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Tesi - Studio dei polinomi di quinto grado

Tesi di Laurea triennale in Teoria delle equazioni. Studio dei polinomi di quinto grado in maniera approfondita e loro scomposizione per la cattedra del professor Pappalardi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: Galois, equazioni, polinomi, Teoria di Galois.

Materia di Teoria delle equazioni e teoria di Galois relatore Prof. F. Pappalardi

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ESTRATTO DOCUMENTO

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI 8

2.3 Teoremi e Proposizioni

Proposizione 2.3.1. Sia con e siano le radici di in .

∈ R[X]

A m = deg(A) α A K

i

Allora: 0 Y 2

m−1+deg(A ) −

(α α )

D(A) = `(A) i j

1≤i<j≤m

Dimostrazione. Se ha radici multiple, entrambe sono pari a ( )

∃ |

A 0 i, j α = α

i j

Assumiamo quindi che abbia solo radici semplici, Ora sia , abbiamo:

A a = `(A)

X Y

0 −

A (X) = a (X α )

j

i j6 = i

perciò: Y

0 −

A (α ) = a (α α )

i i j

j6 = i

Otteniamo così: m(m−1)

0 Y

0 m+deg(A ) 2

R(A, A ) = a (−1) (α α )

2 i j

i<j

⇒ 0

R(A, A )

m(m−1)

D(A) = (−1) 2 `(A)

2

m(m−1) 0 Y

m−1+deg(A ) 2

`(A)

= (−1) (α α )

2 i j

i<j

Nota 2.3.2. Abbiamo sempre che eccetto quando la caratteristica di

deg(A) = m 1

non è zero e divide

R m

Proposizione 2.3.3. Sia gruppo alternato corrispondente alle permutazioni pari

A n

è un quadrato, ove è come in Notazione 2.1.2 e è il

⇒ G ⊂ ⇔

A D(T ) T D(T )

n

discriminante di .

T

Dimostrazione. Siano radici di . Per la Proposizione 2.3.1 sappiamo che

θ T

i Y

, ove

2 −

D(T ) = f f = (θ θ )

j i

1≤i<j≤n

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI 9

é chiaramente algebrico e abbiamo che

∀σ ∈ G

f σ(f ) = (σ)f

ove è il segno di .

(σ) σ

Quindi se , tutte le permutazioni di sono pari, cosìcché è invariante su .

G ⊂ G G

A f

n

Teoria di Galois

Grazie alla sappiamo che ∈

f Z

Viceversa, se , abbiamo se le radici di sono distinte.

∈ 6

f f = 0 T

Z

Di conseguenza , cosìcché

∀σ ∈ G G ⊂

(σ) = 1 A

n

Enunciamo ora per completezza il più importante Teorema riguardante la risolvente

polinomiale.

Teorema 2.3.4. Sia .

m = [G : H] = deg(R (F, T ))

G

Allora, se è squarefree, il suo gruppo di Galois (come sottogruppo di )

R (F, T ) S m

G

è uguale a , ove è il naturale omomorsmo tra gruppi da a dato dalla

Φ(G) Φ G S m

naturale azione sinistra di su .

G G/H

In particolare, la lista dei gradi dei fattori irriducibili di in è la stessa delle

R (F, T ) Z

G

lunghezze delle orbite dell'azione di su .

Φ(G) [1 . . . , m]

Ad esempio, ha radice in se e solo se è coniugato sotto ad un sottogruppo

G

R (F, t) G

Z

G

di .

H

Il Teorema che ora enunciamo senza dimostrazione è utile ai ni dell'Algoritmo

2.4.10, poiché determina una forte relazione tra i coecienti dei due polinomi conside-

rati.

