso totale che scorre nella

struttura magnetica di Fig.1:

θ :

è la riluttanza della struttura magnetica in ferro e la sua espressione è

n θ ≈ 0

quindi n 18

:

Sostituendo questo valore nell’espressione del flusso tota