Teoria completa di Meccanica delle macchine

MECCANICA DELLE MACCHINE

CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE:

Nel piano contenente un corpo rigido in moto esiste in ogni istante un punto C in cui la velocità è nulla, pertanto ogni punto del corpo rigido può considerarsi come in moto rotatorio intorno a C.

PROPRIETÀ CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE:

• Generalmente C_i non è un punto fisso, ma si sposta nel tempo
• POLARE FISSA: luogo dei punti del piano fisso che diventano successivamente centri di istantanea rotazione
• POLARE MOBILE: luogo dei punti del piano mobile solidale al corpo in movimento che diventano di volta in volta centri di istantanea rotazione
• La polare mobile rotola senza scivolare sulla polare fissa

Nel moto di puro rotolamento la polare fissa è la retta del piano fisso, mentre la polare mobile è la circon ferenza del cerchio

MECCANISMI ARTICOLATI

I meccanismi sono catene cinematiche dotate di un elemento rigido.

fissa detta TELAIO DEL MECCANISMO

Un meccanismo per essere tale deve avere almeno un grado di libertà. In senso stretto è una struttura.

MANOVELLA:

corpo collegato al telaio da una cerniera che dove il centro si eseguono rotazioni ed è possibile una totale rotazione interna al corpo.

BILANCIERE:

è la stessa cosa della manovella con la differenza che ha una rotazione limitata.

BIELLA:

corpo collegato con due cerniere ad altri due corpi immobili.

EQUAZIONE DI GRÜBLER:

x = ∑(mα-1) - 2C₁ - C₂

TIPI DI VINCOLO:

• INCASTRO: ∅ E, I, L
• CERNIERA: < E, I, L
• SLITTA: ↑ E, I, L
• CARRELLO: ↔ E, I, L

Il punto di applicazione delle forze normali e tangenziali di attrito

è il punto A (intersezione della risultante delle forze esterne con

la base di appoggio).

Forza attrito statico:

T = f₀ · N

Si può definire un cono di:

adempimento il cui asse è perpendicolare

alla superficie di contatto ed il cui

semispigolo di apertura, anche chiamato

angolo d’adempimento, è f₀.

La condizione limite di adempimento è:

=> tan f₀ = f₀

ATTRITO DI STRISCIAMENTO

L’attrito di strisciamento entra in gioco quando vi è una

velocità di strisciamento relativa tra i corpi in contatto.

=> La forza di reazione T è

definita dall’equazione:

T = f_d · N

«coeff. di attrito di

strisciamento»

Il punto di applicazione della risultante di F_u e F_r non è più sul punto nullo, perché essendo il ceppo avrebbe un momento dato da R_E e R_θ.

Si tolgono le limitazioni e i vincoli sulle forze, trattando il tamburo come un perno e il ceppo come una bielletta e utilizzando il cerchio di attrito al perno.

calcolabile dalla geometria della struttura:= H cos θ sin ε

Sul diagramma di corpo libero del tamburo va messo o la coppia frenante data da T oppure solamente la forza T ma mai entrambe!

FRENI A DISCO

In questo capitolo si fanno l'azione frenante e la pressione delle

esempio generico di struttura di una trasmissione a cinghia

RENDIMENTO:

η = \frac{C_u \omega_t}{C_m \omega_t} = \frac{(T_1 + T_2) R_2 \omega_t}{(T_1 - T_2) R_1 \omega_t} = \frac{V_x}{V_x} =

= \frac{V_0 (1 + \frac{T_1}{ES})}{V_0 (1 + \frac{T_1}{ES})} = \frac{1 + \frac{T_1}{ES}}{1 + \frac{T_1}{ES}}

Questo si può vedere tale a supponiamo il modulo elastico termo-riacceso E e la sua azione trasversale di S

Sapendo che l'allungamento della cinghia è esprimibile come:

de = de_o (1 + \frac{T}{ES}) = L• Lo (1 + \frac{T}{ES})

... v = \frac{de}{dt} = \frac{de_o}{dt} (1 + \frac{T}{ES}) = \frac{V_0 (1 + \frac{T}{ES})}{L} (1 + \frac{T}{ES})

Velocità costante con cui si: manovra la cinghia con T = 0

RAPPORTO DI TRASMISSIONE:

i = \frac{\omega_t}{\omega_2} = \frac{V_t}{R_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{V_0}{R} (1 + \frac{T_1}{ES})

\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_1 (1+\frac{T_1}{ES})}{1 + \frac{T_1}{ES}}

• RUOTE A DENTI DRITTI
• RUOTE A GRADINI
• RUOTE A DENTI ELICOIDALI

Inoltre le ruote dentate si possono distinguere da dove si trova il punto di contatto e l'arco:

• RUOTE ESTERNE:

  Poste dette posti opposti rispetto alla zona di contatto

  => Le due ruote hanno velocità angolari w opposte e quindi i _co

• RUOTE INTERNE:

  Hanno gli esari dette interne rispetto alla zona di contato

  => Le due velocità angolari w hanno lo stesso verso, quindi i _sa

RUOTE A DENTI DRITTI

Per esaminare il cinematico delle ruote dentate bisogna considerare le cosiddette SUPERFICI PRIMITIVE DEL MOTO

immaginate di due cilindri che rotolano suuto stieci (l'uno) sull'altra

RUOTE CONICHE

Per la presenza di forze tangenziali, il cuscinetto non si può più usare e per questo si devono scegliere dei supporti che consentiranno anche le forze tangenziali.

Nei motori elettrici: modellizziamo ciò con un supporto di tipo carrello e un supporto di tipo cerniera e al posto di annotazione sui piani liberi, permettiamo le forze di costituire una forza alla volta con il cilindro ruotato in senso antiorario e le forze applicate in materia.

Usate per trasmettere il moto fra assi: concorrenti e non paralleli.

In questo tipo di ruote dentate la superficie primitiva forma due coni: si è aperto e _d1 e che rotolano senza attrizione lungo la retta è.

=₁₀ = ^w₁/_w2 = ^z₂/_z1 = ^{r₂sin d₂}/_{r1sin d3} = ^r₂/_r1

EQUAZIONE DIFFERENZIALE CANONICA

x'' + (2β/ω_n) x' + (ω_n²) x = 0

istruzione

Per risolvere il sistema cerchiamo una soluzione del tipo x = e^λt con λ autovalore

λ² + (2β/ω_n) λ + ω_n² = 0

λ₁, λ₂ = ω_n (-β ± √β² - τ)

x_g(t) = ae^λ₁t + be^λ₂t

Accanto al valore di β si dividono i seguenti casi:

• β > τ

SISTEMA SOVRASMORZATO

con λ_1,2 reali e negativi

x_g(t) = e^-t[ω_n(ae^(β2-1)ω_nt + be^{(-β2-1)ω_nt}]

lim t→∞ x_g(t) = 0

• β = τ

SMORZAMENTO CRITICO

con λ_1,2 reali e coincidenti

λ₁ = λ₂ = -ω_n

x_g(t) = ae^λt + be^λt = (a + bt) e^-ω_nt

_n

ω_n = 0 ⇒ x_n → 0

La zona III rappresenta la zona di "lavoro ideale", con visibilità nulla, per questo solitamente si arriverà il più velocemente possibile, superando la zona I e rispettando la zona II!

Prendiamo ora φ.

• I ²_n =0 ⇒ γ = 0
• II ²_n =1 ⇒ γ = 90°
• III ²_n +0 ⇒ γ = 180°

Si capisce quindi che se :

• s < ω_n ⇒ la risposta del sistema è in fase con la forzante
• s > ω_n ⇒ la risposta del sistema è in opposizione di fase con la forzante
• s = ω_n ⇒ Indipendentemente da γ, la risposta si dice in QUADRATURA

⇒ La transizione tra queste due zone avviene bruscamente con il limite in γ ?

Possiamo concludere l'analisi vedendo come cambia il poligono delle forze