Tesi - Cedimenti su terreni compressibili

M

m=0

Si osserva che in corrispondenza delle superfici drenanti esiste un elevato

gradiente idraulico che porta le sovrapressioni a zero subito dopo l'applicazione del

sovraccarico. Sono diagrammate in Figura 6.1 le isocrone delle sovrapressioni neutre

indotte, al variare della profondità, per quattro istanti di tempo t < t < t < t .

0 1 2 f

t = t t = t t = t t = t

0 1 2 f

Figura 6.1 - Dissipazione delle sovrapressioni nel tempo 41

Cedimenti di rilevati su terreni compressibili Luca Canovi (matr. N 45937)

Possiamo inoltre definire il grado di consolidazione U(z,t) in un determinato

istante t, come rapporto tra sovrapressione dissipata nell'intervallo (t , t) e quella

0

iniziale u , e il grado di consolidazione medio U (t) relativo all'intero spessore dello

0 v

strato considerato. Ricordiamo che all'istante iniziale, la sovrapressione neutra u è

0

uguale in ogni punto alla variazione di tensione totale σ costante.

v

u ,t z)−u z ,t ' z , t)

−u (z ) σ ( ( ) σ (

0 v v

U z , t)

( = = = (6.8)

u z

σ (z ) σ ( )

0 v v

2H 2H

∫ ∫

' z ,t)dz ' z ,t

σ ( σ ( )dz

v v

0 0

U (t) = = (6.9)

v 2H 2H σ v

∫ dz

σ v

0

Poichè i cedimenti procedono di pari passo con la dissipazione delle

sovrapressioni, detto δ(t) il cedimento al generico istante t e δ il cedimento ultimo

u

all'istante t (calcolabile con il metodo edometrico visto nel §3.2, Cap.3 ) si può

∞

esprimere un grado di consolidazione medio U (t) in funzione dei cedimenti:

v

( )

2H

∫

m ' dz

⋅ σ

v v (6.10)

t)

δ( 0

U (t) = =

v ( )

m

δ ⋅2H σ

u v

6.3 Calcolo del cedimento

Una volta noto il cedimento finale calcolato con il metodo edometrico, è

dunque possibile conoscerne l'evoluzione nel tempo, sia in termini di percentuale di

cedimento sviluppato in un certo istante, sia in termini di tempo impiegato a

raggiungere il valore ultimo. In particolare il cedimento ad un generico istante t è

dato da:

42 Capitolo 6 Teoria della consolidazione di Terzaghi

t) U

δ( = (t)⋅δ (6.11)

v u

Per facilitare i calcoli solitamente si fa riferimento ai parametri adimensionali.

Terzaghi propone, per il calcolo di U la formula seguente:

v

∞ π

2 M

2 = (2m+1)

∑ T

−M

U 1− e

(T ) = con (6.12)

v 2

v v 2

M

m =0

Sono riportati in Figura 6.2 gli andamenti di U al variare di Z per diversi

z

valori di T e E' inoltre tabulato in Figura 6.3 l'andamento di U in funzione di T nel

v v v

caso di isocrona iniziale costante con la profondità (vedi andamento riportato in

figura 6.1 per t=t ).

0 Z U

z

Figura 6.2 - Grado di consolidazione U ( Z,T )

v 43

Cedimenti di rilevati su terreni compressibili Luca Canovi (matr. N 45937)

U

v T v

Figura 6.3 - Grado di consolidazione medio U (T )

v v

Risulta quindi più immediato il calcolo di un cedimento relativo ad un

determinato fattore tempo T :

v

U

δ(T ) = (T )⋅δ (6.13)

v v v u

dove T = f(t)

v

6.4 Dipendenza dalle tensioni efficaci indotte

Osservando la (6.10) si conclude che l'andamento dei cedimenti superficiali

dipende sì dalle caratteristiche meccaniche e idrauliche proprie del terreno, dalla

stratigrafia del sito e dalle condizioni al contorno, ma anche dalla distribuzione delle

tensioni verticali indotte nel terreno sottostante dal sovraccarico sul piano di

fondazione. Queste dipendono strettamente dall'entità e dall'impronta di carico

applicati, e sono calcolate in ipotesi di terreno elastico lineare, omogeneo e isotropo,

ipotesi che seppure si distaccano dalla natura reale dei terreni, permettono di ottenere

comunque risultati attentibili ai fini progettuali.

44 Capitolo 7 Teoria di Barron

7. Teoria della consolidazione

radiale (Barron)

Visti nel precedente capitolo gli elementi che condizionano la velocità di

sviluppo dei cedimenti, è possibile, tramite opportuni accorgimenti, controllarne

l'andamento e far sì che abbiano luogo in periodi di tempo definiti in precedenza. Il

fine ultimo è quello di accelerare i tempi di consolidazione e avere, al momento della

costruzione dell'opera, un terreno meccanicamente migliorato che ha già sviluppato

la maggior parte del cedimento possibile, solitamente attorno al 90% del totale. Ciò è

possibile o incrementando le tensioni di preconsolidazione (tecnica del precarico

descritta nel Cap. 4), o diminuendo il massimo percorso di filtrazione H, o sfruttando

una diversa direzione di filtrazione lungo la quale si abbia una diversa permeabilità.

7.1 Filtrazione radiale in regime transitorio

La teoria della consolidazione monodimensionale ammette il deflusso

dell'acqua soltanto in direzione verticale, poichè gli strati di terreno sono ipotizzati

infinitamente estesi orizzontalmente. A causa dei processi di sedimentazione, nei

terreni stratificati bisogna osservare che la conducibilità idraulica in direzione

45

Cedimenti di rilevati su terreni compressibili Luca Canovi (matr. N 45937)

orizzontale risulta maggiore di quella in verticale, dalle 2 fino alle 100 volte.

