Tutti i Teoremi di Analisi 1

DERIVABILITÀ E CONTINUITÀ

Se una funzione f è derivabile in un punto x0 allora è continua nel

punto x0

Dimostrazione )

( + ℎ) − (

0 0 ′

) ( )ℎ

( + ℎ) − ( = ℎ~ ℎ → 0

0 0 0

ℎ

)] )

lim [( + ℎ) − ( = 0 è lim ( + ℎ) = ( è à

0 0 0 0

ℎ→0 ℎ→0

DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI

′ ′

() = + ′

Dimostrazione ) )( )

( + ℎ) − ( ( + ℎ)( + ℎ) − (

0 0 0 0 0 0

=

ℎ ℎ )( ) )( )(

( + ℎ)( + ℎ) − ( − ( + ℎ) + ( + ℎ)

0 0 0 0 0 0 0 0

= ℎ

) )

( + ℎ) − ( ( + ℎ) − (

0 0 0 0

= ( + ℎ) + ( )

0 0

ℎ ℎ

Per la continuità delle funzioni derivabili si può ottenere che l’espressione precedente tende a

) )

( + ℎ) − ( ( + ℎ) − (

0 0 0 0

)

( + ( )

0 0

ℎ ℎ

Applicandovi allora il limite si ottiene che ′ ′

() = + ′

DERIVATA DELL’ARCOTANGENTE

1

arctan = 2

1 +

Dimostrazione

Definizione della derivata di una funzione inversa: 1

−1 ′

( ) ( ) =

0 ′ ( )

0

Quindi se tan x è derivabile, allora arctan y sarà sempre derivabile. Secondo tale principio allora la

derivata sarà 1

1

2

cos

Cioè 1 2

+ tan

Cioè, essendo x= arcatan y 1 2

1 +

Cambiando le variabili si ottiene allora il risultato di cui sopra.

TEOREMA DI FERMAT

Sia f una funzione derivabile nel punto x0 di (a,b). Allora se x0 è un

punto di estremo allora sarà anche un punto critico.

Dimostrazione

Per fissare le idee, consideriamo x0 come un Allora si può dire che

punto di massimo.

)

∃ > 0 ℎ () ≤ ( ∀ ∈ ( − , + )

0 0 0

Si pensa allora al rapporto incrementale )

() − (

0 =

−

0 ′ ()

> ≤ 0, è ≤ 0

0 +

′ ()

< ≥ 0, è ≥ 0

0 −

Essendo f una funzione derivabile in x si ottiene allora che le due derivate (destra e sinistra) sono uguali.

′

Ciò significa che necessariamente ()

= 0.

ciò non indica che i punti critici siano solamente dei punti di estremo. Possono essere cercati infatti

Nota:

anche tra i e tra i

punti di discontinuità punti singolari agli estremi del dominio.

TEOREMA DI LAGRANGE

Supponiamo che f sia definita su (a,b) a valori in R, continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora esiste c

in (a,b) tale che () − ()

′ ()

= −

Dimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliaria g(x): () − ()

() = () − () − ( − )

−

Se g è continua nel chiuso e derivabile nell’aperto possiamo dire che e che

() = 0 () = 0.

Queste sono le ipotesi del che indica che Allora calcoliamo

teorema di Rolle esiste c di (a,b) tale che g’(c)=0.

la derivata prima della funzione () − ()

′ ′

() ()

= − −

In c avremo che () − ()

′ ()

0 = − −

Il teorema è quindi dimostrato.

TEST DI MONOTONIA

Sia continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora

: (, ) →

La funzione è se e solo se

crescente ′ ()

≥ 0 ∀ ∈ (, )

La funzione è se e solo se

decrescente ′ ()

≤ 0 ∀ ∈ (, )

Dimostrazione

Ipotizziamo che la funzione sia Se h>0 e se x è un punto appartenente all’intervallo allora la

crescente.

somma appartiene anch’essa all’intervallo. Dico allora che

( + ℎ) − () ≥0

ℎ

Applicando otterrò la Sarà ancora maggiore o uguale a

il limite destro derivata destra della funzione. ′

zero. Però dato che la funzione è derivabile in tutto l’intervallo posso dire che anche per il

()

≥ 0

Quindi per il momento il teorema è dimostrato solo in un senso.

teorema di permanenza del segno. ′

Per dimostrare che il teorema funziona anche in senso inverso, ipotizziamo che .

