Serie di Taylor, di Fourier e integrali doppi

La scrittura significa “è approssimabile con” (o “è rappresentabile da”, se la serie

f

converge a ), mentre n controlla il numero di onde nel periodo.

T ≠ 2π

Variante (periodo ):

Per funzioni di periodo qualsiasi T, si usa la forma generalizzata:

( ( ) ( ))

∞

a 2π n 2π n

0 ∑

f (x) ∼ + a cos x + b sin x

n n

2 T T

n=1

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a b

Come si Calcolano i Coefficienti e ?

n n

Sono dati da formule integrali: π

1 ∫

a = f (x) d x

Termine Costante:

- 0 π −π π

1 ∫

a = f (x)cos(n x) d x

Coefficienti del Coseno:

- n π −π

π

1 ∫

b = f (x)sin(n x) d x

Coefficienti del Seno:

- n π −π

Queste formule sfruttano l’ortogonalità di seno e coseno.

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Come si Costruisce una Serie di Fourier?

f

La funzione deve essere: [−π, π]

- Limitata e integrabile su un periodo (ad esempio );

- A tratti continua (cioè può avere salti, ma non in nite oscillazioni);

- Può anche non essere derivabile.

Queste sono dette Condizioni di Dirichlet.

fi

Cosa Succede alla Serie?

f (x) f (x)

- Se è continua: la serie di Fourier converge esattamente a in quel punto.

lim S (x) = f (x) S (x) N

dove è la somma dei primi termini della serie di Fourier.

N N

N→∞

Quindi: nessun errore di approssimazione, la serie "rappresenta" la funzione

perfettamente nel punto.

f (x) x

- Se ha un salto in : la serie non converge al valore della funzione in quel punto.

1 ( )

+ −

lim S (x) = f (x ) + f (x )

Converge invece alla media dei limiti destro e sinistro: N 2

N→∞

Se la funzione salta da 1 a -1, la serie in quel punto convergerà a 0. Questo vale sempre,

indipendentemente da quanto è grande il salto;

Effetto Gibbs:

Quando una funzione ha un salto, la serie di Fourier oscilla vicino al punto di discontinuità,

e queste oscillazioni non si cancellano del tutto, anche prendendo molti termini della serie.

Questo fenomeno si chiama effetto Gibbs. N → ∞

- L'ampiezza dell'oscillazione tende a ≈ 9% del salto, anche per ;

- Le oscillazioni diventano più strette, ma non spariscono.

La serie di Fourier "vede" che c’è un salto, ma non riesce mai ad approssimarlo

perfettamente con onde continue. Risultato: ondeggiamenti localizzati.