Introduzione alla teoria della sommabilità

C N.

k+1

e C ⊂ C

lo sono le inclusioni . Consideriamo nuovamente la successione ā =

k k+1

e e

( 1, 0). Essendo indeterminata in senso classico, lo è anche la successione

c −1

(1) −1, −3, −5,

ā := M (ā) = (1, 3, 5, . . . ),

1 (1)

(1)

= H ā = lim a

altrimenti, per la regolarità di H , si avrebbe lim a

n 1 n n

1 n (1)

che non esiste. Si osservi invece che, con un calcolo analogo, ā ammette

1 ∈

. Ora, per un k generico consideriamo

H -limite uguale ad N

2 2 −k

(k)

ā := M (ā),

1

per la quale si ottiene 1

k+1

(k) (k)

◦ ◦

H ā = C M ā = C M (ā) = ,

k+1 1

1 2

mentre non esiste

(k) k (k)

◦

H ā = C M ā = C(ā) = lim a .

k n

1 n

Concludiamo questa sezione con un Teorema Tauberiano, ed alcune sue conse-

guenze, per i metodi di Cesaro ed Holder di primo ordine. Data l’equivalenza

tra le due classi di metodi ogni Teorema Tauberiano per un metodo di Cesaro

si può facilmente enunciare in termini dei metodi di Holder. Questo tipo di teo-

remi mette in mostra un fenomeno tipico, ma a prima vista per nulla intuitivo,

della Teoria della Sommabilità. Da un lato, è ragionevole sospettare che per

ogni metodo (che goda di abbastanza proprietà per essere ritenuto utile) esista-

no delle successioni che oscillano tanto velocemente da rimanere indeterminate,

e che quindi non esista un metodo definibile sull’intero spazio delle successioni.

Dall’altro invece può sorprendere che un metodo fallisca quando una successione

oscilla troppo lentamente. I Teoremi Tauberiani possono quindi essere visti co-

me quelli duali ai teoremi di limitazione. In generale infatti, quando diciamo che

un metodo è più forte di un altro, potremmo aspettarci che regolarizzi succes-

sioni che oscillano molto velocemente. Quello che in realtà succede è che, se un

metodo si comporta cosı̀, finisce per non essere più definito per successioni che

oscillano più lentamente. Esplicitiamo quindi cosa intendiamo per lentamente:

32

Definizione 5.2 (Successioni ad oscillazione lenta). Una successione di numeri

reali ā è detta ad oscillazione lenta se per ogni > 0 esistono un δ > 0 ed

r

∈ |a − | ≤ ≥ ≥ ≤

un n per cui si ha a per r n n tali che 1 + δ. Nel

N

r n n

− ≥ −, − ≤

caso in cui ā soddisfi solamente a a o a a , diremo che è,

r n r n

rispettivamente, lentamente decrescente, o lentamente crescente.

Possiamo adesso enunciare e dimostrare il seguente teorema:

Teorema 5.2 (Teorema Tauberiano di Boos-Landau). Una successione lenta-

mente decrescente C -convergente converge in senso classico.

1

Dimostrazione. Data la linearità del metodo C è sufficiente dimostrare il teo-

1

rema nel caso lim a = 0. Supponiamo, per assurdo, che non esista lim a ,

n n C n n

1

quindi si avrà 0 < lim sup a = β, o 0 > lim inf a . Supponiamo di trovarci

n n n

n −ā),

nel primo caso (altrimenti consideriamo e definiamo α := β se β < +∞, al-

α

≥

trimenti α := 2. Scegliamo una sottosuccessione tale che lim a = β e a

j n n 2

j j

α

per ogni indice j. Se scegliamo := , dato che per ipotesi ā è lentamente de-

4 − ≥ − ≥ ≥

crescente, esistono δ e j̄ per cui risulta a a per ogni r n n

r n j j̄

j̄

α

r ≤ ≥

1 + δ, in particolare a

tali che . Definiamo adesso r := [(1 + δ)n ] e

r j j

n 4

j ≥

y := M (ā), per j j̄ si ha

1 · · ·

a + + a − −

n + 1 α r n α δn 1

n +1 r

j j j j

j j

− ≥ · ≥ ·

y y = , (93)

r n

j j

r + 1 r + 1 4 r + 1 4 (1 + δ)n + 1

j j j j

da cui si calcola −

n + 1 α δn 1 δα

j j

− ≥ ·

lim y y lim = > 0. (94)

r n

j j

r + 1 4 (1 + δ)n + 1 4(1 + δ)

j j

j j

Il che è assurdo, dato che per ipotesi lim y = 0.

n n

Da questo teorema si ricavano come corollari, gli originali Teoremi Tauberiani

di Hardy e Landau, che ora enunceremo e dimostreremo.

Corollario 5.2.1 (Teorema Tauberiano di Hardy). Sia ā una successione C -

1

|n(a − ≤

convergente tale che a )| c. Allora ā è regolare in senso classico.

n n−1

Corollario 5.2.2 (Teorema Tauberiano di Landau). Sia ā una successione C -

1

− ≥ −c.

convergente tale che n(a a ) Allora ā è regolare in senso classico.

n n−1

Chiaramente, il teorema di Landau implica quello di Hardy, pertanto dimostre-

remo solo questo. Tuttavia, il teorema di Hardy ha un interesse proprio dato

che è valido, cosı̀ come lo abbiamo enunciato, anche per successioni a valori

complessi. Questo rappresenta uno dei pochi esempi in cui la Teoria della Som-

mabilità per successioni a valori complessi si discosta da quella che abbiamo

trattato finora per successioni a valori reali.

