Modelli di percolazione sul reticolo e transizione di fase

Università degli Studi di Padova

Dipartimento di Matematica "Tullio Levi-Civita"

Corso di Laurea Triennale in Matematica

Modelli di percolazione sul reticolo e transizione di fase

Relatrice: Prof.ssa Alessandra Bianchi
Laureando: Matteo Bonamin
Matricola: 1216911
Anno Accademico: 2021–2022
Data: 21/07/2022

Indice

• Il modello di percolazione
  • Funzione di percolazione e punto critico
  • Disuguaglianze fondamentali
• La transizione critica in dimensione due
  • Fase subcritica
  • Fase supercritica
  • Percolazione nel punto critico
• Il modello FK
  • Modelli di Ising e Potts
  • Punto critico nel Modello FK
  • Fase subcritica e supercritica
  • Reticoli quadrati, triangolari ed esagonali

Introduzione

La percolazione è una teoria che nasce da un problema di tipo fisico: data una grande pietra porosa immersa in un liquido ci si può chiedere come si diffonde il liquido nel materiale. Le prime formulazioni stocastiche di questo problema si hanno a partire dagli anni '50, con in particolare i lavori di Broadbent (1954) e di Broadbent ed Hammersley (1957): essi immaginarono di modellizzare la pietra come un insieme di particelle collegate da dei canali più o meno larghi. Più un canale è stretto, più difficilmente il liquido passerà da un punto all'altro, e viceversa.

Matematicamente, quindi, assimilarono la pietra a un insieme di punti a coordinate intere del piano o dello spazio, con due punti vicini collegati da un arco (corrispondenti ai canali), detto aperto se il canale corrispondente consente il passaggio del liquido, chiuso altrimenti. Assunsero che ogni lato fosse aperto con probabilità p [0, 1] e chiuso con probabilità 1-p, indipendentemente da tutti gli altri lati. Questo modello è chiamato comunemente percolazione di Bernoulli.

Una delle prime cose che si possono notare una volta definita la percolazione di Bernoulli è che se ogni canale è aperto con probabilità 0, allora nessuna particella della pietra è raggiunta dall'acqua se non quelle appartenenti al bordo; d'altra parte se la probabilità è 1, allora tutte le particelle sono bagnate. La domanda, dunque, sorge spontanea: esiste un valore limite per cui il centro della pietra (la parte inizialmente più lontana dai bordi) resta asciutta? Più in generale, come sono distribuite le particelle bagnate se p (0, 1)? La risposta, a priori non banale, è sorprendente: esiste tale valore limite (detto punto critico, indicato con p_c) e supponendo che un punto sia bagnato, per p < p_c la probabilità che lo sia pure un altro a distanza n decade esponenzialmente.

Capitolo 1: Il modello di percolazione

Definiamo il modello in due dimensioni: consideriamo un grafo planare in cui i vertici, che corrispondono ai punti di Z², prendono il nome di siti e sia p [0, 1] il nostro parametro. Quando due siti hanno distanza euclidea uguale a 1, questi possono essere collegati da un lato, detto anche legame o spigolo, con probabilità p, e in questo caso il lato viene dichiarato aperto. Al contrario, ogni legame viene considerato chiuso con probabilità 1-p.

Indicheremo con L² l'intero reticolo di due dimensioni formato dai vertici di Z² e dai legami possibili tra di loro, che costituiscono l'insieme E. Facendo riferimento alla figura in basso, che rappresenta un sottografo di L, un lato è raffigurato se e solo se è aperto. La figura può essere vista come la rappresentazione dell'esempio precedente della roccia, in cui un vertice è bagnato dal fluido solo se esiste un cammino di legami aperti che lo collega al bordo esterno. Questo modello rappresenta la percolazione di legame ed è considerata omogenea in quanto la distribuzione di ogni lato è dipendente da un unico parametro p.

Funzione di percolazione e punto critico

Dato E, l'insieme dei lati di L², siano Ω = {0, 1}^E, la σ-algebra generata dagli insiemi finiti di legami, e chiamiamo ω = {ω(e), e ∈ E} le possibili configurazioni di spigoli. Denotiamo ω(e) = 0 se e è chiuso, mentre ω(e) = 1 se e è aperto. Sia ora P_p = μ_e∈E dove μ è una misura di Bernoulli tale che μ(ω(e) = 1) = p, μ(ω(e) = 0) = 1-p.

