Tesi - Opzioni - metodi prezzatura

E’

funzione del tempo. Di conseguenza il processo di Poisson non è una martingala.

pero possibile rendere tali processi delle martingale.

Definizione 3.3.6.2: Il processo che rende

una martingala è detto compensatore. 45

Per rendere un processo di Poisson una martingala, è necessario che il processo

compensatore sia la media dello specifico processo di Poisson preso in considerazione.

Ad esempio, se è un processo di Poisson composto e la sua media, allora

è una martingala, con come compensatore.

è detto processo di Poisson compensato.

3.4 I processi di Lévy

3.4.1 Definizione

Definizione 3.4.1.1: Sia uno spazio di probabilità dove indica la

filtrazione generata dal processo fino al tempo Un processo stocastico

4

adattato, càdlàg , a valori reali con quasi certamente, è un

processo di Lévy se le seguenti condizioni sono soddisfatte:

 ha incrementi indipendenti, ovvero è indipendente da per ogni

 ha incrementi stazionari, ovvero la distribuzione di non dipende da

per ogni

 è stocasticamente continuo, ovvero per ogni e per ogni si ha

che

4 Una funzione è detta càdlàg se essa è continua a destra e limitata a sinistra: i

limiti

esistono e

Naturalmente, ogni funzione continua è càdlàg ma le funzioni càdlàg possono avere punti di

discontinuità. Se rappresenta un punto di discontinuità

rappresenta il salto della funzione nel punto 46

E’ importante sottolineare che l’ultima condizione non implica che le traiettorie siano

continue. Essa serve ad escludere i salti ad istanti fissati (non aleatori): fissato un istante

la probabilità che ci sia un salto proprio in quell’istante è zero.

di tempo,

Il più semplice processo di Lévy è il drift lineare, un processo deterministico. Il moto

Browniano è l’unico processo (non deterministico) di Lévy con traiettorie continue.

Altri esempi sono il processo di Poisson e il processo di Poisson composto.

Nel prossimo paragrafo considereremo un processo di Lévy costituito dalla somma di

un drift lineare, un moto Browniano e un processo di Poisson composto e compensato.

Tale processo prende il nome di Lévy jump diffusion .

Figura 3.3 Esempi di processi di Lévy. In alto a sinistra un drift lineare, in alto a destra

un moto Browniano geometrico, in basso a sinistra un processo di Poisson e in basso a

destra un Lévy-jump diffusion. 47

3.4.2 Infinita divisibilità e processi di Lévy

Supponiamo di avere un processo stocastico , composto dalla somma di un

moto Browniano con drift e un processo di Poisson composto e compensato:

dove

è il moto Browniano con drift, con e il moto Browniano, e

è un processo di Poisson composto compensato, dove è un processo di Poisson

omogeneo di parametro , ovvero e è una sequenza di variabili aleatorie

i.i.d. con distribuzione e Assumiamo che e siano

indipendenti.

Procediamo, ora, ricavando la funzione caratteristica di 48

Poiché e sono indipendenti, è possibile scrivere

Tenendo ora in considerazione che

e

sostituendo si ottiene

dove è la distribuzione di

Raccogliendo ora i termini per il fattor comune t, si ottiene la seguente funzione

caratteristica detta “funzione ”:

caratteristica di Finetti 49

Eseguendo ora un confronto tra quest’ultima e la formula di Lévy-Khintchine, notiamo

che quello che abbiamo trovato rappresenta la funzione caratteristica di una variabile

aleatoria con tripletta caratteristica

dove il termine è generalmente chiamato drift e rappresenta la componente

deterministica, il termine è chiamato termine di diffusione e rappresenta la

componente gaussiana e è la misura di Lévy. Da ciò si deduce la caratteristica di

Quest’ultima è spesso

infinita divisibilità della funzione caratteristica della variabile

chiamata Lévy jump diffusion.

Quando una variabile aleatoria possiede una distribuzione infinitamente divisibile è

sempre possibile utilizzarla per creare un processo di Lévy. l’esponente

Teorema 3.4.2.1: Sia un qualsiasi processo di Lévy e

caratteristico della variabile aleatoria Si ha che

Tale teorema è decisamente importante in quanto afferma che la legge di può essere

ottenuta dalla legge di e poiché è infinitamente divisibile lo è anche Questo

significa che, data una variabile casuale X con distribuzione infinitamente divisibile, è

sempre possibile costruire un processo di Lévy con una distribuzione infinitamente

divisibile ottenuta semplicemente ponendo

3.4.3 La decomposizione di Itô-Lévy

L’obiettivo è quello di caratterizzare le traiettorie di un processo di Lévy in termini della

sua terna caratteristica; in particolare si vuole dimostrare che per ogni esponente

caratteristico associato ad una distribuzione infinitamente divisibile esiste un processo

di Lévy con lo stesso esponente caratteristico. 50

Teorema 3.4.3.1: Consideriamo una tripletta caratteristica dove e

è una misura che soddisfa la seguenti condizioni:

Allora esiste uno spazio di probabilità nel quale sussistono quattro processi

stocastici indipendenti:

 ossia un processo deterministico (drift costante);

 ossia un moto Browniano;

 ossia un processo di Poisson composto;

 ossia una martingala puro salto.

