Tesi di Laurea

C

2 ϕ

cos '

Le espressioni di tali coefficienti sono state ricavate tramite condizioni di

equilibrio limite del cuneo di terreno e dipendono esclusivamente dalla

( )

β ϕ

i , '

geometria del terreno , dall’angolo di resistenza al taglio , dall’angolo di

θ

attrito muro – terreno, dal parametro e dalla particolare condizione di carico

( )

λ

,

n .

q A B C A B

Gli altri coefficienti che figurano nel sistema (3.9) , , e , ,

3 3 3 4 4

θ

C , relativi al parametro , sono definiti dalle seguenti relazioni:

C

4 ( ) ( )

[ ]

+

ϕ + β + δ + ϕ

( )

cos β δ sin '

⋅ ⋅ λ − β ⋅ + + ⋅ β − ⋅ φ ⋅ Γ

= − tan 1 tan tan tan

b

A n n i

3 b

φ ϕ

q q

cos cos '

b

( ) ( )

β + δ + φ + β + δ + ϕ

{ }

cos cos '

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) i

= ⋅ ⋅ − β ⋅ ϕ + λ ⋅ ϕ + + − β ⋅ ϕ ⋅ + ⋅ β − ⋅ Γ ⋅ φ

b 1 tan tan ' tan ' tan 1 tan tan ' 1 tan tan tan

B n i i

3 b

φ ⋅ ϕ

q

cos cos cos '

i

b

( ) ( )

[ ]

δ + φ

β + β + δ + ϕ

( )

cos cos '

⋅ + + ⋅ ⋅ λ + β ⋅ ϕ + ⋅ ⋅ Γ ⋅ φ

= − 1 tan tan tan ' tan tan

b

C n i n i

3 b

φ ϕ

q q

cos cos '

b

( ) ( )

[ ]

β + δ + φ β + δ + ϕ

( )

cos sin '

= ⋅ ⋅ ⋅ λ − β ⋅ + + ⋅ β ⋅ ϕ − ⋅ Γ

b tan 1 tan tan tan '

A n n i

4 φ ϕ

q q

cos cos '

b

( ) ( )

β + δ + φ + β + δ + ϕ

{ }

cos cos '

[ ]

( ) ( ) ( ) i

= ⋅ ⋅ β + ϕ − λ ⋅ − ϕ ⋅ − β + ϕ ⋅ + ⋅ β − ⋅ Γ

tan tan ' 1 tan ' tan tan tan ' 1 tan tan

b

B n i i

4 φ ⋅ ϕ

q

cos cos cos '

i

b

( ) ( )

[ ]

β + δ + φ β + δ + ϕ

( )

cos cos '

= − ⋅ + + ⋅ ⋅ λ + β + ⋅ ⋅ Γ

b 1 tan tan tan

C n i n i

4 φ ϕ

q q

cos cos '

b (4.12)

86

Capitolo Quarto

Esse sono riferite alle condizioni di equilibrio limite del muro e

ϕ δ θ λ

β

i ' n

dipendono da , , , , , e . Ma anche dal peso normalizzato del

q ϕ

Ω

Γ

muro , dal rapporto e dall’angolo di attrito terreno – fondazione .

b

Poiché è stato più volte detto che le soluzioni vanno ricercate

imponendo delle condizioni di equilibrio limite sia per il blocco – muro che per il

blocco – terreno, e tali soluzioni sono delle funzioni paraboliche, è lecito

aspettarsi che tali condizioni devono corrispondere a dei punti di nullo. Quindi

il sistema (4.9) può essere interpretato scrivendo le funzioni che lo

rappresentano e ricercando in esse i luoghi dei punti di nullo, così facendo si

introducono le seguenti posizioni:

( )

⎧

Φ α = ⋅ α + ⋅ α +

2

( ) tan tan

A B C

1 1 1 1

⎪ ( )

Φ α = ⋅ α + ⋅ α +

2

( ) tan tan

⎪ A B C

2 2 2 2

⎨ ( ) ( )

Ψ α = ⋅ α + ⋅ α +

2 (4.13)

tan tan

⎪ A B C

1 3 3 3

⎪ ( ) ( )

Ψ α = ⋅ α + ⋅ α +

2

tan tan

⎩ A B C

2 4 4 4

che definiscono delle funzioni paraboliche nella variabile indipendente

θ

α tan

K

tan e parametriche in e . Semplificando ancora le espressioni

γ c

,

ae q

(3.13) si arriva a definire una coppia di funzioni, combinazioni lineari delle

precedenti, le quali rappresentate in opportuni grafici danno la possibilità di

ricercare i valori corrispondenti ai punti di nullo. Vediamo le funzioni (4.13)

scritte nella forma sintetica: 87

Capitolo Quarto

( ) ( ) ( )

Φ α = Φ α ⋅ − Φ α =

⎧ , 0

K K

γ γ

3 ae 2 ae 1

( , ) ( , )

q q

⎨ ( ) ( ) ( ) (4.14)

Ψ α θ = Ψ α ⋅ θ − Ψ α =

, tan 0

⎩ 3 c 2 c 1

Ciascuna di esse (3.14) rappresenta curve paraboliche nelle variabili

θ

α tan Φ = Ψ =

tan K 0 0

, e . Ponendo le condizioni e tali curve

γ c

,

ae q 3 3

α che descrive la pendenza della superficie di

variano al variare dell’angolo

scorrimento, ecco i grafici qui rappresentati:

0.20 β

i = = 0 ϕ′ = 30°

δ φ ϕ′

= = 2/3 ϕ′

b = 35°

Γ = 1 ϕ′ = 40°

0.15 n = 0

q

=0 0.10

3

Ψ 0.05

0.00 (a)

