Struttura della materia

L

h h

ℏ ℏ

multiplo di . ovviamente essendo . Scriviamolo quindi: . E quindi, se li impostiamo uguali tra loro, abbiamo =n ℏ

ℏ = MRV

π

π

2 2

ℏ

n

e quindi . Va bene, ora inseriamo i valori per la prima orbita. Il raggio è ovviamente 0,053 nanometri, quindi essendo

= n=1

V MR −34

1,055×10 J s

per la prima orbita, potremmo dire che per la prima orbita è uguale a . Quindi, qual è la velocità di

1⋅

V −31 −9

9,11×10 kg⋅0,053×10 m

un elettrone del genere? −34 −31 −9 6 m/s.

1,055×10 J s÷9,11×10 kg÷0,053×10 m=2,185×10

Ora, quanto è veloce? Quella è 2,1 o 2,2 milioni di metri al secondo, o 2,2 o 2.200 chilometri al secondo. Wow, è come da qui a

Dallas in un attimo, da Los Angeles a Dallas. È abbastanza veloce, ma se confronti la velocità della luce, ricorda che

8 , quindi puoi vedere che è leggermente inferiore all'1% della velocità della luce. È sorprendente se pensi alla velocità

c=3×10 m/s

dell'elettrone nel nucleo di un atomo: si muove a quasi l'1% della velocità della luce. Quindi, solo per curiosità, quante volte al

secondo un elettrone viaggia attorno al nucleo di un atomo in questo modo? Va bene, sappiamo che la distanza è uguale a velocità

π

per tempo. In questo caso, la distanza sarebbe la circonferenza, che è , e la velocità che abbiamo appena calcolato. Il tempo,

2 R

ovviamente, sarebbe il periodo di una rivoluzione, e il periodo è inversamente proporzionale alla frequenza. Quindi potremmo dire

che 1 V

π , quindi possiamo scriverla così: . La frequenza, il numero di volte in cui l'elettrone fa un giro ogni secondo, è

=

2 R=V⋅ f π

f 2 R

π

uguale alla velocità divisa per , che è la circonferenza dell'orbita. Quindi sarebbe uguale a

2 R 6

2,185×10 m/s .

−9

π

⋅0,053×10

2 m π

Va bene, dovrebbe essere un calcolo interessante. Quindi dividi per 2, dividi per e poi dividi per 0,053 e alla meno 9. Fa uguale ed

15 9 12

è Hz. Wow, è un numero grosso perché è un miliardo, è un trilione. 6565. Vediamo: 6.565.000 miliardi di volte al

6 ,56×10 10 10

secondo. Quindi l'elettrone sfreccia attorno al nucleo di un atomo di idrogeno più di 6.565.000 miliardi di volte al secondo. È

abbastanza sorprendente. Va bene, cosa sarebbe la velocità e quale sarebbe la lunghezza d'onda di un elettrone nella seconda orbita,

per esempio? Quindi, per la seconda orbita, torniamo indietro e diciamo: okay, qual è la lunghezza d'onda dell'elettrone nell'orbita

più interna? Ci sono due modi per farlo. Prima di tutto, il presupposto era che l'elettrone viaggerà attorno all'orbita interna dove la

distanza di un'orbita era esattamente uguale a una lunghezza d'onda. Ancora una volta, affinché l'elettrone non interferisse in modo

distruttivo con se stesso, l'orbita di un elettrone è stata un numero intero multiplo della sua lunghezza d'onda. Quindi ciò

π

significherebbe che possiamo supporre che la lunghezza d'onda fosse uguale a . È una buona ipotesi. Beh, c'è un modo per

2 R

verificarlo. Quindi, se assumiamo che sia vero, quale sarebbe la lunghezza d'onda in questo caso? La lunghezza d'onda sarebbe

−9

π

uguale a per il raggio, che sarebbe 0,053 volte

2 10 π

metri. Quindi calcoliamolo prima. Abbiamo 0,053 e alla meno 9 per e quindi potremmo dire che questo sarebbe uguale a

2

λ nanometri. Va bene, questo è il presupposto. Ora, c'è un altro modo in cui possiamo verificarlo. Poiché conosciamo la

=0,333 h

velocità dell'elettrone, possiamo tornare alla lunghezza d'onda di De Broglie e possiamo dire che la lunghezza d'onda è uguale a mv

−34

e dovremmo ottenere lo stesso risultato. Se lo facciamo, vediamo che è vero. Quindi, questo è uguale a diviso per, e

6,626×10

−31

ovviamente sarebbero joule per secondi, divisi per la massa chilogrammi e poi per la velocità che abbiamo trovato

9 ,11×10 −34 −31

6

essere metri al secondo. Vediamo se dà per noi lo stesso risultato. Va bene, quindi diviso per e

2,185×10 6,626×10 9 ,11×10

6 λ

diviso per fa uguale e che ne dici di quella? nanometri. Quindi, non solo siamo riusciti a trovare il raggio di un

=0,333

2,185×10

atomo di Bohr, siamo riusciti a trovare l'energia di un atomo di Bohr, siamo stati in grado di trovare la velocità di un elettrone

nell'atomo di Bohr e da ciò supponiamo che l'elettrone deve viaggiare attorno al nucleo in modo tale che una lunghezza d'onda

dell'elettrone equivalga a una rivoluzione completa o un'orbita completa attorno al nucleo. E quando usiamo questo presupposto,

otteniamo questo come risultato. Allora andremo a verificare quel risultato con la lunghezza d'onda di De Broglie e abbiamo

scoperto che anche questo è vero. Quindi possiamo verificare che questa è l'equazione corretta. Possiamo verificare che un elettrone

viaggia attorno al nucleo in modo tale che una lunghezza d'onda equivale a una lunghezza d'onda completa, un'orbita, che è

assolutamente incredibile. E dato che sono fuori dallo spazio a bordo, immagino che nel prossimo video daremo un'occhiata e

vedremo quale sarebbe la velocità nelle varie orbite attorno al nucleo, ovviamente nella seconda, terza e quarta livelli di energia e

così via, e quale sarebbe la lunghezza d'onda in queste varie orbite. Questo sarà per il prossimo video.

