Schemi Macchine Sistemi Energetici

Macchine e Sistemi Energetici

Principi Fondamentali

- Sistema Chiuso:

I principio: δQ + δL = ΔU, ma anche: δq + δl = du

Per stati quasi-stazionari δL = - p·dv

Entropia ds = δq/T ⇔ REV; se IRR ds = δq/T + δL_W/T

⇒ du = T·ds - p·dv

- Sistema Aperto:

Ipotesi:

• flusso stazionario
• flusso monodimensionale

Considero una massa di controllo come se avessi un sistema chiuso:

Applico il I principio:

δQ + δL = ΔE_cn con E = E_cv + E_fer + E_in e ΔE_cm = E_cm^t+dt - E_cm^t

con

• t E_cm = E_cv + Σm_i·ei
• e E_cm^t+dt = E_cv^t+dt + Σm_o·eo

quindi: ΔE_cm = E_cv^t+dt + Σm_o·eo - E_cv - Σm_i·ei

Applico Taylor:

E_cv^t+dt = E_cv + dE_cv/dt · dt + ...

E_cv^t+dt - E_cv^t = dE_cv/dt · dt

Sost:

δQ + δL = dE_cv/dt · dt + Σm_o·eo - Σm_i·ei | cons. energia sist. aperto

poiché STAZIONARIO; vale pr. di cons. della massa (Σm_o = Σm_i)

δQ + δL = Σm (eo - ei) con δL = δL_are + δL_pot.

Lavoro di pulsione:

L_pol = p_i · A_i · dx_i - p_u · Au

dove L_pol = p · dV = p ·^ṁ/_ρ · dt

sot: ε diviso per dt

LQ + L_pol + p_i

dt ε diviso per la ṁ:

q + L_pol +

con h = u +

quindi:

(v₂²)/2 + gz₂ + h₂

+ q₂ + (v²₂)/2 + gz₂ + h₂

CONS. ENERGIA SISTEMA

APERTO STAZIONARIO

Se esplicitano gli aspetti tecnici dell' scambio - energetico,

mentre disimpartita (contenuta in h).

Volendo definire lo consv. dell' ENERGIA esplicitando le perdite

meccaniche si considera:

Tds = pdv + dv

per sist. aperto: Tdt =

=> Tdt = du - ∫vdp

quindi:

q + ∫l_w = dh

1∫q + ∫l_w =

; esplicito resp. a q e not sopra:

=> el - lw = (v₂²

(con ρ incomprimibile)

Angoli:

β: angolo tra u e ω

α: angolo tra u e v

Parte comp. MERIDIANA (assiale) si conserva:

 l = _{vt² - vr²} / 2 - _{ω2² - ω1²} / 2 > 0

         +            +

           se operatrice

 (1 - 2 se motrice)

 oppure l = u₂v₂t_m - u₁v₁t_m

Esercizi OSS:

h = c_p . T  (entalpia)

ᵐ = ρ . A . V  con  ρ = P / R^*T  (portata)

ᵐ_c = _Q / _Hi  (portata comb.)

A₁V₁ = A₂V₂  (conservazione massa)  con  V̇ = A . v

SIMILITUDINE IDRAULICA:

Teoria della similitudine idraulica: se valgono le 3 tip. di sim. geometrica, cinematica e fluidodinamica allora le due macchine sono simili e hanno lo stesso rendimento (due macchine che hanno lo stesso rendimento non sono simili).

• GEOMETRICA: le dim. sono in rapp. cost. traloro

_{fattori di scala} ^d = ^D/_D', ^d' = ^S/_S' quindi S ≈ D²

• CINEMATICA: comp. tri. vel. in rapp. cost.

_{fattori di scala} β = ^v/_v' = ^u/_u' = ^ω/_ω'

OSS: gli angoli α e β sono uguali a α' e β'

• FLUIDODINAMICA: quando operanoallo stesso regime
• ^{Re = Re'} = ^p.U.D/_μ = ^U.D/_ν Forza inerzia
• Forza attrito = ^Fi/_Fa = ^Fi'/_Fa'

Dim: bisogna avere lo stesso rendimento:

γ = γ'

⇒ ^ghu/_l = ^ghu'/_l'

Dati i fattori di scala d e β posso relazionarli al l cosi:

l = u₂·v₂·cosα₂

⇒ l = m·v

⇒ l/^l' = u·v/^u'v' = β·β = β²

Penso alla portata analitità:

^V'/_V' = ^J'·S/_J'·S' = β·α²

quindi se voglio γ = γ'

⇒ ^γ'/_γ' = 1, devo dim:

^h/_l = ^h'/_l' → ^l'/_ŋ

^h'/_h = ¹/_β²

Caso REALE:

- la W₂ porta minore di W₃, a causa degli attriti nella pala:

W₂ = Ψ W₃ con Ψ coeff. ADDUTTIVO

- la V_i ass. minore di quella di Torricelli per le perdite nei condotti, nel ugello e per l’aria in ingresso pala.

v_i² = μ v_t²

quindi:

ℓ = ( v_t²−l² ) ( 1 + 4Ψ cos β₂ )

mentre: γ = ^{μ ( v_t−l )2}/_{2Q² μ/ vt²} = 2Q² μ/ v_t² ( 1− μ/ v_t² ) ( 1 + Ψ cos β₂ )

OSS: nel caso ID: Q = Ψ = 1

Si def., un coeff. di velocità periferica K_t:= μ / v_t²; equ. quadr.

ti ca con quadrato negativo: ho il

MAX localizzato a metà, quindi

^υ₁/_υ1 condizioni → υ₁ MAX

w₁ = u

γ_υ^ID = ^{1+ cos β₂}/₂, γ_υ^R = φ^{2 1+ Ψ cosβ₂}/₂

OSS: - γ dipende solo delle velocità u e v_t.

- γ_ID = 1 solo se β₂ = 0 quindi v_Σ² = 0 ( tutta l’eur. cinetica

è stata convertita → cond. difficile poiché va annullata

la portata).

- Nella realtà la cond. di getto ⟂ alla pala non vale sempre

quindi avrò il MAX per valori di 0,48/0,49.

- Se v₁ = u ⟹ non ho interazioni tra pala e fluido

(velocità di fuga)

Def. Potenza all’albero:

P_alal:= ṁ l· ρ · V ⱽ g_hm · γ_υ ≈ v_i · γ_υ

≈ ^{2 Q2· v_i}/_vt²· ( 1− μ/² ) (1 + Ψ cos β₂)

DIFFUSORE:

condotto a sezione crescente verso verlocita uscita. Essenziale per le turbine a reazione: questo diminuisce l'energia cinetica all'uscita, quindi ν₂ l e questo aumenta il salto utile; inoltre si ha una riduzione di P in senso inverso ovvero si dim. la P nella flangia di mandata (scarico).

OSS:

c'è il rischio di cavitazione per l P. Quindi metto il diffusore per avere salto ↑ e vario il livello geotetico della T verso il basso per non avere troppa l di P, anche sotto il livello del bacino di scarico.

Bilancio tra sez. di partica B e aerolata 2:

p_Bρg + z_B+ ν_B²2g = p₂ρg + z₂+ ν₂²2g + γ perdite diff.

cond. cavitazione: p_ATM = p_v + p_sol = p_B

p_v + p_solρg = p_ATMρg + z₂+ ν₂²2g + γ - z_B- ν_B²2g

⇒ z_B- z₂|_max = p_ATM - p_v- p_solρ⋅g + ν₂² - ν_B²2g + γ perdite aiutano ad avere meno cavitaz. (F POMPE) ma vanno controllate o penalizzo salto motore

OSS:

z_B- z₂|_max = p_ATM - p_v- p_solρ⋅g- σh⋅u con V; coeff. di THOMA