Serie di Fourier

Serie di Fourier

Le serie di Fourier appartengono alla famiglia delle serie trigonometriche, che sono delle funzioni del tipo:

n∑( ) ( ) ( )=a + [a +b ]s x cos kx sin kx_n 0 k k_k=1

Le serie di Fourier nascono invece da una considerazione, ovvero:

f 2 π f“Data una funzione-periodica, esiste una serie trigonometrica di cui sia la somma?”

Se avviene, allora si dice che la serie è sviluppabile in serie di Fourier, di conseguenza si avrà che:

+∞a ∑0( ) ( ) ( )+ [a +b ]f x cos kx sin kx_k k₂ n=1

Formule di calcolo dei coefficienti

Dove:

• π1 ∫ ( ) ( )=a f x cos kx dx_k π −π
• π1 ∫ ( ) ( )¿ =b f x sin kx dx_k π −π

Mentre è data da:

0π1 ∫ ( )=a f x dx₀ π −π

( ) =0=1 kcos kx Siccome quando.

Le relazioni precedenti possono essere scritte in termini dell’esponenziale complesso nel seguente modo:

+∞∑ ^ ikx( )(f x) f k e−∞

Dove: π1 ∫^ −ikx( )= ( )f k f x e dx₂ π −π

Relazioni tra forme reale e complessa

Le relazioni che legano le due forme (reale e complessa) sono le seguenti:

• a^ 0( )=f 0 2{ 1^ ( ) = (a −ib )f k k k₂, k ≥1
• 1^ (−k )=¿ (a +ib )f k k₂

E viceversa:

• ^=2 (0)a f₀{ ^ ^( )+= (−k )a f k f , k ≥1_k
• [ ]^ ^( )− (−k )¿ =ib f k fk₂ π

Funzioni T-periodiche

In generale si valuteranno funzioni -periodiche, ma può capitare di avere una funzione T-periodica, ∈T R, in tal caso si deve valutare le formule per i coefficienti di Fourier per un generico periodo T:

2 ∞a 2 π∑ [ ]0 ( )+ +b (ωkx)a cos ωkx sin , ω=k k₂ Tk=1

Dove:

• T2 ∫ ( ) ( )=a f x cos ωkx dx_k T 0
• T2 ∫ ( ) ( )=b f x sin ωkx dx_k T 0₂ π

Di seguito verranno considerate prevalentemente funzioni -periodiche, eventualmente generalizzando alcune relazioni per le funzioni T-periodiche.

Teorema sulle proprietà delle serie di Fourier

Segue un importante teorema che delinea alcune proprietà delle serie di Fourier:

Teorema (1)

∈Vf; a, b S ffHip. Sia i coefficienti di Fourier di, mentre è la n-ima somma di Fourier_{k k} nf di. a₂ 2(¿¿ +b )_{k k} n_a

Th. (1);∑0 + ¿2 _k=12‖ ‖ =&