Schemi Sistemi di servizio e simulazione 23/24

Recap Serie

1. Serie esponenziale

e^x = _k=0^∞ x^k/k!

2. Serie binomiale

(n k) = n! / k! (n-k)!

• Forma: _k=0^∞ (n k) x^k = (1+x)ⁿ
• Risultato: _k=0^∞ (n k) x^k = (1+x)ⁿ → converge se -1<x<1

3. Serie geometrica

• Somma: _k=0^∞ x^k = 1-xⁿ⁺¹ / 1-x
• Infinita: _k=0^∞ x^k = 1 / 1-x → converge se -1<x<1

4. Serie armonica

• _n=0^∞ 1/n → diverge
• Generalizzazione: _n=0^∞ 1/n^α → converge se α>1

Criteri:

1. Confronto

   Date due serie _n=0^∞ a_n e _n=0^∞ b_n e supponiamo 0 ≤ a_n ≤ b_n. Viene, allora:

   • Se _n=0^∞ b_n converge, allora converge anche _n=0^∞ a_n
   • Se _n=0^∞ a_n diverge, allora anche _n=0^∞ b_n diverge

2. Radice

   Data la serie _n=0^∞ a_n, supponiamo esista lim _n→∞ √a_n = L. Allora:

   • Se L < 1, allora la serie converge
   • Se L > 1, allora la serie diverge
   • Se L = 1, allora non si può dire nulla

3. Rapporto

   Data la serie _n=0^∞ a_n, supponiamo esista lim _n→∞ a_n+1 / a_n = L. Allora:

   • Se L < 1, allora la serie converge
   • Se L > 1, allora la serie diverge
   • Se L = 1, allora non si può dire nulla

Esempio Ver di Code (aree)

1. Disegnare la rete con le informazioni del problema
2. Specificare che la rete è una rete di Jackson Una rete di code aperta si dice rete di Jackson aperta se ogni arrivo dall'esterno dice che un nodo della rete sono processati di parametro λ_i, con λ>0 per almeno un i, tempo di servizio di ciascun server degli m server presenti ad ogni nodo i sono independent e distribuiti esponenzialmente di parametro μ_i, e probabilità che un utente che ha completato il servizio al nodo i si reciti presso il successivo nodo j (probabilità di routing) è pari a p_ij ed è indipendente dallo stato del sistema *
3. Scrivere P. sistemata di n.f.

f_i=i=0, n^Pi

4. Calcolare ρ e verificare che ρ