Teorema 2.3.5 . Per ogni polinomio X

(sui Vincoli sui Fattori Polinomiali) i ∈

P = p X

i

0≤i≤n

2

!

poniamo . Sia e polinomi

X X X

2 i i

| |= | |

P p A = a X B = B X

C[X] i i i

i 0≤i≤m 0≤i≤n

a coecienti interi, e assumiamo che . Allora abbiamo che per ogni :

|

B A j

− −

n 1 n 1

| |≤ | | | |

b A + a

m

j −

j j 1

Teorema 2.3.6. Siano interi non necessariamente primi e sia Siano

p, q r = gcd(p, q)

e polinomi a coecienti interi soddisfacenti:

C, A, B, U V ≡ ≡

C AB U A + V B 1

q p

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI10

e assumiamo che , , e

gcd(`(A), r) = 1 deg(U ) < deg(B) deg(V ) < deg(A) deg(C) =

.

deg(A) + deg(B)

Allora esistono polinomi tali che , , ,

≡ ≡

A , B A A B B `(A ) = `(A) deg(A ) =

1 1 1 q 1 q 1 1

, e

deg(B) deg(B ) = deg(B)

1 ≡

C A B

qr 1 1

In più, e sono unici modulo se è primo

A B qr r

1 1

Nota 2.3.7. La dimostrazione del Teorema è data dall'Algoritmo 2.4.8.

Proposizione 2.3.8. Sia , dove è la radice di un polinomio monico irridu-

L = η

Q(η)

cibile di grado e sia

P (X) n

Z[X]  

1 X i

a η

α = i

 

d 0≤i≤n−1

la rappresentazione standard di qualche come in Notazione 2.2.13

α L

n−1

Sia .

X i

A = a X

i

i=0

Allora il polinomio caratteristico è dato dalla formula:

C α −n −

C (X) = d R (P (Y ), dX A(Y ))

α Y

ove è la risultante ottenuta rispetto alla variabile .

R Y

Y

In particolare abbiamo: −n

N = d R(P (X), A(X))

K/Q

Dimostrazione. Per denizione

Y Y

− −

C = (X σ (α)) = (X A(σ (η))/d)

i i

α i i

Y

−n −n

− −

= d (dX A(η )) = d R (P (Y ), dX A(Y ))

i Y

i

dove le sono i coniugati di , cioè le radici di

η η P

i

Proposizione 2.3.9. Sia e , allora se e 0

∈ ∈ 6 6 ∃λ ∈

P (X) x P (x) = 0 P (x) = 0

C[X] C

tale che:

+

R

P (x)

− |

P x λ <| P (x)

0

P (x)

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI11

2.4 Algoritmi

Algoritmo 2.4.1 . Siano , campo con .

(Divisione Euclidea) ∈ 6

A, B L[X] L B = 0

1. Siano , .

R = A Q = 0

2. Se allora termina l'algoritmo.

deg(R) < deg(B)

3. Poni `(R) deg(R)−deg(B)

S = X

`(B)

dopo di che , e vai al passo 2.

− ·

Q = Q + S R = R S B

Nota 2.4.2. La moltiplicazione al passo 3 non è propriamente una moltiplicazione

·

S B

tra polinomi ma una moltiplicazione scalare seguita da uno shift dei coecienti

Algoritmo 2.4.3 . Sia un anello e siano

(Algoritmo di Pseudo - Divisione) M ∈

A, B

, con . Sia inoltre e . Assumiamo che

M[X] 6

B = 0 m = deg(A), n = deg(B) d = `(B)

.

m n

1. Poni −

R = A, Q = 0, e = m n + 1

2. Se allora e termina l'algoritmo

e

deg(R) < deg(B) q = d , Q = qQ, R = qR

3. Sia deg(R)−deg(B)

S = `(R)X

allora e torna al passo

· · − · −

Q = d Q + S, R = d R S B, e = e 1 2

Algoritmo 2.4.4 . Sia polinomio monico e sia

(Fattorizzazione Squarefree) ∈

A F p

la sua fattorizzazione squarefree, dove sono squarefree e a due a due

Y ii

A = A A i

i≥1

coprimi.

