Modelli di percolazione sul reticolo e transizione di fase

Z,

i i 2 2

{x ∈ ∥x∥ ≤ {x ∈ ∥x∥

[−n, n] = : n} e con ∂B(n) = : = n}.

Z Z

Teorema 2.1.2. Sia p < p , allora esiste una funzione σ(p) tale che:

c −nσ(p)

↔ ≤ ∀n

P (0 ∂B(n)) e (2.2)

p

Definizione 2.1.3. È utile introdurre la lunghezza media di una componente

|C|

connessa, che chiamiamo χ(p) = E ed indica il numero medio di vertici

p

in una componente connessa passante per l’origine.

Osservazione 8. Dato che il processo di percolazione è invariante per trasla-

|C(x)|

zioni abbiamo che χ(p) = E per tutti i vertici x.

p 14

È utile studiare il comportamento della funzione χ(p) nella fase subcritica

infatti: ∞



∞ · ∞)

χ(p) = P (|C| = + nP (|C| = n) (2.3)

p p

n=1

∞



∞ ·

= θ(p) + nP (|C| = n) (2.4)

p

n=1

∞

perciò χ(p) = per p > p . Per la fase subcritica invece analizziamo il

c

seguente teorema.

Teorema 2.1.4. La taglia media χ(p) di una componente connessa conte-

nente l’origine è finita se p < p .

c

Dimostrazione. Questo risultato è immediato utilizzando il Teorema 2.1.2.

Sia S(n) la palla di raggio n e centro l’origine, corrisponde quindi all’insie-

∥x∥ ≤

me di vertici x per cui vale δ(0, x) := n. Concentrandoci nel caso

2

|S(n)| ≤

bidimensionale (d=2) esiste un valore ν per cui vale: ν(n + 1) .

∃A }

Sia M := max{n : con A l’evento “esiste un cammino aperto che uni-

n n ∞)

sce l’origine ad un vertice di ∂S(n)”. Nella fase subcritica P (M < = 1,

p

perciò: 

|C| ≤

χ(p) = E E (|C||M = n)P (M = n)

p p p

n

  −nσ(p)

2

≤ ≤

[|S(n)|P (A )] ν(n + 1) e

p n

n n

∞

<

−nσ(p)

dato che P (A ) < e per il Teorema 2.1.2.

p n

Mostriamo con il seguente grafico l’andamento di χ(p) nella fase subcri-

tica: 15

Figura 3.

Dimostrazione. Teorema 2.1.2

∈ ↔

Sia x ∂B(n) e introduciamo τ (0, x) = P (0 x) come la probabilità

p p

2

di avere un cammino aperto di che colleghi l’origine con il vertice x.

L

Indicando con N il numero di vertici in ∂B(n) con questa proprietà abbiamo

n

che: 

E (N ) = τ (0, x)

p n p

x∈∂B(n)

Applicando la sommatoria a entrambi i membri:

∞ ∞

  

E (N ) = τ (0, x)

p n p

n=0 n=0 x∈∂B(n)



= τ (0, x)

p

2

x∈Z 2

|{x ∈ ↔

= E : 0 x}| = χ(p)

Z

p

Se esiste un cammino aperto dall’origine ad un vertice di ∂B(m + k), allora

∈

c’è un vertice x ∂B(m) appartenente a due cammini aperti disgiunti: uno

2

{v ∈

che collega x con l’origine e uno tra x e un vertice di ∂B(k, x) = :

Z

∥v − x∥ = k}. Utilizzando la Disuguaglianza BK e grazie all’invarianza per

16

traslazioni troviamo che:  ↔ ↔

↔ ≤ P (0 x)P (x ∂B(k, x))

P (0 ∂B(m + k)) p p

p x∈∂B(m)

 ↔

τ (0, x)P (x ∂B(k, x))

= p p

x∈∂B(m)

 ↔

τ (0, x)P (0 ∂B(k))

= p p

x∈∂B(m)

Unendo la relazione vista sopra otteniamo che:

