Teoria meccanica delle macchine

Lezione 1

10/03/2020

Cinematica del corpo rigido

Metodo Vettoriale

• Teorema 1 Sia λ un vettore proiezione rotante nel piano di risono r e con velocità angolare w allora si ha:

                                        λ^.

d[λ] = wK x λ

         dt

Utile poiché svincola da qualsiasi sistema di riferimento

Metodo dei vettori rotanti

dF^__ = -Fsen wt

dt

-dF^{__ dt} = wFcos wt

• Il metodo dei vettori rotanti basa sul significato delle proiezioni di un vettore rotante sugli assi x e y.
• Il vettore F ruota in un piano intorno ad O con velocità angolare w.
• Le proiezioni di un vettore d^__/dt (F x F) su x e y sono le derivate delleproiezioni di F^___{__} su x e y.

Lezione 1

10/03/2020

Cinematica Del Corpo Rigido

Metodo Vettoriale

• Teorema 1 Data un vettore proiezione rotante nel piano di riferimento e con velocità angolare allora si ha:

_dn

________ = ωK

_dt

Utile perché svincola da qualsiasi sistema di riferimento

Metodo dei vettori rotanti

Il metodo dei vettori rotanti si basa sul significato delle proiezionidi un vettore rotante sugli assi x e y;

• Il vettore F ruota in un piano intorno ad O con velocità angolare ω;
• Le proiezioni di un vettore _dF o F su x e y sono le derivate delle

proiezioni di _dF su x e y

- Quindi essendo un vettore derivato per dt = ω × AF è possibile dire che il vettore derivato è un vettore di modulo ωF, ruotato di π/2 nel senso di ω rispetto al vettore F

- In modo analogo si può procedere per le derivate successive

Corpo rigido

- Un corpo è definito rigido quando la distanza tra due punti qualsiasi ad esso appartenenti NON cambia nel tempo.

Posizione del corpo rigido nel piano

- La posizione di un corpo rigido nel piano è individuata da 3 coordinate:

1. X₀, Y₀, coordinate di un qualsiasi punto P
2. Θ: angolo tra una retta orientata r, solidale al corpo, e un asse fisso di riferimento. È detta "coordinata angolare"

- Le 3 coordinate costituiscono i 3 gradi di libertà che il corpo ha nel piano

• Per la coordinata angolare ϑ si ha:
  1. ϑ≠0 ; ϑ≠0
  2. dϑ/dt = dϑ/dt = w
  3. d²ϑ/dt² = d²ϑ/dt² = ӱ

  la coordinata angolare ϑ è diversa da 0, ma

  la velocità angolare w e l’accelerazione angolare ӱ sono le stesse in qualunque sistema di riferimento

  appartenente al corpo rigido. I diversi sistemi di riferimento devono avere origine in un punto particolare del corpo ridurre se continuiamo il moto dell’intero corpo rigido

• La velocità angolare w e l’accelerazione angolare ӱ sono vettori con direzione perpendicolare il piano del moto (il verso è  _k) e viene determinato usando la regola della mano destra: è una rotazione antioraria corrisponde ad una ӱ uscente del piano del moto
• 3 Principali tipi di moto del corpo rigido
  • Moto traslatorio

ϑ = cost.

w = 0

ӱ = 0

v_A = v_B

a_A = a_B

In un moto traslatorio tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità e la stessa accelerazione

Moto rotatorio attorno ad un asse fisso

• Trasformiamo ad un'impulso puntuale → la relazione: d(L⃗₀)= K⃗ ∧ L⃗₀

• Supponiamo il corpo rigido vincolato al telaietto fisso tramite la cerniera O.Una cerniera ci permette mov.angolari e è una cerniera fissa. success. Allegato sul telaietto.Un corpo che si muove con vincol elastico può farlo conuna cerniera mobile, quindi appartemente a dello sporto del meccanismose non abbiamo contatti con il telaietto quindi sono in movimento.• Il corpo rigido in figura può da cerniera mobile la cerniera è unvincol. che permette rotaz. e messa in trabvamo.

• Il vettore posizione (P-O) e il vettore dirett. da O verso P.

Velocità

- Per il metodo vettoriale

v⃗_P = v⃗_O + v⃗_P|O = v⃗_P|O ⇒ v⃗_P = K⃗ ∧ (P-O)

M (modulo)