The Bohr Atom Velocity and Radius of the Electron

In questo video

esploreremo la velocità e la lunghezza d'onda dell'elettrone nell'orbita diversa da quella più interna, come nel secondo, terzo, quarto,

quinto livello di energia. Quindi, come facciamo a capirlo bene? Abbiamo un'equazione per la velocità come una funzione del

livello di energia nel raggio dell'orbita e qui abbiamo l'equazione per il raggio in termini di livello di energia al quadrato e

ovviamente alcune variabili. Quando trattiamo con il livello di energia più interno, la velocità è uguale a questo e il raggio è uguale a

quello noto anche come raggio di Bohr. Quindi ora troviamo l'equazione per . Quindi è uguale a o dovrei semplicemente dire

v v n

1 1 1

6

uno per , quindi sarebbe una volta su e sappiamo che questo sarà uguale a

ℏ

n MR 2,185×10

metri al secondo. Va bene, quindi quale sarebbe la velocità per il secondo livello di energia? Beh, lasciatemi dire, bene, v 2

ℏ

sarà 2 volte diviso per , ma ora abbiamo un problema qui: questo sarà il raggio del secondo livello di energia e non sappiamo

M

ancora di cosa si tratta. Quindi, se è ovviamente uguale a e forse scriviamo qui, allora ovviamente sarebbe il doppio di

R R R

2 1 1

quella velocità, ma non ce lo aspettiamo perché ci aspettiamo che più vai lontano, più lenta sarà la velocità. Va bene, troviamo il

raggio della seconda orbita. Qui potremmo dire, beh, il raggio della seconda orbita, o forse prima scriveremo il raggio della prima

2

ℏ

2

⋅

orbita. Quindi, il raggio della prima orbita è uguale a e sappiamo che questo è uguale a 0,053 nanometri. Notiamo che non

1 2

M K e

c'è nessun'altra variabile che cambierà al variare del raggio. L'unica cosa che cambierà ovviamente è , il numero quantico , e tutto

n n

il resto rimarrà uguale, il che significa che sarà 4, o forse lo scriverò così: questo sarà 2 volte al quadrato

R

2 2

ℏ 2

M K e

e questa quantità qui è uguale al raggio di Bohr. Ciò significa che sarà uguale a quattro volte 0,053 nanometri. Quindi ciò significa

che il raggio ora è quattro volte il raggio originale, il che significa che il raggio della seconda orbita è quattro volte il raggio della

prima orbita. Inseriamo quel numero qui. Potresti dire che è uguale a due volte su per quattro e poi, se scrivo in modo

ℏ

v r

m

2 1

ℏ ℏ

leggermente diverso, posso dire che questo è uguale a due su quattro per su per e su sono uno proprio qui, è uguale a

r

m m

1 6

questa quantità proprio lì. Quindi potremmo dire che questo è uguale a uno - mezzo metri al secondo. Quindi, quello che

2,185×10

possiamo vedere qui è che la velocità dell'elettrone nella seconda orbita sarà solo la metà della velocità dell'elettrone nella prima

orbita e il raggio della seconda orbita sarà 4 volte il raggio della prima orbita. E allo stesso modo, se continuiamo, possiamo vedere

che è uguale a 3 volte al quadrato

R

3 2

ℏ 2

M K e

e ovviamente questo è uguale al raggio di Bohr. Ok, guarda qui che per la terza orbita è 9 volte 0,053 nanometri. E quale sarebbe la

ℏ

velocità nella terza orbita? Ok, diciamo che è uguale a 3 volte su volte 9 perché nella terza orbita è 9 volte il raggio della

v r

m

3 1

ℏ ℏ

prima orbita. E quindi potremmo dire che è pari a 3 su 9 volte su e ovviamente su che è il raggio dell'atomo di Bohr per

m r m r

1 1

6

l'orbita più interna. Quindi questo è uguale a 1/3 volte 0, quindi 1/3 per metri al secondo. Quindi, quello che stiamo

2,185×10

scoprendo qui è che se ci allontaniamo ulteriormente dall'orbita più interna, la seconda o la terza orbita e così via, la velocità sarà

1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 e così via, e il raggio sarà 4 volte il raggio iniziale, 9 volte il raggio iniziale e ovviamente il successivo sarà 16

1

volte il raggio originale, 25 volte il raggio originale e così via. Quindi, ancora, quello che possiamo dire è che è uguale a e il

V V

n 1

n

2

raggio sarà . Ed è così che troviamo il raggio e la velocità dell'elettrone, o dovrei dire la velocità dell'elettrone e il raggio nei

n R

R

n 1

vari livelli energetici dell'atomo di idrogeno. E poi, nel prossimo video, penso che quello che dovremmo fare è trovare i livelli di

energia, i livelli di energia effettivi in elettronvolt delle varie orbite e quindi sarebbe un'ottima soluzione. Riassunto: In questo testo,

si esplora la velocità e la lunghezza d'onda dell'