Immaginiamo di creare un grafo randomico infinito in cui i vertici sono i punti di Z² e i lati sono presenti o meno con probabilità p.

Definizione 1.1.1

La probabilità di avere un cammino che collega l'origine (0, 0) di Z² all'infinito è descritta dalla funzione di percolazione θ(p), il cui andamento è descritto a fine sezione nella Figura 2. Dato un sito x ∈ Z², chiamiamo C(x) la componente connessa contenente il vertice x, così possiamo definire formalmente:

θ(p) := P_p(|C(0)| = ∞)

Osservazione 1

Equivalentemente possiamo definire la funzione come:

θ(p) = 1 - Σ_n=1^+∞ P_p(|C| = n)

dalla quale possiamo facilmente vedere che è non decrescente in p e tale che θ(0) = 0 e θ(1) = 1.

Definizione 1.1.2

Esiste un valore p_c ∈ (0, 1), che prende il nome di punto critico, ed è tale che:

θ(p) = 0 per p < p_c

θ(p) > 0 per p > p_c

la quale definizione formale si può riassumere con:

p_c = sup{p : θ(p) = 0} = inf{p : θ(p) > 0}

Teorema 1.1.3

Se p < 1/3, allora θ(p) = 0.

Dimostrazione

La probabilità che un cammino di lunghezza n con partenza nell'origine sia formato da soli legami aperti è pⁿ. Chiamiamo F_n l'evento che un tale cammino esista. Il numero di possibili percorsi è 4(3^n-1) dato che dall'origine mi posso muovere in 4 possibili direzioni e in ognuno dei successivi (n - 1) vertici ho esattamente 3 scelte. Quindi abbiamo che:

P_p(F_n) ≤ 4(3^n-1)pⁿ → 0 per n → +∞, per p < 1/3. Dato che {|C| = ∞} ⊆ ∀_n {|C| = ∞} = F, possiamo dire che P_p = 0, cioè θ(p) = 0.

Definizione 1.1.4

Introduciamo, con la notazione L_d, il reticolo duale, nel quale i vertici appartengono a (Z²)^*, che equivale a un traslato del vettore (1/2, 1/2).

Questo concetto è utile perché c'è una corrispondenza biunivoca tra gli spigoli di L² e quelli di L_d, infatti un lato del grafo duale è aperto se e solo se il corrispondente lato in L² lo è.

Lemma 1.1.5

{|C| < +∞} ⇔ ∃ un ciclo in L_d che circonda 0 formato da soli legami chiusi.

Chiamando G_n l'evento "esiste un ciclo in L_d che circonda 0, di lunghezza n e formato da soli spigoli chiusi", osserviamo che:

P_p(|C| < +∞) = Σ_n=4^∞ P_p(G_n) ≤ Σ_n=4^∞ 4(3^n-1)(1-p)ⁿ

Questo perché a partire da un vertice x esistono 4(3^n-1) percorsi di lunghezza n possibili e perché esistono al massimo n vertici da cui posso far partire il mio cammino e poter circondare lo 0. Il tutto è moltiplicato per (1-p)ⁿ che corrisponde alla probabilità di avere tutti spigoli del ciclo chiusi.

Osservazione 2

Dalla formula (1.5) possiamo dedurre che:

lim_p→1 Σ_n=4^∞ 4(3^n-1)(1-p)ⁿ = 0

e quindi lim_p→1 P_p(|C| = ∞) > 0, cioè θ(p) → 1 per p → 1.

Osservazione 3

Per p > 2/3 la sommatoria finale presente nella formula (1.5) è finita, dato che:

Σ_n=4^∞ 4n(3^n-1)(1-p)ⁿ = 4Σ_n=4^∞(1-p)ⁿ(3(1-p))^n-1

che converge perché 3(1-p) < 1

Teorema 1.1.6

Se p > 2/3, allora θ(p) > 0.

