Schemi e teoria Algebra lineare e geometria

V Z W Z

B , B

alle basi .

V W 12

5. Rotazioni nel piano

GL (ℝ)

44. Definizione di matrice inver(bile e definizione di :

n

H ∈ M (ℝ) K ∈ M (ℝ) t . c . H K = I = K H

Sia , si dice che la matrice H è inver<bile se esiste . La matrice K si dice inversa di H e si indica

n,n n,n n

−1

H = K

con . GL (ℝ) = {h ∈ M (ℝ) H i n v er t i b i l e}

|

Gruppo generale lineare: .

n n,n

A ∈ M (ℝ) r g (A) = n

45. Dimostrare che: `e inver(bile se e solo se :

n −1 n n

f : ℝ ⟶ ℝ

Se A è inver<bile f è lineare e obiecva perché è inver<bile con inversa: −1

x ⟼ A x

n n

d i m (I m ( f )) = r g A = n f : ℝ ⟶ ℝ

r g (A) = n

Essendo suriecva si ha che: ; se allora x ⟼ Ax −1

A

È suriecva perchè dim(Im(f))=rg(A)=n. Per la formula delle dimensioni dim(Ker(f))=0 allora è invecva quindi sarà biecva. Allora è la matrice

−1

f

associata a rispe2o alle basi canoniche.

46. Definizione di minore di una matrice A:

A ∈ M (ℝ)

Sia , si dice minore di A una matrice o2enuta da A eliminando alcune righe e alcune colonne.

n,n

47. Definizione di sviluppo del determinante di una matrice rispeDo alla k-esima riga:

A ∈ M (ℝ) A

Ricordiamo che data una matrice , indichiamo con il minore di A o2enuto eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima. Si dice

n,n ij n k+i

∑

d e t (A) = (−1) a d e t (A )

allora sviluppo del determinante secondo la k-esima riga: . Si chiama sviluppo del determinante secondo la

ki ki

i=1

n k+i

∑

d e t (A) = (−1) a d e t (A )

colonna k-esima invece: .

ik ik

i=1

48. Enunciato del Teorema di Binet:

d e t (A B ) = d e t (A) + d e t (B ) d e t (I ) = 1 d e t (A) ≠ 0

A , B ∈ M (ℝ) A ∈ GL (ℝ)

Siano , allora . Inoltre, essendo , se , ovvero se , allora

n,n n

n

1

−1

d e t (A ) = .

d e t (A)

49. Definizione di matrice trasposta: t

A ∈ M (ℝ)

A ∈ M (ℝ)

Data si dice matrice trasposta di A la matrice o2enuta da A scambiando le righe con le colonne.

m,n m,n

50. Definizione di matrice di cambio di base: B 2

α (i d ) = T

i d : V ⟶ V B , B

Consideriamo e due basi . La matrice: si dice matrice di cambio di base. La matrice di cambio di base

v 1 2 B ,B v B

1 2 1

B B

viene usata in quanto manda coordinate di un ve2ore v rispe2o a in coordinate di v rispe2o a .

1 2

Osservazione: tu2e le matrici di cambio di base sono inver<bili e cambiando l’ordine delle basi si inverte la matrice perché:

B B

2 1

T ⋅ T = α (i d ) ⋅ α (i d ) = α (i d ) = I .

B ,B v B ,B v B ,B v n

B B 1 2 2 1 1 1

1 2

51. Definizione di matrici simili: −1

A = H B H

A , B ∈ M (ℝ) H ∈ GL (ℝ)

Due matrici quadrate si dicono simili se esiste una matrice inver<bile tale che: e si indica con: A B .

∼

n,n n

52. Definizione di autovalore ed autoveDore rela(vo; Definizione di autospazio:

φ : V ⟶ V ℝ α ∈ ℝ φ ∃v ∈ V , v ≠ 0, t . c . φ (v) = α v

Sia (endomorfismo di V) - spazio ve2oriale, uno scalare si dice autovalore di se . Il

α

ve2ore v si dice autove2ure rela<vo all’autovalore .