L'algoritmo trova i polinomi e restituisce le coppie per i valori di per cui

A (i, A ) i A

i i i

è non costante.

1. Sia e .

e = 1 T = A

0

2. Se è costante, termina l'algoritmo. Altrimenti poni ,

0

T T = gcd(T , T ) V = T /T

0 0 0

0

e .

k = 0

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI12

e poniamo

3. Se è costante, deve essere della forma X j

t X

V T T (X) = j

p|j

j , e vai al passo 2.

X t X

T = e = pe

p

j

0 p|j

4. Poni . Se allora poni e .

|

k = k + 1 p k T = T /V k = k + 1

5. Sia , , e . Se è non costante

W = gcd(T, V ) A = V /W V = W T = T /V A

ek ek

restituisci . Vai al passo 3.

(ek, A )

ek

Algoritmo 2.4.5 . Siano , .

(della Sotto-Risultante) ∈ J J

A, B [X] U F D

1. Se o restituisci 0 e termina l'algoritmo.

A = 0 B = 0

Altrimenti sia , , , , , ,

a = cont(A) b = cont(B) A = A/a B = B/b g = 1 h = 1

e . Inne se scambia e e se in più

deg(B) deg(A)

s = 1 t = a b deg(A) < deg(B) A B

e sono dispari allora poni −1

deg(A) deg(B) s =

2. Sia . Se e sono dispari allora . Inne

− −s

δ = deg(A) deg(B) deg(A) deg(B) s =

troviamo tale che utilizzando l'Algoritmo 2.4.3.

δ+1

R `(B) A = BQ + R

3. Sia e .

δ

A = B B = R/(gh )

4. Poni , . Se vai al passo 2, altrimenti poni

1−δ δ

g = `(A) h = h g deg(B) > 0

restituisci e termina l'algoritmo.

1−deg(A) deg(A) · ·

h = h `(B) s t h

Algoritmo 2.4.6 . Siano dati due

(del calcolo del GCD mediante Sotto - Risultante)

polinomi , .

∈ J J

A, B U F D

1. Se allora scambia e . Se ora restituisci e termina

deg(B) > deg(A) A B B = 0 A

l'algoritmo.

Altrimenti sia , , , , ,

a = cont(A) b = cont(B) d = gcd(a, b) A = A/a B = B/b

e =1

g = 1 h

2. Sia . Utilizzando l'Algoritmo 2.4.3 troviamo tale che

δ = deg(A) deg(B) R

.

δ+1

`(B) A = BQ + R

Se vai al passo . Se , poni e vai al passo 4.

R = 0 4 deg(R) = 0 B = 1

3. Sia , , , e vai al passo 2.

δ 1−δ δ

A = B B = R/(gh ) g = `(A) h = h g

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI13

4. Restituisci e termina l'algoritmo.

·

d B/cont(B)

Algoritmo 2.4.7 . Sia polinomio monico.

(Fattorizzazione in ) ∈

A [X]

F F

p p

1. Troviamo in tali che

A , . . . , A [X]

F

1 p

k

k

(1) .

Y ii

A = A

i=1

(2) sono coprimi e squarefree.

A i

Questa scomposizione è data dall'Algoritmo 2.4.4.

2. Per troviamo i polinomi tali che sia il prodotto di

i = 1, . . . , k A [X] A

F p

i,d i,d

tutti i fattori irriducibili di . Perciò: .

Y

A A = A

i i i,d

d

3. Per ogni e fattorizza in fattori irriducibili di grado .

i d A deg(A )/d d

i,d i,d

4. Raggruppa tutti i fattori identici trovati, ordinandoli mediante il grado, restituisci

la fattorizzazione completa e termina l'algoritmo.