Dimostrazione

Sia N tale che:

Σ_n≥N 4n(3^n-1)(1-p)ⁿ < 1 e chiamiamo E₁ l'evento in cui tutti gli spigoli del sottoreticolo [-N, N] × [-N, N] sono aperti, quindi:

P_p(E₁) = p^4N(2N+1)

dove 4N(2N+1) è il numero di spigoli presenti in [-N, N] × [-N, N]. Chiamiamo invece E₂ l'evento “non ci sono cicli nel grafo duale (Z²)^* che circondano [-N, N] × [-N, N] formati solamente da spigoli chiusi”. Dalla formula (1.5) ricaviamo che:

P_p(E₂) ≥ 1 - Σ_n≥N 4n(3^n-1)(1-p)ⁿ > 0

Osserviamo che l'evento E₁ è sufficiente ma non necessario al fine di avere un cammino dall’origine all’infinito formato da soli spigoli aperti, quindi:

{|C| = ∞} ⊆ E₁ ∩ E₂.

Essendo E₁ ed E₂ due eventi indipendenti abbiamo che:

P_p(E₁)P_p(E₂) = P_p(E₁ ∩ E₂) ≤ P_p(|C| = ∞).

Quindi avendo:

P_p(E₁) = p^4N(2N+1) > 0, P_p(E₂) > 0, necessariamente P_p(|C| = ∞) > 0, cioè θ(p) > 0.

Con gli ultimi risultati abbiamo mostrato che il valore di p per cui la funzione di percolazione θ(p) passa da 0 a > 0 è un valore, il punto critico p_c, appartenente all'intervallo [1/3, 2/3].

Teorema 1.1.7

θ(p) è una funzione continua a destra di variabile p in [0, 1]

Dimostrazione

Sia g_n(p) := P_p(esiste un cammino di lunghezza n (senza spigoli ripetuti) con partenza nell'origine). g_n(p) è polinomiale in p e g_n(p) → θ(p) per n → ∞.

Ora notiamo che il limite decrescente di una funzione continua è semicontinua superiormente; infatti prendendo una successione p_n ↓ p abbiamo che lim sup θ(p_n) ≤ θ(p) quindi lim sup θ(p_n) ≤ θ(p).

Ora dimostriamo che θ(p) è continua a destra:

lim_n→∞ θ(p + 1/n) = lim sup θ(p + 1/n) ≤ θ(p) per la semicontinuità. Dato che θ(p) è non decrescente, sappiamo che θ(p) ≤ lim θ(p + 1/n), quindi vale lim_p→p0⁺ θ(p) = θ(p₀).

Anche se non abbiamo ancora calcolato il valore esatto del punto critico p_c, grazie ai teoremi visti finora possiamo comunque raffigurare approssimativamente l'andamento della funzione di percolazione θ(p).

Disuguaglianze fondamentali

Definizione 1.2.1

Un evento A è detto crescente se A(ω) ≤ A(ω') per ω ≤ ω' che rappresentano delle configurazioni di legami aperti in L. A rappresenta la funzione indicatrice di A.

Seguendo questa definizione, l'evento {|C| = ∞} è crescente, infatti se ω = ω' allora ω = ω' per ω ≤ ω'.

Più in generale, una variabile aleatoria N in uno spazio misurabile (Ω, F) è detta crescente se N(ω) ≤ N(ω') per ω ≤ ω', ed è detta decrescente se è crescente.

Osservazione 4

Nel nostro ambito un esempio di evento crescente è A(x, y) = {esiste un cammino aperto che collega i vertici x e y}, mentre un esempio di variabile aleatoria crescente è N(x, y) = {numero di differenti cammini aperti tra x e y}.

Per i seguenti teoremi introduciamo lo spazio di probabilità (Ω, F, P_p) dove Ω = {0, 1}^S con S insieme finito o numerabile, F è la σ-algebra generata da Ω e P_p è la misura prodotto in (Ω, F) con μ_s tale che μ_s(ω(s) = 0) = 1-p(s) e μ_s(ω(s) = 1) = p(s).

Teorema 1.2.2

Sia N una variabile aleatoria crescente in (Ω, F, P_p), allora:

E_p1(N) ≤ E_p2(N) per p₁ ≤ p₂ quando questi valori medi esistono. Sia A un evento crescente in F, allora:

P_p1(A) ≤ P_p2(A) per p₁ ≤ p₂.