33

Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che se una successione soddisfa l’ipo-

tesi tauberiana di Landau allora è lentamente decrescente, per poi applicare il

c

≥ − ≥ −

Teorema 5.2. Sia r > n 1, per ipotesi abbiamo a a da cui si ha

n n−1 n

r r −

r n

1

X X

− ≥ −c

− ≥ −c

a a = . (95)

a a

r n k k−1 k n

k=n+1 k=n+1 r

≤

, in questo modo se 1 + δ si ottiene

Fissiamo > 0 e scegliamo δ := c n

r

− ≥ −c − ≥ −cδ −,

a a 1 =

r n n

il che prova la tesi.

Un’altra osservazione interessante riguardo la versione di Hardy del teorema

appena dimostrato, è che può essere applicato anche a successioni divergenti.

Infatti vale il seguente ±∞ |n(a − ≤

Corollario 5.2.3. Sia ā tale che C (ā) = e a )| c, allora si

1 n n−1

±∞.

ha lim a =

n n

Dimostrazione. Indichiamo con s le somme parziali di ā. Riscriviamo s come

n n

n

X −

− k(a a ), (96)

s = (n + 1)a k k−1

n n k=1

da cui si ottiene n

1 1 X −

a = k(a a ). (97)

s +

n k k−1

n

n +1 n +1 k=1

Per l’ipotesi tauberiana si ha che

1 cn 1 cn

− ≤ ≤

s a s + , (98)

n n n

n +1 n +1 n +1 n +1

il che implica la tesi 1

lim a = lim s .

n n

n +1

n n

Entrambi questi risultati possono ovviamente venire enunciati anche per le serie.

Nel caso del Teorema di Hardy possiamo fare una ultima osservazione. Dato

+∞ 1

P è divergente, dimostrare che una serie è mag-

che la serie armonica k=0 k+1

giorata da essa non ci permette di concludere nulla riguardo il suo carattere. La

situazione cambia aggiungendo l’ipotesi tauberiana di Hardy, formulata per le

serie. 34

Corollario 5.2.4 (Teorema Tauberiano di Hardy per serie). Sia ā una suc-

|na | ≤

cessione la sui serie ammette C -somma finita, tale che c. Allora ā è

1 n

regolare in senso classico.

In conclusione, una serie C -convergente maggiorata da quella armonica conver-

1

ge in senso classico. 35

6. Teoria generale dei metodi matriciali

Dagli esempi classici considerati finora possiamo estrapolare la seguente strate-

N

gia: cerchiamo una applicazione G da in sè e definiamo il nostro metodo di

R

limitabilità come F := lim G(ā) . Essendo il limite standard lineare e stabile le

n n

proprietà di F dipenderanno solo da G. Prima di procedere dando la definizione

di metodo matriciale, riportiamo brevemente alcune proprietà delle matrici di

dimensione infinita. In quanto segue useremo solo matrici di dimensione infinito

numerabile, che possiamo identificare come funzioni

× →

A : N N R,

adottando la notazione a := A(j, k)

jk 

 a a a ...

00 01 02

a a a . . .

10 11 12 

 .

A = (a ) = 

 a a a . . .

jk jk 20 21 22 

 .. .. .. 

 .. .

. . .

Data una matrice A ed una successione x̄, se per ogni indice di riga j converge

+∞

P

(in senso classico) la serie a x , allora si pone

jk k

k=0 !

+∞

X

Ax̄ := a x ,

jk k

k=0 j

⊆ N N

quindi è possibile definire un’applicazione da Ω a , che identificheremo

R R

con A stessa N

→

A : Ω R

7→

x̄ Ax̄.

Date due matrici A e B si definisce il loro prodotto (quando esiste) estendendo

l’usuale concetto di prodotto righe per colonne tramite la definizione precedente.

n ≥ ∈

Indicheremo con A , per n 1 il prodotto di A con se stessa n volte e

N,

0 k

poniamo A := I := (δ ) . Abbiamo ora gli strumenti per dare la seguente

∞ jk

j ∈

Definizione 6.1 (Metodi matriciali). Sia A = (a ) una matrice infinita, x̄

jk jk

N e sia Ω il dominio dell’applicazione Ax̄. Si dice A-metodo di limitabilità

R

il metodo: N

⊆ →

F : ω Ω R

A

F (x̄) := lim (Ax̄) .

A n

n

36

Chiaramente qualsiasi metodo costruito in questo modo è per forza lineare. Per

la prima volta abbiamo definito una classe di metodi, senza curarci che essi siano

regolari. Prima di cercare quali condizioni vanno imposte sulla matrice A, af-

finché il metodo corrispondente sia regolare, è arrivato il momento di presentare

una definizione più articolata di regolarità.

Definizione 6.2 (Metodi nil-regolari, regolari e parzialmente regolari). Indi-

chiamo con l’insieme delle successioni convergenti, con quello delle suc-

C C

0

cessioni convergenti a 0 e con quello delle successioni divergenti (in senso

D

∪

classico); infine = Consideriamo un’applicazione

C C D.

e N

⊆ →

F : ω R R

ed una sua estensione N

⊆ →

F̃ : ω̃ R R.

e

Diremo che F è un metodo di limitabilità nil-regolare se soddisfa

⊆ ω,

C 0

∀ā ∈ F (ā) = 0.

C

0

Diremo invece che è un metodo di limitabilità regolare (su se soddisfa

R)

⊆ ω,

C

∀ā ∈ F (ā) = lim a .

C n

n 1

Infine, diremo che F̃ è un metodo di limitabilità parzialmente regolare

(su se è estensione di un metodo regolare (su e verifica

R) R)

e ∀ā ∈ ∩

ω̃ F̃ (ā) = lim a .

D n

n

Questa nuova definizione, a cui ci fermeremo, è solo un primo passo verso