Algoritmo 2.4.8 . Assumiamo le notazioni del Teorema 2.3.6

(Sollevamento di Hensel)

e denotiamo con l'anello

M Z/rZ

1. Sia . Usando l'Algoritmo 2.4.1 sull'anello , troviamo

f = (C AB)/q mod r M

tale che

∈ −

t M [X] deg(V f AT ) < deg(A)

2. Sia un sollevamento di su avente lo stesso grado e sia un

A V f At B

Z[X]

0 0

sollevamento di su avente lo stesso grado. Restituisci

U f +Bt A = A+qA

Z[X] 1 0

, e termina l'algoritmo.

B = B + qB

1 0

Algoritmo 2.4.9 . Assumiamo perciò .

(Sollevamento Quadratico di Hensel) |

p q r = p

Dopo l'Algoritmo 2.4.8, questo algoritmo trova e tale che , ,

≡ ≡

U V U V V V

1 1 1 p 1 1 p

, e

deg(U ) < deg(B ) deg(V ) < deg(A )

1 1 1 1 ≡

U A + V B 1

1 1 1 1 pr

1. Sia . Usando l'Algoritmo 2.4.1 sull'anello

− −

g = (1 U A V B )/p mod r M =

1 1

troviamo tale che che è possibile poiché

∈ −

t M [X] deg(V g A t) < deg(A )

Z/rZ 1 1

è invertibile su .

`(A ) = `(A) M

1

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI14

2. Sia un sollevamento di su avente il medesimo grado e sia un

U U g + B t V

Z[X]

0 1 0

sollevamento di su avente lo stesso grado. Restituisci ,

V g−A t U = U +pU

Z[X]

1 1 0

e termina l'algoritmo.

V = V + pV

1 0

Algoritmo 2.4.10 . Sia un polinomio non nullo.

(Fattorizzazione in ) ∈

A

Z Z

1. Sia , , , dove è ottenuto me-

0 0

c = cont(A) A = A/c U = A/ gcd(A, A ) gcd(A, A )

diante l'Algoritmo 2.4.6. Possiamo inoltre utilizzare in questo passo la scom-

posizione squarefree dell'Algoritmo 2.4.4 per abbassare ulteriormente il grado di

.

U

2. Per ogni trova sul campo e fermati quando questo è uguale a

0

p gcd(U, U ) gcd

F p

1. Per questo utilizziamo l'Algoritmo 2.4.7, trovando la fattorizzazione completa

p

di .

U mod p

3. Usando il Teorema 2.3.5 troviamo un vincolo per i coecienti dei fattori di

B U

di grado minore o uguale a . Scegli anché sia il più piccolo esponente

deg(U )/2 e

tale che e

p > 2`(U )B

4. Usando la generalizzazione degli Algoritmi 2.4.8 e 2.4.9, solleva la fattorizzazione

ottenuta al passo 2 ad una fattorizzazione . Sia

e

mod p e

U `(U )U . . . U mod p

1 r

la fattorizzazione di e assumiamo gli monici.

e

U mod p U

i

Sia d = 1

5. Per ogni combinazione di fattori , dove in più abbiamo che

V̄ = U . . . U i = 1

i i d

1 d

se , troviamo l'unico polinomio tale che tutti i coecienti di

1 ∈

d = r V V

Z[X]

2

sono in e soddisfano se ,

1 12 12

e e ≡ ≤ ≡

[− p , p [ V `(U )

V̄ deg(V ) deg(U ) V U/V̄

e e

p p

2

se .

12

deg(V ) > deg(U )

Se in restituisci , poni e rimuovi il corrispon-

|

V `(U )U F = pp(V ) U = U/F

Z[X]

dente dalla lista dei fattori (i.e. rimuovi e poni

e −

U mod p U . . . U r = r d

i i i

1 d

se o altrimenti lascia solo questi fattori e poni ) Se termina

1 12

d r r = d d > r

2

l'algoritmo restituendo se .

pp(U ) deg(U ) > 0

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI15

6. Poni . Se vai al passo 5, altrimenti termina l'algoritmo restituendo

12

d = d+1 d r

se .

pp(U ) deg(U ) > 0

Nota 2.4.11. Nell'algoritmo che segue la stima del 3 passo è ottenuta mediante l'e-

°

spansione di Taylor della Proposizione 2.3.9.