()

≥ 0

Dall’intervallo prendiamo i punti x1 e x2 tali che x1<x2. Allora possiamo considerare un intervallo

(x1,x2) tale che la funzione sia continua nel chiuso e derivabile nell’aperto. Queste sono le ipotesi del

teorema di che indica questo

Lagrange ) )

( − ( = ′()( − )

2 1 2 1

Ora:

• ′

Per come abbiamo ipotizzato, ()

≥ 0

• Per come è stato scelto l’intervallo, ( )

− ≥ 0

2 1

Allora si può concludere dicendo che cioè cioè la funzione è e il

crescente

) ) ) ),

( − ( ( ≥ (

2 1 2 1

teorema è completamente dimostrato.

LIMITE DELLA FUNZIONE DERIVATA

Sia continua in a e derivabile in (a,b), ed esista

: [, ) → ∗ . Allora

lim ′() = ∈

+

→ ′

=

( )

+

In altre parole: se la funzione è continua in a ed esiste il limite destro

della derivata, allora esiste la derivata destra e coincide con quel limite

Dimostrazione

Consideriamo h>0. Applichiamo alla funzione il sull’intervallo [a, a+h]. Ciò che

teorema di Lagrange

si ottiene è l’esistenza di tale che

∈ [, + ℎ]

ℎ ( + ℎ) − () = ′( )

ℎ

ℎ

+ +

Ora, se si ha che , quindi per ipotesi Di conseguenza esiste

ℎ → 0 → ′( ) → .

ℎ ℎ

( + ℎ) − ()

′ ()

= lim =

+ ℎ

+

ℎ→0

Di conseguenza il teorema è dimostrato.

FORMULA DI TAYLOR ARRESTATA AL SECONDO ORDINE CON

RESTO SECONDO PEANO

Sia e sia Se la funzione ammette derivata prima in (a,b) e derivata seconda in

: (, ) → ∈ (, ).

0

allora e

esiste un unico polinomio di grado tale che per

() )

≤ () = + ( − →

0

risulta: ′′ ( )

0

′ 2

() ) ( )( ) ( )

= ( + − + −

2 0 0 0 0

2

Dimostrazione

Si calcoli il seguente limite ()

() − 0

2

lim =[ ]

2

( )

− 0

→ 0 0

Si ottiene questa forma di indecisione, anche se si utilizza il teorema di vista la validità

de l’Hospital,

delle condizioni per l’utilizzo. Posso applicarlo ancora? No, perché la derivata seconda (che arriva da

T2) non è contemplata nelle ipotesi del teorema perché c’è solo con x0. Però semplificando l’espressione

ottenuta dal teorema di de l’Hospital e portando fuori ½ ottengo un rapporto incrementale di una

cui si sottrae la Quello che si ottiene dal calcolo del limite sarà allora

derivata prima derivata seconda.

una uguale a 0. Pertanto si considererà, per definizione di o – piccolo:

differenza tra derivate seconde 2

() )

() − = ( −

2 0

Ottenendo così la tesi.

viene qui riportata l’espressione generale del polinomio di Taylor

Nota Bene: − ( )

( )

= ∑ −

!

=

Il è rappresentato da , il quale viene poi sommato per ottenere la

resto secondo Peano )

( −

0

funzione interessata. Se il (x0) corrisponde all’origine si ottiene uno sviluppo

centro degli assi

particolare, conosciuto come Sviluppo di Mc Laurin.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Sia f una funzione nell’intervallo (a,b) e sia

Riemann Integrabile

() = ∫ ()

′ ′ ′

Allora è e Inoltre e

F derivabile in (a,b) () () ()

= (). = () = ().

+ −

Dimostrazione

Supponiamo l’esistenza di all’interno dell’intervallo (a,b) e supponiamo anche l’esistenza di un

0

numero h reale tale che x+h sia dentro l’intervallo. Si costruisce allora il rapporto incrementale:

+ℎ

() − ()

∫ ∫

( + ℎ) − ()

=

ℎ ℎ

Proprietà di additività

+ℎ +ℎ +ℎ

∫ () − ∫ () = ∫ () + ∫ () − ∫ () = ∫ ()

Quindi il rapporto incrementale diventa tale da applicare il teorema della media integrale:

+ℎ +ℎ

1 1

∫ () = ∫ () = ()

ℎ +ℎ−

< <+ℎ

Per definizione di derivata ′ ()

= lim ()

ℎ→0

Se h tende a 0, allora Quindi, ricordando che si ottiene che per

x+h tende a x. c tende a x

< < + ℎ,

′

compressione. Pertanto Quindi è dimostrato che Applicando delle derivate

()

() → (). = ().

si può giungere in maniera analoga alle conclusioni di cui sopra.

laterali

FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Se f è una funzione continua nell&