Struttura 1

Radiazione del corpo nero

In generale qualsiasi oggetto ad una determinata temperatura emette luce, c'è una correlazione tra la temperatura di un oggetto e la radiazione emessa.

Qual è la correlazione tra temperatura e spettro di frequenze emesse?

Un oggetto emette luce in un certo spettro di emissione, calcolando l'integrale emessa dal corpo. Da ciò si può calcolare la radiazione ovvero l'energia totale emessa dall'oggetto per unità di tempo e di area:

M(T) = ∫ M_ν(T) dν

È l'integrale esteso su tutto lo spettro della radiazione emessa per ogni singola frequenza, quindi la quantità di energia emessa per unità di tempo di area.

In generale possiamo definire altre 2 quantità: f_ν(T) e α_ν(T) = 1

La frazione di radiazione riflessa (P) e la frazione assorbita (A). L'oggetto in equilibrio termico con l'esterno, quindi si suppone che le onde di emissione emesse sotto forma di fotoni siano identiche e costanti. La somma dei due termini deve essere normalizzata sulla unità totale, poiché l'energia totale così si conserva.

Un corpo nero è un corpo per cui: f_ν(T) = 0, quindi assorbe e rimette qualsiasi frequenza. α_ν(T) = 1

Il calcolo della radiazione del corpo nero diventa. M_b(T), non teniamo conto della frazione di radiazione riflessa, tutta la luce viene assorbita e questa viene re-emessa. Questo perché è calcolata tenendo conto di quanto l'energia assunta viene rilasciata.

Possiamo definire la grandezza: ε_ν(T) = M_ν(T) / M_b(T) Serve per studiare il comportamento di un corpo, un oggetto qualsiasi, in relazione al comportamento di un corpo nero.

Il modello del corpo nero

Possiamo rappresentare il corpo nero come una cavità che contiene un gas continuo di radiazione elettromagnetica, a seconda dell'energia della particella che compone questo gas, l'energia può entrare e prossima uscire dalla radiazione emessa. Secondo frequenza presente, emettibile a una certa energia ad una certa frequenza, e avrà una certa probabilità di uscire dalla cavità.

Kirchhoff stabilì empiricamente: M_ν(T) / α_ν(T) = M_ν(T) (costante)

L'apporto tra la radiazione di un oggetto incandescente e il suo assorbimento è proporzionale ad una certa costante universale, la radiazione di un corpo nero.

Stefan stabilì empiricamente: H_ν(T) ∝ T⁴

Boltzmann dimostrò teoricamente: M_ν(T), M_ν(T) dν = σ T⁴ 6.66 × 10^-8 W/m² K⁴

La radiante di un corpo nero ad una data temperatura è definita sull'integrale di tutte le frequenze emesse è uguale a σT⁴ dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann. Ti permette di calcolare l'energia emessa in questo posto e c'è la relazione tra l'energia assorbita da un corpo nero e la sua temperatura.

Relazione tra variazione del sistema e spettro di frequenze emesse

Se il corpo nero è a una temperatura T₁, ci sarà una certa distribuzione di frequenze emesse, scaldando l’oggetto a una temperatura T₂. Si osserva che ci sarà un’altra distribuzione di frequenze emesse, in particolare aumentando una temperatura, la frequenza di emissione si sposta verso energie più alte. Lo schema è rappresentato dal grafico in funzione della lunghezza d'onda λ, cresciuta come opposto.

Wien ha proposto come modello che ci fosse una correlazione lineare tra la temperatura e la lunghezza d’onda massima di emissione del corpo nero

λ_max x T = 2,898 x 10^-3 m/k

Questa relazione funziona solo per un certo range di temperature

Planck riprende il modello di corpo nero, che formalizzata si può sovrapporre:

M_V(T) = c / 4 U_V(T)

La radianza del sistema si può scrivere come un prefattore moltiplicato per la densità di radiazione elettromagneticacontenuta nella cavità. La radianza del sistema è proporzionale alla temperatura e frequenza

Nel idea di Planck non tutta la radiazione elettromagnetica può essere contenuta nella cavità: solo determinate frequenze di oscillazione possono sopravvivere nella cavità. Sotto questa ipotesi, si calcola UV. Si rappresenta con:

U_p(T) = N_V / V < E >

La densità di radiazione è determinata dal numero di modi risonanti con la cavità che riescano nella cavità diviso il volume della cavità moltiplicata per l’energia media di questi modi. Questo ci dice che il corpo nero non è rappresentabile con un corpo solido, oggetti in movimento che oscillano e scambiano energia con l’ambiente, ma enti distinti in oggetti fermo veri portabili di questa interazione che Planck calcolava in maniera indispendente.