Questa stima è: 0 2

| |

2 Q (X)

λ = min 1, 00

| || |

Q(X) Q (X)

Algoritmo 2.4.12 . Sia un polinomio squarefree.

(del Calcolo delle Radici Complesse) P

1. Poniamo . Troviamo e poniamo e

0 0 0

Q = P P Q = P n = deg(P )

Inne poniamo se , altrimenti .

f = 1 P f = 0

R[X]

2. , e .

2

|

x = 1.3 + 0.314159ı v = Q(x) m =| v

3. Sia e . Se è più piccolo di (come da Nota 2.4.11) allora

0 |dx|

c = 0 dx = v/Q (x) λ

vai al passo 5.

4. Sia , e 2

− |

y = x dx v = Q(y) m =| v

1 1 1

Se allora , , e vai al passo 3.

m < m x = y v = v m = m

1 1 1

Altrimenti e . Se vai al passo 4 altrimenti restituisci un

dx

c = c + 1 dx = c < 20

4

messaggio di errore che informa che l'algoritmo è fallito.

5. due volte.

P (x)

x = x 0

P (x)

6. Se o se e il valore assoluto di è minore di , allora poni ,

=(x)

f = 0 f = 1 λ f = 0

restituisci e e .

Q(X) −

x Q(X) = n = n 1

(X−x)

Altrimenti restituisci e Inne, se

Q(X) −

x, Q(X) =

x ,n = n 2 n > 0

2 2

−2<(x)X+|x|

X

vai al passo 2, altrimenti termina l'algoritmo.

Nota 2.4.13. 1. Il numero al passo 2 è arbitrario. E' un numero

1.3 + 0.314159ı

algebrico non banale e non è troppo lontano dall'asse dei reali.

2. Il valore 20 del passo 4, in aggiunta alla divisione per 4, è anch'esso arbitrario

ma corrisponde ad una situazione reale. Se troviamo ciò signica che

m m

1

siamo davvero molto lontano dalla zona di attrazione della radice. Perciò, grazie

alla Proposizione 2.3.9, è preferibile dividere l'incremento per 4 e non per 2 ad

CAPITOLO 2. TEORIA DI GALOIS: FONDAMENTI E DEFINIZIONI16

esempio, cosicché da avere più alte possibilità di giungere al risultato al passo

successivo.

Algoritmo 2.4.14 . Sia un polino-

(Algoritmo di Trasformazione di Tschirnhausen) T

mio monico irriducibile su e sia un altro polinomio su .

K = U K

Q(θ)

1. Sia . Scegliamo un polinomio random .

∈ | ≤ −

n = deg(T ) A deg(A) n 1

Z[X]

2. Usando il metodo descritto nella Proposizione 2.3.8 troviamo il polinomio carat-

teristico di o in altre parole mediante

U α = A(θ) U = R (T (Y ), X A(Y ))

Y

l'Algoritmo 2.4.5

3. Usando l' Algoritmo 2.4.1 troviamo Se è costante, allora

0

V = gcd(U, U ) V

restituisci e termina l'algoritmo. Altrimenti vai al passo 1.

U

2.5 Riferimenti Bibliograci

Per questo capitolo si è fatto riferimento a [Coh93]. Per le Denizioni 2.2.10 e 2.2.11

si è fatto inoltre riferimento a [Ber12]

Capitolo 3

Sviluppo del Problema

In questo capitolo, dopo aver riportato i metodi per trovare i gruppi di Galois per

i polinomi di terzo e quarto grado senza dimostrazione, proponiamo un algoritmo di

risoluzione per identicare i gruppi di Galois dei polinomi di grado 5.

