Teoria monodimensionale

Meridiana e circonferenziale

Meridiana

La velocità meridiana è uniforme sulla lunghezza b cioè _∂cm/_∂b = 0.

Circonferenziale

La velocità relativa non varia lungo l'arco interpale quindi non varia la pressione _∂w/_∂θ = 0 → _∂p/_∂θ = 0.

Non vero perché il fluido deve rispettare la condizione di aderenza → la zona monol. si dimentica di questi effetti.

Da queste affermazioni si ipotizza che il fluido esca dalla macchina con la stessa direzione data dalla pala ovvero che il fluido esca dalla macchina con lo stesso angolo costruttivo della pala: β₁ = angolo di uscita del fluido, β_ub = angolo costruttivo della pala → β₁ = β_ub.

In tutti i punti della traiettoria, il fluido segue perfettamente la traiettoria imposta dalla pala / β_ub ≠ β₀.

Si ottiene avendo un numero di pale infinito (e fluido non viscoso).

Solo se z → ∞ allora _∂p/_∂φ = ∞o -esim. → sbava condotto infinitesimale. Se _∂cm/_∂b = 0 allora A₁ = 2πr₁b₁ = πD₁b₁ = sezione circonferenziale.

La velocità varia solo nella direzione del moto. La direzione del fluido è imposta dalla pala. Il modulo della velocità è imposta dalla portata c_s c_m0 = Q_V / A_M = Q_V / πD₁b₁ = Q_V/2πr₁b₁ (per il momento l’area delle pale non si considera).

Triangoli delle velocità

All'uscita: _wu = w cos β_u, C_u = w sin β, w_us = w cotg β_u, C_iu = u₁ - w₁ = u₁ - C_m cotg β_u.

Lo scambio energetico teorico usc.: (Φη_t)_E = u₁C_iu - u₂C_u2. Ma C_iu = u₁ - w₁ = u₁ - C_m cotg β_u1 = C_u1.

Da cui (Φη_t)_E = u₁(u₁ - C_m cotg β_u) - u₂C_u2 = g h_E. La componente tangenziale della velocità assoluta dipende dalla geometria della girante (β_u1, r₁, b₁), infatti: C_u1 = U_A - W_A - U_A - C_m cotg β_u.

Velocità relativa w_i: w_j = _Cmu1/^{sin β_ub} (Se e solo se β_u = β_u).

(C_u = U_A - C_m cot_up)

(Φη_t)_E = u₁C_u - u₂C_u2 = u₁(u₁ - C_mcotg β_u) - u₂C_u2.

Triangoli delle velocità all'ingresso

La componente C_u1 dipende dalla geometria. La componente C_u2 = 0 è imposta dalle condizioni della girante, si ipotizza che il fluido arrivi con un assetto assiale 0: bocca di aspirazione, 2: bordo di ingresso della pala → il fluido arriva con assetto assiale C_u0=0.

→ Nel tratto 0-2 il momento delle forze esercitate della macchina sul fluido è nullo M = r × R = ρQ(r₂C_u2 - r₀C_u0) = 0. Dal momento che non ci sono pale che alterano il fluido. Però M = R₂ R₁ − ∫_Am ρ − ∫_A2ρ (Applicazione dell’ipotesi di monodimensionalità).

M = ρ (₁₁ − ₂₂) _u2=0. (ℎ) = ₁₁ = ₁(₁ − cotg _Ab).* _u2 è imposta dalle condizioni della corrente che entra nella girante quindi (ℎ) = ₁₁ − ₂₂ = ₁(₁ − cotg _Ab) − ₂ (ℎ) = ₂ = ₁(₁ − cotg _Ab).

Triangolo delle velocità

zu₂cc_{2 2}u₂ = ωR₂R₂→ ₂ è ortogonale a u₂ perché non c’è componente tangenziale → ₂ = Q / 2 R₂D₂→ ₂ = larghezza condotto d’ingresso → D₂ = diametro all’ingresso della girante.

Ragionamento:(ℎ) = u₁(u₁ − cotg _Ab) = ωR₁(ωR_A − Q / 2 R_D)cotg _Ab in ipotesi monodimensionale: (ℎ)_e = (ω, ₁, , , _Ab) gh d (proporzionale) Fissiamo u₁, geometria allo scambio energetico ha questa forma h₂cotg _AbAb = 90°_Ab > 90°_Ba < 90°.

Triangolo di velocità all’uscita

• Triangoli di velocità all'uscita: β_b < 80°
• β_b = 80°
• β_b > 80°

Variazione dello scambio di energia al variare dell'angolo: (g h_u)_e = u₁(u₁ - C_m cot β_b) = u₁² - u₁ ^Q⁄_{π TD Ba} cot β_b.

Macchina volumetrica

Carattere autoregolante. La velocità periferica presenta valori massimi influenzati dai materiali utilizzati (Acciaio 60-65 m/s, Alluminio 300 m/s).

Adimensionalizzazione dello scambio di energia

ψ_e = ^{(g h_ue)}⁄_u1² = ^{u₁(u₁ - C_m cot β_b)}⁄_u1² = 1 - ^C_m⁄_u1 cot β_b = 1 - ¼ cot β_b.

Numero di pressione adimensionalizzato. Numero di Flusso formato indefinito → introduzione di potenza elaborato, e dimensionale. Si elimina la dipendenza dal regime di rotazione:

1. h = ƒu₁/u₂1φ
2. β_b > 80°
3. β_b = 80°
4. β_b < 80°

ψ: ^C_m⁄_u1

Grado di reazione

Lo scambio energetico si ripartisce tra energia statica ed energia cinetica secondo la relazione gi^t = c₂² - c₁² + u₂² - u₁² + w₁² - w₂² = (p₁-p₂)ⁱ + c_i² - c_t² 2 2 2 2 ρ 2.

Il grado di reazione consente di valutare l'incremento di energia statica rispetto allo scambio energetico complessivo: _r = ρt - p2 ≅ u₁² - u₂² - w₂² - w₁² gt 2 gt 2.

Nelle macchine operatrici si richiedono incrementi di energia statica superiori al 50% dello scambio energetico complessivo: _r = ρt - p2 > 0.5. Nelle macchine motrici il grado di reazione è correlato a vari aspetti, come le dimensioni della macchina, il campo applicativo e il rendimento.