Serie di Fourier

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∈Vf ; a ,b S ffHip. Sia i coefficienti di Fourier di , mentre è la n-ima somma di Fourierk k nfdi . a2 2(¿¿ +b )k k2 naTh. (1) ;∑0 + ¿2 k=12‖ ‖ =π ¿S fn 2 2‖ ‖ ‖ ‖ ∀<+S f ≤ f ∞, n ≥0(2) (Disuguaglianza di Bessel);n∞∑ ( )2 2+b <+∞a(3) ;k kk=1a , b → 0, k → ∞(4) (Lemma di Riemann-Lebesgue);k k ≤ n , S f(5) Tra i polinomi trigonometrici di grado è quello che rende minima la distanza dan‖ ‖ ∈V−ff ff , cioè minimizza al variare di ;n n nS f f(6) Lo scarto quadratico medio tra ed è dato da:n [ ]2 π 2 π 2 ∞a∫ ∫ ∑2[ ] ( )2 0 2 2( )−S ( ) ( ) + +bf x f x dx= f x dx−π an k k2 k=10 0Da questo segue un altro importante teorema che darà luogo ad una fondamentale equivalenza.Teorema (2)a , b , S f∈Vf ,Hip. Sia e come sopra.k k n‖ ‖−Sf f →0 n → ∞Th. per , cioè:n[

²π ²∞a∫ ∑ ( )² 0 ² 2( ) + +bf x dx−π a →0 , n → ∞k k² k=10 Come si può notare, non si sta valutando il concetto di convergenza fatto precedentemente, ma bensì quello di “convergenza in media quadratica”. Segue immediatamente da questo teorema, la cosiddetta “Uguaglianza di Parseval”: ²π ²∞a∫ ∑ ( )² 0 ² 2( ) + +bf x dx=π ak k² k=10 Tale uguaglianza, denominata a volte anche come: “Identità di Parseval”, nel caso di funzioni T-periodiche assume la seguente forma: ^T 2 ∞aT∫ ∑ ( )² 0 ² 2( ) + +bf x dx= a k k² 2 =1k0 f Abbiamo finora valutato sempre gli stessi estremi di integrazione, ma essendo una funzione periodica, la sua integrazione dipenderà esclusivamente dal suo periodo: a+T T∫ ∫( ) ( ) ∀ ∈f x dx= f x dx , a Ra 0 D’altronde una funzione periodica in un generico punto assumerà sempre lo stesso valore al variare

delf : R → Rperiodo T, di conseguenza l'integrazione di una funzione periodica nel suo intervallo diperiodicità assumerà sempre lo stesso valore equivalente all'area sottesa dal grafico (al limite con segno, nelx< 0caso in cui: ). Questa valutazione ci permette di poterci ricavare i coefficienti di Fourier in manierapiù simmetrica:π1 ∫ ( ) ( )=a f x cos kx dx ;k π −ππ1 ∫ ( ) ( )=b f x sin kx dx .k π −π fL'utilità di questa forma risulta evidente nel caso in cui presenti qualche forma di simmetria (cioè siapari o dispari), infatti:f Se è pari:π π1 2∫ ∫( ) ( ) ( )= (kx )dxa f x cos kx dx= f x cos ;k π π−π 0π1 ∫ ( ) ( )=b f x sin kx dx=0 ;k π −πf Se è dispari:π1 ∫ ( ) ( )=a f x cos kx dx=0 ;k π −ππ π1 2∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )=b f x cos kx dx= f x cos kx dx .k π π−π

Convergenza: Adesso andremo nello specifico delle serie di Fourier, analizzandone i contesti in cui si ha, o meno, convergenza. Per prima cosa ci occorre definire il concetto di "funzione regolare a tratti": Definizione (1): "Regolarità a tratti" Una funzione f: [0, T] -> R è detta "Regolare a tratti" se esiste una suddivisione 0 = x0 < x1 < ... < xn = T tale che, per ogni i = 0, ..., n-1, esistono finiti i limiti: lim f(x) quando x tende a xi da sinistra, lim f(x) quando x tende a xi da destra. In sostanza una funzione è regolare a tratti se, sia a sinistra che a destra di ogni punto di suddivisione, risultano essere generalmente continue, ovvero se sono verificate le condizioni esplicitate in precedenza. Data tale definizione, si

Il seguente teorema può essere enunciato come:

Teorema (3): "Convergenza puntuale"

Sia f: [0, T] → R una funzione regolare a tratti. Sia x ∈ [0, T] un punto di discontinuità di f. La serie di Fourier di f converge al valore medio tra il limite destro e il limite sinistro di f in x, cioè:

lim_n→∞ Sn(f, x) = (f(x⁺) + f(x^-))/2

dove Sn(f, x) è la somma parziale della serie di Fourier di f in x.