3.1 Notazioni

Denotiamo con il gruppo di permutazioni pari, con il gruppo diedrale, ovvero il

A D

n n

gruppo di ordine formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni

2n

di lati, con il gruppo metaciclico di ordine p primo,con il gruppo ciclico di

n M C

p n

gruppo di Klein

ordine e con denoteremo il .

×

n V (C C )

4 2 2

Nota 3.1.1. In alcuni dei testi considerati (ad esempio [Mil08]) il gruppo metaciclico

viene denominato dove è il numero degli elementi formanti il gruppo. Si

M M m

p m

perde perciò la relazione con il grado del polinomio ma si guadagna la consapevolezza

del numero degli elementi presenti.

3.2 Grado 3

Studiando i polinomi di grado 3, è ovvio che gli unici sottogruppi di siano '

S C A

3 3 3

e i quali si dieriscono mediante il discriminate.

'

D S

3 3

Vale cioè la seguente Proposizione: 17

CAPITOLO 3. SVILUPPO DEL PROBLEMA 18

Proposizione 3.2.1. Se abbiamo o oppure a seconda se è

G ' G '

n = 3 C S D(T )

3 3

un quadrato oppure no.

Viene restituito o e ciò dipende da

−)

(C , +) (S , D(T )

3 3

3.3 Grado 4

Nello studio dei polinomi di grado 4 ci sono cinque sottogruppi transitivi di . Sono:

S 4

, , , , .

C V D A S

4 4 4 4 4

Alcune inclusioni sono: e .

⊂ ∩ ⊂

V D A C D

4 4 4 4 4

Denizione 3.3.1. Sia un polinomio quartico privo di radici multiple e sia un

f (X) E

4

suo campo di spezzamento, cosicché in .

Y −

f (X) = (X α ) E

i

i=1

Deniamo: α = α α + α α

1 2 3 4

β = α α + α α

1 3 2 4

γ = α α + α α

1 4 2 3

Lemma 3.3.2. Sia . La sua è:

4 3 2 risolvente cubica

f (X) = X + bX + cX + dX + e

3 2 2 2

− − − −

r (X) = X cX + (bd 4e)X b e + 4ce d

f 4

Dimostrazione. Y

Basta espandere esprimendo in termini di

f (X) = (X α ) b, c, d, e

i

i=1

e espandere esprimendo i coecienti di

− − −

α , α , α , α r (X) = (X α)(X β)(X γ)

1 2 3 4 f

in termini di e esprimendoli poi in funzione di

r α , α , α , α b, c, d, e

1 2 3 4

f Enunciamo ora il Teorema di Classicazione dei Gruppi di Galois di un polinomio

di grado 4.

Teorema 3.3.3. Sia irriducibile e sia

4 3 2 ∈

f = X + bX + cX + dX + e F [X] G =

f

Gal (f )

F

Se la risolvente cubica è irriducibile su , si hanno due casi:

r (X) F

f

(a) Se , allora ;

Gal (r (X)) = S G = S

3 4

F f f

CAPITOLO 3. SVILUPPO DEL PROBLEMA 19

(b) Se , allora

Gal (r (X)) = G = A

Z

3 4

F f f

Se la risolvente cubica è riducibile su , si hanno tre casi:

r (X) F

f

(c) Se , allora ;

Gal (r (X)) =< 1 > G = V 4

F f f

(d) Se Se e , allora

| ∩ |=

Gal (r (X)) = V G 2 G = (C )

Z Z

2 4 4 4

F f f f

(e) Se Se e allora

| ∩ |=

Gal (r (X)) = V G 4 G = D

Z

4 4 4

F f f f

3.4 Grado 5

Anche nello studio polinomi di grado 5 abbiamo 5 sottogruppi transitivi di .