^K / _N =

Per calcolare N_V dobbiamo calcolare N_V perché vogliamo studiare la radiazione con un sistema con un una specifica frequenza vero calcoliamo il numero di modi N_V in un certo intervallo di frequenze λ_V che poi riempivano l’internovo della cavità, la distanza tra questa configurazione è detta densità statistica di quella massime. Siano una condizione di risonanza. Visto che la forma del corpo nero non ha nessun ruolo in questa analisi, possiamo scegliere qualsiasi forma cubo

Effetto fotoelettrico

Supponiamo di avere un circuito

Se applichiamo una DDP non osserviamo nessuna corrente. Fino a che il fotocato (cipolla) con un sogno luminoso di frequenza sufficientemente alta, breve di un’energia sufficientemente alta.

Quando inseriva un corrente o il circuito e quindi di alla pianta metallica e vol sul pianta, di policato positiva e abbiamo i passaggi di covure.

Possiamo rappresentare graficamente questo comportamento:

Sotto ad una certa frequenza non c’è passaggio di corrente, richiama con un’energia di soglia.

Superata la frequenza di soglia la corrente inizia a fluire nel sistema.

Aumentando l’intensità del fascio la corrente nel sistema non aumenta. Una frequenza più elevata invece ir estraggono più elettroni e la corrente aumenta.

Se il fotone ha un'energia sufficientemente alta può estrarre un elettrone nella piastra, e possiamo scrivere l’equazione:

hν = We + K_max

We = energia di estrazione dell’elettrone

K = energia cinetica dell’elettrone dopo l’estrazione

Aumentando l’intensità del fascio

与 fotoni hanno sempre la stessa frequenza non cambia l’energia cinetica degli elettroni (K) perché ogni fenomeno di estrazione è quantizzato. Quindi avremo più elettroni ma tutti uguali tra di loro.

Se invece utilizziamo una frequenza più alta, che rimarrà sempre uguale specifici al materiale, e aumenterà quindi l’energia cinetica.

Dobbiamo scrivere l'Hamiltoniano del sistema.

L'Hamiltoniano è un'equazione nello spazio della fase, e descrive tutti i termini che concorrono a determinare l'energia del sistema.

I rapporti di fase sono gli spazi in cui le coordinate sono le variabili dinamiche del sistema, dove lo spazio delle fasi sono le coordinate spazio-tempo.

L'energia totale del sistema è data dal termine cinetico e potenziale:

E = K + V = 1/2 mv² - Ze² / 4πεr

Questa equazione è l'Hamiltoniana del sistema.

Riprendendo le equazioni scritte prima possiamo scrivere:

F = mv² / r = Ze² / 4πεr²

Sostituiano nell'Hamiltoniano:

E = (1/2) mv² + 1/2 Ze² / 4πεr - Ze² / 4πεr

Questa è l'energia dell'elettrone in orbita attorno al nucleo.

L'energia è negativa: è l'energia di legame. Per togliere l'elettrone devo fornire energia al sistema (energia di ionizzazione).

L'ipotesi di Bohr è che il momento angolare associato al moto dell'elettrone possa essere solo un multiplo intero della costante di Planck diviso 2π:

l = nh/2π = n ℏ

Sostituendo otteniamo:

v_nu = nh/2πrM

Se il momento angolare è funzione di "n" allora anche r sarà funzione di "n".

E l'espressione del raggio dell'n-esima orbita dell'atomo idrogenoide di Bohr:

Di conseguenza possiamo trovare il valore dell'n-esima energia.

(Em_n - E₀) = m_e / n² m_e

E₀ = m_e (σl² / 4πε ) / ℏ²

All'allargarsi delle orbite, quindi al crescere di n, le energie diminuiscono. E₀ è una costante.

Possiamo prevedere la serie degli stati di transizione permessi nell'atomo.

Infine questa espressione ci dice che n=0 non esiste, il primo livello è n=1 ed è lo stato fondamentale del sistema.