φ ⟺ ∃ v ∈ k er (φ − α i d )\{0} ⟺ d i m (k er (φ − α i d ) ≥ 1

α ∈ ℝ

Osservazione: è autosalone di .

v v

13

α φ V := k er (φ − α i d ) = {v ∈ V φ (v) = α v} φ α

|

Se è autovalore di allora viene de2o autospazio di rela<vo all’autovalore . La sua

α v α α φ

m (α) := d i m (V ) ≥ 1

dimensione viene de2a molteplicità geometrica dell’autovalore : , autovalore di .

g α

53. Definizione di polinomio caraDeris(co: (t)

φ : V ⟶ V φ P := d e t (φ − t i d )

Sia endomorfismo, si dice polinomio cara2eris<co di il polinomio: . Cioè si prende una base B di V e si

v

φ

(t)

t

α (φ) = A P := d e t (A − T I ) = P

calcola allora .

B,B n

φ A

54. Dimostrare che: un α K è autovalore di un endomorfismo φ di un K spazio veDoriale V se e solo se è zero del polinomio caraDeris(co di φ:

∈

A ∈ M (ℝ) ⟺ P (α) = 0

α ∈ ℝ

Proposizione: data , è autovalore di A .

n A

⟺ d i m (K er (A − α I )) ≥ 1 ⟺ A − α I ⟺ P (α) := d e t (A − α I ) = 0

α

Dimostrazione: è autovalore di A non è inver<bile .

n n A n

α ∈ ℝ ⟺ P (α) = 0

φ : V ⟶ V

Analogamente è autovalore di φ

55. Dimostrare che matrici simili hanno lo stesso polinomio caraDeris(co:

(t) (t)

P = P

Proposizione: Se A B allora .

∼ B

A A , B ∈ M (ℝ) H ∈ GL (ℝ)

Dimostrazione: abbiamo visto che due matrici quadrate si dicono simili se esiste una matrice inver<bile tale che:

n,n n

−1

A = H B H . Allora possiamo vedere che: 1

(t) (t)

−1 −1 −1

P = d e t (A − t I ) = d e t (H B H − H t I H ) = d e t (H (B − t I )H ) = ) ⋅ d e t (H ) = P

⋅ d e t (B − t I .

n n n n B

A d e t (H )

56. Dimostrare che matrici simili hanno lo stesso determinante:

d e t (A) = d e t (B )

Proposizione: se A B allora .

∼ −1 −1 −1

⇒ ∃ H ∈ GL (ℝ) : B = H A H d e t (B ) = d e t (H A H ) = d e t (H )d e t (A)d e t (H )

Dimostrazione: A B , allora =

∼ n

1

= d e t (A)d e t (H ) = d e t (A) .

d e t (H )

57. Dimostrare che: autospazi rela(vi ad autovalori dis(n( sono in somma direDa fra loro o in alterna(va che veDori non nulli appartenen( ad

autospazi rela(vi ad autovalori dis(n( sono linearmente indipenden(. K

α , . . . , α U B

φ : V ⟶ V d i mV = n B V

Proposizione: se sono autovalori dis<n< di con e è base dell’autospazio allora è l’insieme dei

1 k i α i

i=1

i

V ⊕ . . . ⊕ V

ve2ori linearmente indipenden< e si dice che gli autospazi sono in somma dire2a: e

α α

1 k

k

∑

d i m (V ⊕ . . . ⊕ V ) = d i m (V ) .

α α α i

1 k i=1 k

∑

V + . . . + V = { v ∈ V ∀ i = 1,...,k} B U . . . U B

v

|

Dimostrazione: consideriamo lo spazio e le basi che generano

α α i i α 1 k

i

1 k i=1

k

∑ v = 0 ⇒ v = 0 ∀ i = 1,...,k

V + . . . + V v

. È sufficiente mostrare che se ; infac se questo è vero ogni è combinazione lineare dei

α α i

i V i V

1 k i=1

B v = 0

ve2ori di che sono linearmente indipenden<, quindi se allora tuc i coefficien< di tale combinazione lineare sono 0. C’è implica che

i i v

B U . . . U B è l’insieme di ve2ori liunarmente indipenden<.