0.00

-0.05

=0

3

Φ -0.10

-0.15 (b)

-0.20

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

α

tan Figura 9 88

Capitolo Quarto

In figura 9 vediamo che al variare dell’angolo di attrito interno del

terreno cambia la curva di rappresentazione della parabola. Per cui prendendo

ϕ ' , pari rispettivamente a 30°, 35° e 40°, si

tre diversi valori di tale angolo

hanno tre curve diverse. Si nota quindi che, ricercando le condizioni di nullo

delle due funzioni, si perviene alla condizione di massimo per la funzione

Φ = Ψ =

0 0

e alla condizione di minimo della funzione e da questi notevoli

3 3

risultati è possibile evincere che, nel momento in cui la spinta attiva risulta

essere massima, la forza sismica agente sul sistema dà il contributo minimo.

Quindi alla massima spinta corrisponde il minimo valore della forza sismica.

Φ = Ψ =

0 0

A livello analitico è possibile estendere le funzioni e a

3 3

casi più generici e con l’ausilio delle espressioni (4.9) è possibile mostrare che

le condizioni di equilibrio limite del cuneo e del muro descrivono coniche

parametriche che rappresentano parabole con concavità verso il basso, nel

Φ Ψ

caso della funzione e, verso l’alto nel caso della funzione . Ciò è in

3 3

accordo con l’obiettivo del problema in esame, che consiste nella ricerca di un

valore di massimo nel caso in cui si analizzino le condizioni di equilibrio limite

Φ = 0

del cuneo ( ) e nella ricerca di un valore di minimo nel caso in cui si

3 Ψ = 0

analizzino le condizioni di equilibrio limite del muro ( ). Per cui

3 θ

K e si ottiene

la determinazione della coppia di soluzioni γ c

,

ae q

Δ Δ

dall’annullamento dei discriminanti e relativi, rispettivamente, alle

Φ Ψ

Φ Ψ

funzioni e . In definitiva è possibile constatare che la soluzione

3 3 θ

K e , è la soluzione del seguente sistema:

ricercata, ovvero la coppia γ c

,

ae q 89

Capitolo Quarto

[ ]

Δ = Δ Φ α =

⎧ ( , ) 0

K

Φ γ

3 c ae ( , )

q

⎨ [ ] (4.15)

Δ = Δ Ψ α θ =

( , ) 0

⎩ Ψ 3 c c

Le espressioni (4.15) possono essere esplicitate come segue:

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

2

⋅ α − − ⋅ ⋅ α − ⋅ ⋅ α − =

4 0

B K B A K A C K C

γ γ

2 ae( 1 2 ae 1 2 ae 1

( , ) ( , )

γ , ) q q

q (4.16)

[ ] [ ] [ ]

2

⋅ θ α − − ⋅ ⋅ θ α − ⋅ ⋅ θ α − =

tan ( ) 4 tan ( ) tan ( ) 0

B B A A C C

4 c 3 4 c 3 4 c 3

Merita notevole considerazione anche la ricerca del valore dell’angolo

α

critico della superficie di scorrimento , il quale può essere determinato

c

considerando che tale valore rappresenta l’ascissa dei vertici delle parabole

α

descritte dalle equazioni (4.14). Ecco la relazione analitica di :

c

B B K

− ⋅ θ

B − B ⋅ tan

ae γ q

( , )

1 2

α

tan = = c

3 4 (4.17)

c θ

( A K A ) ( A ⋅ tan − A )

⋅ −

2 2 c

ae γ q

( , )

2 1 4 3

K

nella quale notiamo l’apparente dipendenza da in una forma e,

γ

,

ae q

θ Γ

nell’altra da . Invece rispetto al parametro (peso normalizzato del muro)

c

non si ha alcuna dipendenza e, questo, è in accordo col fatto che la condizione

esaminata è una condizione di equilibrio limite, per cui, gli effetti delle forze di

inerzia sul muro non influenzano le condizioni di equilibrio del terreno e del

sistema nel suo complesso. 90

Capitolo Quarto

4.4 Risoluzione numerica del problema e determinazione di K

h,c

La risoluzione numerica del problema prevede ovviamente la

conoscenza a priori di un sistema muro – terreno con tutti i relativi dati (figura

10), sia per quanto concerne il terrapieno che per quanto riguarda il muro di

sostegno. A tal proposito si prende in considerazione un muro a gravità avente

le seguenti caratteristiche geometriche: H = 4,

00

altezza muro m;

- D = 0,

40

altezza fondazione m;

- H + D = 4,

40 m;

altezza totale muro

- D = ,

0 80

larghezza testa del muro m;

- 1

D = ,

0 50

larghezza ala fondazione sinistra m;

- 2

D = ,

0 50

larghezza ala fondazione destra m;

- 3

B = 3,

00

larghezza base della fondazione m;

- b

β = 0,

00

angolo inclinazione paramento interno °;

- KN

γ = 25,

00

massa volumica CLS ;

- CLS m 3

91

Capitolo Quarto

KN

,

W = 60 00

peso totale del muro ;

- W m

mentre il terrapieno di spinta è costituito da sabbia, così come il terreno

sottostante la fondazione del muro, le cui caratteristiche vengono qui riportate:

KN

γ = 18,

00 ;

peso dell’unità di volume di terreno

- m 2

ϕ ' = ,

35 00

angolo di attrito interno del terrapieno °;

- ϕ = 35,

00

angolo di attrito interno del terreno di fondazione °;

- b i = 0,

00

angolo di inclinazione del terrapieno °;

- δ = 23,