Il processo è un processo di Lévy con esponente

caratteristico

Il teorema di cui sopra è molto importante in quanto afferma che è sempre possibile

scomporre l’esponente di un processo di Lévy in quattro processi indipendenti, ossia:

dove 51

Il primo termine corrisponde al drift lineare, il secondo al moto Browniano con

coefficiente il terzo termine corrisponde ad un processo di Poisson composto,

L’ultimo termine che corrisponde

con distribuzione dei salti

al processo è molto difficile da descrivere ma, intuitivamente, esso può essere

associato ad un processo con salti, , con definito come segue

con funzione caratteristica

Grazie alla scomposizione di Itô-Lévy, è possibile riscrivere il processo come segue:

3.4.4 La misura di Lévy

La misura di Lévy è una misura di conteggio in che deve soddisfare i seguenti requisiti:

Essa esprime il numero atteso di salti di una determinata dimensione in un intervallo di

tempo di lunghezza 1. La misura di Lévy non presenta una concentrazione di salti

all’origine, ma un gran numero (infinito) di salti di dimensione molto piccola può

verificarsi attorno alla stessa. Inoltre, la concentrazione di salti lontano dall’origine è

limitata: solo un numero finito di salti di grandi dimensioni può verificarsi. 52

Se è una misura finita, cioè allora è una

misura di probabilità dove è il numero (finito) atteso di salti e la distribuzione dei

salti.

Se, invece, ci si aspetta un numero infinito di salti di piccole dimensioni.

Teorema 3.4.4.1: Sia un processo di Lévy con tripletta caratteristica

 Se allora quasi tutte le traiettorie del processo hanno un numero

finito di salti in ogni intervallo compatto. In questo caso, il processo di Lévy si

dice avere attività finita;

 Se allora quasi tutte le traiettorie del processo hanno un numero

infinito di salti in ogni intervallo compatto. In questo caso, il processo di Lévy

ha attività infinita.

Teorema 3.4.4.2: Sia un processo di Lévy con tripletta caratteristica

 Se allora quasi tutte le traiettorie del processo

hanno variazione finita;

 Se allora quasi tutte le traiettorie del processo

hanno variazione infinita.

Teorema 3.4.4.3: Sia un processo di Lévy con tripletta caratteristica

 ha momenti finiti fino al p-esimo elemento per cioè , se e

solo se

 ha momenti esponenziali finiti fino al p-esimo elemento per cioè

, se e solo se insieme alla presenza o all’assenza

Riepilogando: i salti di piccole dimensioni

della componente browniana determinano la variazione del processo; i salti di grandi

, invece, determinano l’esistenza dei momenti più elevati del

dimensioni 53

processo. L’insieme dei salti o meglio la totalità dei salti, sia grandi che piccoli,

determinano, invece, l’attività del processo.

3.4.5 Processi di Lévy e martingale

La nozione di martingala è di cruciale importanza per la teoria della probabilità e la

finanza matematica. Differenti martingale possono essere costruite partendo dai processi

di Lévy, usando la loro proprietà di incrementi indipendenti.

Teorema 3.4.5.1: Sia un processo stocastico a valori reali con incrementi

indipendenti. Allora:

 Il processo

è una martingala

 Se, per qualche allora

è una martingala;

 Se per allora

è una martingala con incrementi indipendenti;

 Se allora

è una martingala con 54

Teorema 3.4.5.2: Consideriamo un processo di Lévy con tripletta caratteristica

e la seguente decomposizione Itô-Lévy

tale che Allora è una martingala se e solo se . 5

Dimostrazione: il processo può essere visto come una semimartingala della forma

dove

è un processo càdlàg. Inoltre, dato che

si ha anche che

Così, e risulta che un processo di Lévy è una martingala se e solo se

5 Un processo stocastico adattato alla filtrazione è chiamato semimartingala se esso

può essere scomposto come segue

dove è una martingala e è un processo càdlàg adattato di variazione limitata. 55

3.4.6 Calcolo stocastico per i processi di Lévy

La seguente formula

detta formula di Itô è uno strumento chiave che permette di descrivere l’evoluzione nel

tempo di uno strumento derivato il cui valore dipende da (prezzo del

bene sottostante), quando il modello è un moto Browniano.

Tuttavia, questa versione del Lemma di Itô non può essere utilizzata quando il processo

di Wiener è sostituito da un processo con salti. E’ necessario, quindi, definire una nuova

versione della formula di Itô per i processi con salto.

3.4.6.1 Formula di Itô per i processi con salto

Teorema 3.4.6.1.1 (Formula di Itô per i processi di diffusione con salto): sia un processo

di diffusione con salti, definito come la somma di un termine di drift, un integrale stocastico

Browniano e un processo di Poisson composto:

dove e sono processi continui non anticipativi con

Allora, per ogni funzione il processo può essere

rappresentato come:

Oppure