1 k k

∑

k = 1, v = 0 → v = 0 v = − v − . . . − v q u i n d i φ (v ) = α v = − α v − . . . − α v

Per induzione su K: se dunque

1 V i V 1 2 k 1 1 1 1 2 1 k

i=1

φ (−v − . . . − v ) = − α v − . . . − α v ⇒ φ (−v − . . . − v ) − φ (v ) = 0 (α − α )v + . . . + (α − α )v = 0

avremo che allora ha

2 k 2 2 k k 2 k 1 V 1 2 2 1 2 k V

(α − α )v = 0 ∀ i = 2,...,k α − α ≠ 0 ⇒ v = 0 ∀ i = 2,...,k

lunghezza k-1 per ipotesi inducva allora ma essendo .

1 i i V 1 i i V

58. Dimostrazione che: la molteplicità geometrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale a 1 e minore o uguale alla sua molteplicità

algebrica. α φ V := k er (φ − α i d ) = {v ∈ V φ (v) = α v} φ

|

Abbiamo visto che se è autovalore di allora viene de2o autospazio di rela<vo

α v m (α) := d i m (V ) ≥ 1

α α α φ

all’autovalore . La sua dimensione viene de2a molteplicità geometrica dell’autovalore : , autovalore di . Se

g α ma (α)

α m (x) = (x − α) q (x)

A ∈ M (ℝ) q (α) ≠ 0

consideriamo ora una matrice e un autovalore, chiamiamo molteplicità algebrica con ;

n a

m (α) := d i m (k er (A − α I ))

mentre la molteplicità geometrica sarà allora .

g n

14

59. Definizione di matrice diagonale. Definizione di matrice diagonalizzabile. Definizione di endomorfismo diagonalizzabile. Una matrice

diagonale è diagonalizzabile? D ∈ M (ℝ) i j = 0 ∀ i ≠ j

Definizione di matrice diagonale: una matrice si dice diagonale se tuc i coefficien< extra-diagonali sono nulli (D | ) .

n

A ∈ M (ℝ)

Definizione di matrice diagonalizzabile: una matrice si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D, cioè se esiste

n

−1

H A H = D

H ∈ GL (ℝ) tale che .

n φ : V ⟶ V φ

Definizione di endomorfismo diagonalizzabile: un endomorfismo è diagonalizzabile se esiste una base B di V di autove2ure per .

Una matrice diagonale è diagonalizzabile?: si, in quanto simile ad una matrice diagonale D.

60. La matrice iden(tà è diagonalizzabile? La matrice nulla è diagonalizzabile?

La matrice iden<tà e la matrice nulla sono entrambe matrici aven< come coefficien< extra-diagonali tuc 0, perciò entrambe soddisfano la

condizione di matrice diagonalizzabile, e dunque possiamo concludere che sia la matrice nulla che quella iden<tà sono diagonalizzabili.

61. Dimostrare che: φ endomorfismo di V (dim V = n) è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caraDeris(co si faDorizza in prodoDo di

faDori lineari e la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. φ

φ : V ⟶ V

62. Dimostrare che: sia endomorfismo di V con dim(V)= n e avente n autovalori a due a due dis(n(, allora è diagonalizzabile.

φ

φ : V ⟶ V

Proposizione: se endomorfismo di V con dim(V)= n e avente n autovalori a due a due dis<n<, allora è diagonalizzabile.

Dimostrazione: dato che:

P (x) = (α − x) . . . (α − x) m (α ) = 1 ∀ i = 1,...,n ;

- φ 1 n a i

1 ≤ m (α ) ≤ m (α ) = 1 ⇒ m (α ) = m (α ) = 1 ∀ i = 1,...,n ;

- g i a i g i a i

⇒ &p