Teoria monodimensionale corretta

La rotazione della corrente relativa e i suoi effetti sul fluido

La rotazione della corrente relativa esercita una doppia azione sul fluido: la velocità W ha un andamento diverso da quello delle pale e non è più uniforme in un arco interpalare. All'imbocco e allo sbocco del condotto, la velocità relativa W ha un angolo di inclinazione diverso da quello costruttivo della pala, determinando uno scorrimento della corrente relativa rispetto alla direzione monodimensionale.

Causa dello scorrimento

• Si considera la _ta circonferenza del condotto interpalare (non infinitesimo).
• La pala preme sul fluido, deviando la sua traiettoria naturale (cioè quella di seguire un angolo costante -> β_2c).

Triangoli di velocità: Bernoulli mostra che c'è un gradiente di pressione P_max sulla faccia premente e P_min sull'opposta.

Rotalpia

gh_u = \(\frac{u_1^2-w_1^2}{2} + \frac{w_2^2-w_1^2}{2} + \frac{c_1^2-c_2^2}{2} + \frac{\rho_1-\rho_2}{\rho} + \frac{c_1^2-c_2^2}{2}\)

Primo errore della Th. mono. (\(\frac{\partial \beta 2}{\partial t}\) ≠ 0). Dove il termine statico: P₁-P₂ / \(\rho\) = \(\frac{u_2^2-u_1^2}{2} + \frac{w_2^2-w_1^2}{2}\).

Dove P₁/\(\rho\) + \(\frac{w_1^2-u_1^2}{2}\) = P₂/\(\rho\) + \(\frac{w_2^2-u_2^2}{2}\).

Ma \(\rho/\rho + \frac{W^2}{2} - \frac{u^2}{2} \cos\theta =\) Rotalpia.

La Rotalpia dice che, a meno di perdite, l'energia totale della corrente relativa si conserva:

P_A + \(\frac{W_A²}{2}\) = P_B + \(\frac{W_B²}{2}\) perché sono sullo stesso raggio.

Ho un gradiente di velocità relativa opposto rispetto a quello di pressione: P_A < P_B → W_A > W_B per la rotazione.

Errori e teorema monodimensionale

• 2^o errore: Teorema Monodimensionale.
• δ = angolo di scorrimento.
• β₀ = β - δ.

Effetti dello scorrimento: Triangoli di velocità: U_S: velocità di scorrimento. Più è grande la differenza di pressione tra le due facce, più sarà grande la velocità di scorrimento: U_A = U_B.

Ragionamento: Se diminuisce il gradiente di pressione, diminuisce il gradiente di velocità. Per ridurre il gradiente di pressione si deve ridurre la forza che agisce sulla singola pala. Per ridurre F si deve aumentare il numero di pale (così si riduce la larghezza del condotto interpala e si avvicina alla condizione z →∞ e condotto infinitesimo) →0 allora z →∞ ovvero A e B coincidenti →condotto infinitesimo.

Teoria monodimensionale corretta e scambio energetico: gh_t = u₁Cu_u1 - u₂Cu₂. In questo caso u e cu sono il risultato di una media ponderale delle distribuzioni di velocità sulle varie sezioni della pala. β₁ < β_Ab Cu_u < Cu_ue. ∂p∂r ≠ 0 → ∂w∂s ≠ 0 → ∂β∂s ≠ 0 (pressione, velocità e traiettoria variano).

Le ipotesi semplificative della teoria monodimensionale o euleriana portano a una sovrastima dello scambio energetico effettivo della macchina, nelle macchine operatrici.

1. gh_t = u₁(Cu_u1 - Δcu_u1) - u₂Cuz = u₁Cu_u1 - u₁Δcu_u1 = (u₁Cu_u1 - cm cotg β_rAb) - u₁ΔCu_u1 = u_{1²CmcotgβAb - u1Cuu1}
2. gh_t = u_{1² -u1CumcotgβAb}(gh_t)_te = u_{1² - u1CumcotgβAb}

Messe a confronto (1) e (2) si evince che: gh_t < (gh_t)_te. Ecco perché nella teoria euleriana c'è una sovrastima dello scambio energetico.

* Reale tiene conto di fluido viscoso + perdite di carico + rilamamenti...

* La teoria monodimensionale euristica sovrastima del 20/30% la capacità di lavorare della girante.

Causa dei gradienti

• Curvatura: la velocità risulta più elevata nella zona al centro di curvatura.
• Vorticità della corrente relativa: si innesca un moto circolatorio opposto al verso di rotazione della macchina vicino alle pareti.

Stima della velocità di scorrimento

Us è legata al gradiente di pressione e influenzata da -> Z (n° di pale) β_1d (angolo costruttivo).

Formule sperimentali:

• STODOLA -> Us1 = U1 \(\frac{\pi}{Z}\) sin β_1c
• WIESNER -> Us1 = U1\(\frac{\sin β_1c}{Z \sqrt{0.7}}\)

Numero di pressione:

ψ_t = \(\frac{g \Delta h_t}{U_1^2}\) = \(\frac{U_1 (U_1 - C_{M1} cotg \beta_{1d} - Us1)}{U_1^2}\) = 1 - \(\frac{\psi}{cotg \beta_{1d} - \frac{Us1}{U_1}}\)

Si ricorda il numero di pressione eurivano

ψ_e = \(\frac{g \Delta h_{te}}{U_1^2}\) = \(\frac{U_1 (U_1 - cotg \beta_{1d})}{U_1^2}\) = 1 - \(\frac{1}{cotg \beta_{1d}}\)

η_E = ^(9u₂)_r/_u2² = ^{u_u(u_u-cotβ_u)}/_ui² = 1-γcotβ_u