Naturalmente, date le diverse permeabilità, la direzione preferenziale di espulsione

dell'acqua sarà quella orizzontale; nella pratica è dunque di uso comune inserire

artificialmente dei canali verticali ad elevata permeabilità (detti dreni verticali) che

interessano tutto lo spessore argilloso 2H e che funzionano da recettori per l'acqua

filtrante orizzontalmente. Si può supporre ora che il moto verticale sia confinato

all'interno dei dreni, seppure una parte trascurabile continua a verificarsi anche nel

terreno. Questa tecnica non sostituisce l'utilizzo del precarico, ma ne accelera gli

effetti consolidanti: è quest'ultimo difatti la causa della comparsa nel sottosuolo di un

gradiente piezometrico in tutte le direzioni che innesca la filtrazione (Figura 7.1).

Figura 7.1 - Dreni verticali in presenza di precarico

Come già sottolineato, in presenza di dreni verticali interessa una

consolidazione di tipo radiale. Di fatto essi modificano inoltre il percorso di

filtrazione massimo, da definire a seconda della disposizione reciproca dei dreni.

Questa può essere a maglia triangolare (economicamente più vantaggiosa) o a maglia

quadrata, ove la prima non sia possibile (Figura 7.2). In entrambi i casi però si può

fare riferimento al cosiddetto cilindro equivalente, ossia il volume di influenza di un

singolo elemento, schematizzato in Figura 7.3. Si tratta di un cilindro cavo la cui

superficie laterale esterna è considerata impermeabile, quella interna a contatto con il

46 Capitolo 7 Teoria di Barron

dreno artificiale e quelle superiore e inferiore a contatto con le superfici drenanti

orizzontali, previste già nella teoria monodimensionale. Il diametro d del cilindo

eq

infine dipende dalla disposizione spaziale dei dreni e, detto S la minima distanza tra

due dreni adiacenti, sarà:

d 1,05 S

= nel caso di maglia triangolare

eq

d 1,13 S

= nel caso di maglia quadrata

eq Figura 7.2 - Disposizione a maglia dei dreni

Figura 7.3 - Cilindro equivalente 47

Cedimenti di rilevati su terreni compressibili Luca Canovi (matr. N 45937)

7.2 Formulazione dell'equazione di Barron

Viene introdotta una nuova teoria di consolidazione, elaborata da Barron nel

1948, che si propone di descrivere le deformazioni verticali del cilindro equivalente

dovute all'espulsione di acqua tramite filtrazione orizzontale. Sono assunte valide,

come per la teoria della consolidazione verticale di Terzaghi, le ipotesi di:

terreno omogeneo e saturo (S = 1)

• r

proprietà idrauliche e meccaniche costanti, per ciascuna direzione, durante

• tutto il processo

deformazioni soltanto verticali

• flusso d'acqua soltanto orizzontale

• deformazioni piccole in confronto allo spessore del cilindro preso in esame

• carico esterno applicato istantaneamente

• V costante e V variabile durante il processo

• s w

Occorre in primo luogo definire il diametro del cilindro cavo centrale d del

w

dreno, che sarà: nel caso di dreno circolare (come colonne in sabbia o in ghiaia) pari

al diametro reale dello stesso:

d d

=

w

e nel caso di dreno non circolare (come dreni lamellari a sezione rettangolare ) pari

al diametro equivalente alla sezione, cioe:

2(a+b) (Hansbo, 1981) (7.1)

d = π

w La consolidazione, anche in questo caso accompagnata da filtrazione a regime

transitorio, è regolata dalla (7.2), detta r l'ascissa curvilinea uscente dall'asse del

48 Capitolo 7 Teoria di Barron

cilidro e ortogonale ad esso:

( )

2

1 ∂ u ∂ u ∂u

c ⋅ ⋅ + = (7.2)

h 2

r dr ∂t

∂ r

K h

c

dove è detto coefficiente di consolidazione dovuta a flusso

=

h γ ⋅m

w v orizzontale

Anch'essa, come l'equazione di Terzaghi, è di tipo differenziale a derivate miste di

secondo ordine.

7.3 Soluzione all'equazione di Barron

La soluzione all'equazione di Barron, prevede l'ipotesi di "deformazioni

verticali uguali", ovvero che, durante la consolidazione, le infinite sezioni trasversali

del cilindo equivalente si mantengano parallele e uguali a quelle indeformate.

Vengono tuttavia trascurate la capacità idraulica del dreno e la diversa conducibilità

del terreno rimaneggiato adiacente al dreno a causa delle modalità di installazione

dello stesso. Nella maggioranza dei casi applicativi queste ipotesi hanno pochissima

influenza sul risultato finate, per cui sono accettabili.

Definito un nuovo fattore tempo adimensionale T ,

h

c ⋅t

h

T = (7.3)

h 2

d eq

si definisce infine il grado di consolidazione medio U all'istante t ed espresso in

h

funzione del fattore tempo adimensionale T come:

h 49

Cedimenti di rilevati su terreni compressibili Luca Canovi (matr. N 45937)

T

−8 h (7.4)

F

U 1 e

(T ) = −

h h

dove d eq

n

F ln( n)−0,75 =

≈ con (7.5)

d w

Come nel caso di consolidazione dovuta a filtrazione verticale, noto U(T ) è

h

possibile conoscere l'andamento nel tempo dei cedimenti, sempre verticali ma dovuti

a filtrazione orizzontale. Per facilità di calcolo, è riportato in Figura 7.4 l'andamento

de