↔ ≤ ↔ ≥

P (0 ∂B(m + k)) E (N )P (0 ∂B(k)) m, k 1 (2.5)

p p m p ∞



∞

Supponiamo χ(p) < (ricordando 2.1.4), in questo modo E (N ) <

p m

m=0

∞. → → ∞

Osserviamo che E (N ) 0 per m e possiamo scegliere m tale

p m

che η = E (N ) < 1. Sia n un intero positivo e scriviamolo come n = mr+s

p m ≤

con r e s interi non negativi e 0 s < m. Allora:

↔ ≤ ↔ ≥

P (0 ∂B(n)) P (0 ∂B(mr)) perché n mr

p p

r

≤ η iterando (2.5)

−1+n/m

≤ η perché n < m(1 + r)

che è un decadimento esponenziale come quello in (2.2).

log a

≈ → → ∞.

n

Osservazione 9. Indichiamo con a b quando 1 per n Un

n n log b n ↔

risultato più profondo del teorema appena dimostrato è che P (0 ∂B(n))

p

decade esponenzialmente in funzione di n quando 0 < p < p , cioè:

c

−nφ(p)

↔ ≈ → ∞

P (0 ∂B(n)) e per n (2.6)

p

per una certa funzione φ(p) tale che φ(p) > 0 per p < p .

c

Più precisamente esistono due costanti positive ρ e σ tali che:

ρ −nφ(p) −nφ(p)

≤ ↔ ≤ ∀n ≥

e P (0 ∂B(n)) σne 1 (2.7)

p

n

Cerchiamo ora di descrivere le caratteristiche di φ:

• ↔

φ(p) è non crescente in (0, 1]: dato che P (0 ∂B(n)) è crescente

p

−n

all’aumentare di p ed e è una funzione monotona decrescente.

• −n∗0

≡ ↔ ≈

φ(p) 0 per p > p infatti P (0 ∂B(n)) 1 = e

c p

• → ∞ →

φ(p) per p 0: indichiamo con σ(n) il numero di cammini

2

di aventi lunghezza n e con partenza nell’origine e definiamo la

L 17

d 1/n

{σ(n) }.

costante connettiva di : λ(d) = lim Quindi σ(n) =

L n→∞

n

{λ(d) → ∞.

+ o(1)} per n Abbiamo che:

↔ ≤ ≥

P (0 ∂B(n)) P (N (n) 1)

p p n

≤ E (N (n)) = p σ(n)

p n

≤ {pλ(d) + o(1)}

dove N (n) indica il numero di cammini aperti di lunghezza n e par-

tenza nell’origine. Applicando il logaritmo ad entrambi i membri di

(2.6) e usando le relazioni appena trovate ricaviamo:

↔ ≈ −nφ(p)

log{P (0 ∂B(n))}

p n } ≥ −nφ(p)

log{(pλ(d) + o(1)) ≥ −nφ(p)

n log{pλ(d) + o(1)}

− ≤

log{pλ(p) + o(1)} φ(p)

≥ −log{pλ(d)} → ∞ →

Quindi φ(p) per p 0.

Nella seguente figura possiamo vedere un grafico approssimativo di φ(p):

Figura 4

La funzione φ(p) è relazionata alla funzione di connettività τ (x, y) :=

p

↔

P (x y) tramite il seguente teorema.

p ≤

Teorema 2.1.5. Sia 0 < p 1 e il vertice e = (n, 0), allora:

n

 

1

−

lim log τ (0, e ) = φ(p) (2.8)

p n

n

n→∞

ed esiste una costante positiva ξ, indipendente da p, tale che:

−4 −nφ(p) −nφ(p)

≤ ≤ ∀n

ξpn e τ (0, e ) e (2.9)

p n

18

Dimostrazione. Prima di tutto notiamo che

{0 ↔ } ⊇ {0 ↔ } ∩ {e ↔ }

e e e (2.10)

m+n m m m+n

e applicando la disuguaglianza FKG e l’invarianza per traslazione

≥

τ (0, e ) τ (0, e )τ (e , e ) = τ (0, e )τ (0, e ) (2.11)

p m+n p m p m m+n p m p n

−

Indicando con t(k) = log τ (0, e ), per le proprietà del logaritmo, abbiamo

p k

che ≤

t(m + n) t(m) + t(n) (2.12)