S

5

Essi sono: , , (gruppo metaciclico di ordine 5), e . Alcune delle inclusioni

C D M A S

5 5 20 5 5

che li legano sono: ⊂ ⊂ ∩

C D A M

5 5 5 20

Molti matematici si sono cimentati nello studio della risultante dei polinomi di 5 grado

°

e tra questi compare Gianfrancesco Malfatti, che giunse a trovare una risultante per

questi polinomi completando gli studi di Leonard Euler, ma la trovò di grado 6.

Per completezza riportiamo la denizione di tale risultante

Denizione 3.4.1. Si consideri un polinomio di quinto grado nella forma non restrit-

tiva: 5

q(X) = X + 5cX + d

La è:

risolvente di Malfatti - Euler 4 2 2 4

− · − −

ρ(X) = (X c) (X 6cX + 25c ) d X

Teorema 3.4.2 . Se di Malfatti-Euler ha una radice razionale, allora

(di Malfatti) ρ(X)

è possibile ricavare una soluzione accettabile dell'equazione originale di quinto grado

.

5

q(X) = X + 5cX + d

Nei testi analizzati abbiamo trovato un algoritmo che ricava una classicazione dei

gruppi di Galois dei polinomi di grado 5.

Algoritmo 3.4.3. Sia polinomio irriducibile di grado 5.

T Z

CAPITOLO 3. SVILUPPO DEL PROBLEMA 20

1. Utilizzando l'Algoritmo 2.4.12 troviamo le radici di in .

θ T C

i

Sia: 2 2 2

F = X (X X + X X ) + X (X X + X X ) + X (X X + X X )

2 5 3 4 1 3 4 5 1 5 2 4

1 2 3

2 2

+ X (X X + X X ) + X (X X + X X )

1 2 3 5 1 4 2 3

4 5

e sia dove un sistema di rappresentazione di è dato da:

R = R(F, T ) G/H

{I,

G/H = (12, (13), (14), (15), (25)}

Arrotondando i coecienti di al più vicino intero.

R

2. Calcoliamo utilizzando l'Algoritmo 1.3.2 e sostituiamo con il

0

V = gcd(R, R ) T

polinomio ottenuto mediante l'Algoritmo 2.4.14 e vai al passo 1.

3. Fattorizza mediante l'Algoritmo 2.4.10.

R

4. Se è irriducibile allora restituisci o a seconda se è un

−)

R (A , +) (S , D(T )

5 5

quadrato perfetto o no e termina l'algoritmo. Se non è un quadrato perfetto,

D(T )

restituisci e termina l'algoritmo.

−)

(M ,

20

5. (In questo passo ha una radice intera e è un quadrato.) Sia un ele-

R D(T ) σ

mento di corrispondente alla radice intera di e poniamo (i.e.

S R (t ) = (t )

5 i σ(i)

rinumeriamo le radici di mediante ).

T σ

6. Sia − − −

d = (θ θ (θ θ ) + θ θ (θ θ ) + θ θ (θ θ )

1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 2

− −

+ θ θ (θ θ ) + θ θ (θ θ ))

4 5 5 4 5 1 1 5

arrotondato al più vicino intero. Se restituisci o a seconda

6

d = 0 (C , +) (D , +)

5 5

se è un quadrato perfetto o no e termina l'algoritmo.

d

7. (Qui ) Sostituisci con il polinomio ottenuto mediante l'applicazione del-

d = 0 T

l'Algoritmo 2.4.14. Sia (saranno le radici del nuovo ). Riordina le

θ = A(θ ) T θ

i i i

cosicché dove è come nel passo 1 e vai al passo 6.

F (θ , θ , θ , θ , θ ) F

Z

1 2 3 4 5

Nota 3.4.4. Analizzando l'Algoritmo 3.4.3 vediamo che:


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Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Matematimondo di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Teoria delle equazioni e teoria di Galois e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Pappalardi Francesco.

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