Dimostrazione

Siano X(e) con e ∈ E delle variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite in [0, 1], con e che rappresenta un legame tra due vertici con distanza 1 in Z². Riprendiamo la determinazione usata all'inizio della sezione 1.2 e scriviamo η_p(e) = 1 se X(e) < p e η_p(e) = 0 altrimenti.

Abbiamo che se p₁ ≤ p₂ allora η_p1 ≤ η_p2 e di conseguenza N(η_p1) ≤ N(η_p2) dove N è una variabile aleatoria crescente in (Ω, F). Applicando il valor medio ad entrambi i membri della disuguaglianza otteniamo la relazione (1.8). La disequazione (1.9) invece si ricava applicando la dimostrazione alla variabile aleatoria N = A.

Teorema 1.2.3: Disuguaglianza FKG (Fortuin-Kasteleyn-Ginibre)

Sia X_i un insieme di variabili aleatorie indipendenti che assumono valori 0 e 1 e siano f e g delle funzioni crescenti. Allora:

E(f(X)g(X)) ≥ E(f(X))E(g(X))

Corollario 1.2.4: Disuguaglianza di Harris

Siano A e B due eventi crescenti, allora:

P_p(A ∩ B) ≥ P_p(A)P_p(B)

Prima di dimostrarlo vediamo un’applicazione del teorema:

Siano E₁, ..., E_k delle famiglie di cammini e sia A_i l’evento “esiste un cammino formato da soli spigoli aperti in E_i”. Essendo A_i un evento crescente allora vale:

Π_i=1^k P_p(A_i) ≤ P_p(Π_i=1^k A_i)

Iterando questa operazione otteniamo:

Π_i=1^k P_p(A_i) ≥ Π_i=1^k P_p(A_i)

Dato un vertice x indichiamo con θ(p, x) la probabilità che x appartenga a una componente connessa infinita e sia p_c(x) = sup{p : θ(p, x) = 0}.

Scriviamo x ↔ y se esiste un cammino di legami aperti che collega i vertici x e y. Dal teorema deduciamo che:

θ(p, x) ≥ P_p({x ↔ ∞} ∩ {y ↔ ∞}) ≥ P_p(x ↔ y)θ(p, y)

quando p_c(x) ≤ p_c(y).

Dimostrazione: Disuguaglianza FKG

Sia J l’insieme degli spigoli di un grafo e dimostriamo la disuguaglianza per induzione su |J|. Per J infinito, il risultato deriva per approssimazione.

Prendiamo |J| = 1 e ω₁, ω₂ due variabili aleatorie che possono assumere valori 0 o 1. Dato che f e g sono crescenti, abbiamo che:

(f(ω₁) - f(ω₂))(g(ω₁) - g(ω₂)) ≥ 0

Consideriamo ω₁ e ω₂ indipendenti con uguale distribuzione X₁, sviluppando il prodotto e applicando il valor medio otteniamo:

E[f(ω₁)g(ω₁)] + E[f(ω₂)g(ω₂)] ≥ E[f(ω₁)g(ω₂)] + E[f(ω₂)g(ω₁)]

E quindi: 2E[f(X₁)g(X₁)] ≥ 2E(f(X₁))E(g(X₁)). Assumiamo valida la disuguaglianza per |J| = k e siano f e g funzioni di k variabili. Sappiamo per le proprietà del valore atteso condizionato che:

E(f(X₁, ..., X_k)g(X₁, ..., X_k)) = E[E(f(X₁, ..., X_k)g(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1)]

Il caso k = 1 ci dice che per ogni X₁, ..., X_k-1 vale:

E(f(X₁, ..., X_k)g(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1) ≥ E(f(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1)E(g(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1)

Quindi proseguendo l’equazione abbiamo che:

E[E(f(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1)E(g(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1)]

Ora osserviamo che E(f(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1) e E(g(X₁, ..., X_k)|X₁, ..., X_k-1) sono funzioni crescenti di X₁, ..., X_k-1. Per induzione otteniamo che il termine è: