Meccanica Applicata alle Macchine - Teoria

Calcolo dei GDL

Consideriamo un meccanismo piano (quadrilatero articolato), vediamo dunque i gradi di libertà. Si indica con m il numero dei membri del meccanismo.

Usiamo la REGOLA DI GRÜBLER:

L = 3·(m−1) − 2·C₁ − C₂

dove L: numero GDL del meccanismo

C₁: coppie che lasciano un solo GDL

C₂: … … … due GDL

L = 3·(4−1) − 2·4−0 = 1

in un meccanismo con L = 1, basta una sola coordinata per definire completamente la configurazione del meccanismo stesso, cioè la posizione di tutti i suoi membri.

L = 3·(4−1) − 2·3−1 = 2

L = 3·(4−1) − 2·6 − 1

Il c.d.m. dell'asta compie un'ellittica circolare attorno al centro O'. Se pongo un'asta che collega O' con il c.d.m. non ottengo modelli L = 0, non aggiungo modelli inefficace.

Consideriamo un meccanismo spaziale, indicando con m ed L le solite grandezze, e con c_i le coppie cinematiche che lasciano i GDL. Usiamo la FORMULA DI KUTZBACH:

L = 6·(m−1) − 5·C_i − 4·C₄ − C₂ − 3·C₃ − 2·C₆ − C₅

Attrito volvente

In caso di corpi perfettamente rigidi in rotolamento relativo il contatto dovrebbe essere localizzato in un punto; in realtà ogni solido è elastico e quindi il contatto si ha su di una superficie finita.

Nel caso di corpi perfettamente elastici e diagrammi delle pressioni e simmetrico, mentre in realtà ci devono fattori che finano spostare in avanti nel senso di moto il centro delle pressioni di una lunghezza u e detto parametro di attrito volvente.

Le azioni di pressione equivalgono al Rn e alle coppie che si oppongono il moto M_r

Il lavoro displorato per unità di percorse ci

d_s = M_rd_s / d_s = R_nu / r

Definiamo coefficiente di attrito volvente β_r = u / r

Rendimento

Le forza applicata ai membri le distinguono in active (alcune formano lavoro positivo cioè le motrici) e altre negative cioè le resistenze utili e in vincolari cioè cui le resistenze passive cioè i componenti non ideali che dissipano lavoro.

In un determinato intervallo di tempo lì forza motrice composta in lavoro L_m, mentre le resistenze utili assorbiscono un lavoro L_u mentre L_p passivo un lavoro L_p.

(Lp-Lu=L_p(t₀+t) = E_c(t₁), = E_c(t₀) se in blu intervelle e_c = cost finnes ho un fonzionamento o demire assorbito

Detta una macchina a regime si definisce rendimento meccanico η_e = L_u / L_m con η < 1

Invece si definisce fattore di perdita le differenze 1-η= L_p / L_m

Oltre alle velocità è possibile trovare le accelerazioni dei punti del quadrilatero, supponendo che il moto della manovella _{CB AO} sia uniforme (cioè ω = cost.). L'accelerazione di B avrà la sola componente centripeta: a_B = ω² (B−A). Le accelerazioni si riportano in direzioni e verso reali. Poiché B compie un rotolamento attorno ad A il vettore ω^CB è diretto lungo _BA l'accelerazione del punto _C è esprimibile rispetto a B dalla relazione:

a_C = a_CB + ω² (CB)_N dove quella normale in intensità è a_C^N = v_B² ed è quindi nel punto _CB della prima celina: a_C^N = _{S B²}/_CB sostituendo il valore di v_CA² = ω² _CB²

Quindi a_C² si può rappresentare con un vettore KB diretto secondo _CB e di intensità: KB = _SB² /AA.

La componente tangenziale a_C^T risulta applicata in K un in gi and il segmento opp em trovato. Oltre parte anhe accelerazione a_C si può esprimere nelle sue componenti normali e tangenziali a_C = a_CO^N = a_CO^N se calcolasi rispetto del punto

+_al = _al^XB_si+^CB a_C = _A^→ Le componenti tangenziali a_C^O sarà 1 al segmento appen trovato.

I vettori a_O^O i non sono di lunghezza note KB e WA ele componenti tangenziali (lelunghezze) si nn m viegrafico facondo cambidare di lettere il _d e _CO nel punto J Eseguendo la somma grafica a_CO^T a_CO^C allegroil vettore a_C dato del segmento orientato _SA^C 

_a = ^SA/^ω2 dove: _SA = √[_WA² x _SW²]

Passiamo ora alle verifiche di flessione ed usura. Il momento M agente sul pignone =

M = P  v           [N/m]

ω

T = H =                               1000 [N]

Per la resistenza a flessione si riesumano azioni di taglio e sforzo normale. La formula

usata per le verifiche è quella di Lewis dove y =     (coefficiente di Lewis)

dove

T < σ_tm   y   m   b

Per tenere conto del sovraccarico dinamico si introduce un coeff. di riduzione delle

tensioni ammissibili, dove A è un coeff. pari a 6 per ingranaggi precisi e

S_d =       A = .6

A + v

Ricevo quindi         b >            ≥ 10 mm

T_am   S_d  y   m

Per l'usura si deve verificare tale condizione   T ≤

dove p_lim =   500   _N   per l'acciaio scelto.

Ment. fi   un coefficiente

Si ricava, dunque

b >        T                                

p²  σ_tm

Quando il valore minimo di spessore della ruota sarà    b > 19 mm

b = 19 mm

Esercizio 4 (pag 22)

• Note le cadute per via grafica velocità e accelerazioni di tutti i punti di interesse.

Svolgimento

gdp: 3(6.-1) -2. 1* -1

Iniziamo col calcolo di _vA = _vA + _vC/A in cui conosco modulo e direzione di _vA il quale risulta un vettore che va da A ad O (_vA = _vC/B) mentre conosco direzione di _vC/A (il segmento BO) e dir. di _vA/O il segmento (BA). Per trovare la velocità di C mi devo portare in un sistema di riferimento mobile solidale col membro 2. La velocità di C rispetto a questo membro sarà definita _vC/B, cioè velocità di trascinamento. Posso dunque scrivere 2 velocità in funzione delle velocità

_vC/A = _vA + _vC0/A ; _vC/B = _v0 + _vC0/B

In queste relazioni sono note _vC e _v0 totalmente, mentre è nota (verso in direzione ) il movimento permesso delle guide) e dir. di _vC/A (il segmento CA) e _vC/B (il segmento CB). La velocità di trascinamento _vC/A è necessaria avere teoriche quelle associate al C. Infatti posso scrivere che _vC^C/B, _vC/B e _vC/B in questo

formula conosco i dir. di _v(teta) che di convenzione è il movimento permesso delle guide e il dir. di _vC/A che è al segmento CO; inoltre le _vC/_C è completamente note. Proe abbiamo con un calcolo delle accelerazioni .

Come nell'esercizio precedente posso scrivere l’accelerazione di B come:

α_A = α_a + α_aI + α_A*B + α_B/A

α_A α_OA - α_OA

Della prima eq sono note α_A V_B/A in modulo e direzione e noto _{OAB O} (dir di al segmento BA) è noto ₀₈ m dir

Delle secondo equazione invece note α_B8 e B dir di BO di