Questa sequenza è detta subadditiva ed esiste un teorema che ne garantisce

l’esistenza del limite  

1

−

η(p) = lim log τ (0, e ) (2.13)

p n

n

n→∞

e osserviamo che −t(n) ≤ −nη(p) ∀n

log τ (0, e ) = (2.14)

p n

Ricordando che ≤ ↔

τ (0, e ) P (0 ∂B(n))

p n p

≤ −nη(p) ≤ ↔

log τ (0, e ) log P (0 ∂B(n))

p n p

otteniamo 1 ↔ ≈

≥ − log P (0 ∂B(n)) φ(p) (2.15)

η(p) p

n

≤ ∈

Dimostriamo ora che η(p) φ(p). Esiste un vertice x ∂B(m) tale che

1

↔ ≥ ↔

P (0 x) P (0 ∂B(m)) (2.16)

p p

|∂B(m)|

e considerando l’invarianza per rotazioni del reticolo non è restrittivo sup-

porre x = m dove x = (x , x ). Come fatto all’inizio della dimostrazione

1 1 2

osserviamo che {0 ↔ } ⊇ {0 ↔ ∩ {x ↔ }

e x} e

2m 2m

e quindi 2

≥

τ (0, e ) τ (0, x) (2.17)

p 2m p |∂B(m)| ≈

Utilizzando le relazioni (2.16), (2.7) e dato che m si ottiene

−2 2

≥ ↔

τ (0, e ) A m P (0 ∂B(m)) (2.18)

p 2m 1 p

−4 −2mφ(p)

≥ A m e (2.19)

2 ≤

con A , A costanti positive. Applicando il logaritmo troviamo η(p) φ(p)

1 2

e arriviamo alla conclusione cercata, cioè η(p) = φ(p).

Osservando che 2

≥

τ (0, e ) pτ (0, x)

p 2m+1 p

e grazie a (2.19) otteniamo la disuguaglianza (2.9).

19

2.2 Fase supercritica

In un processo di percolazione, quando p > p ci troviamo nella fase super-

c

critica.

Definizione 2.2.1. Nell’equazione (2.3) abbiamo mostrato che in questa fa-

∞,

se χ(p) = per questo introduciamo la lunghezza media di una componente

connessa finita passante per l’origine:

f |C| ∞)

χ (p) = E (|C| : < (2.20)

p

dove la f indica appunto che la componente connessa ha dimensione finita.

f

≡

Osservazione 10. Quando p < p abbiamo che χ(p) χ (p)

c

Nella seguente figura possiamo vedere un grafico approssimativo di que-

sta funzione: Figura 5

Il risultato principale di questa fase è il seguente teorema:

Teorema 2.2.2. Per valori di p nei quali c’è una probabilità strettamente

positiva di avere una componente connessa aperta infinita, ne esiste esatta-

mente una quasi certamente.

Cioè, per p > p , quindi quando θ(p) > 0, si ha:

c

P (esiste esattamente una componente connessa aperta infinita) = 1

p

Dimostrazione. Nel contesto della percolazione se un evento è invariante

per traslazioni, cioè verificabile senza conoscere la posizione dell’origine, ha

∈ {0, ∞}

probabilità 0 o 1. Sia k 1, 2, ..., e definiamo E l’evento “il numero

k

20

di componenti connesse infinite è esattamente k”, ed essendo invariante per

∈ {0, ∀k.

traslazioni P (E ) 1} Gli E formano una successione di eventi

p k k

disgiunti l’unione dei quali è l’intero spazio di probabilità, quindi esiste un

solo k̄ tale che P (E ) = 1. Per dimostrare il teorema dobbiamo far vedere

p k̄

che k̄ = 1 quando p > p .

c ∈ {2,

Mostriamo allora che per k 3, ...} non possiamo avere P (E ) = 1.

p k

{ci

Supponiamo per assurdo che P (E ) = 1 e sia F = sono 5 componenti

p 5 M

2 }. ⊆ ⊆

connesse infini