Schemi Matematica per l'economia 1

Continuità

Def. Sia f: Δ ⊂ R → R, A ⊂ Δ, f si dice continua in x₀ se &lim;_x→x0 f(x) = f(x₀),

cioè f è continua in se ∀ε > 0 ∃δ > 0 t.c. ∀x ∈ (x₀-δ, x₀+δ) ∩ A si ha |f(x)-f(x₀)| < ε.

Def. Sia f: Δ ⊂ R → R si dice continua su A se è continua in ogni punto di A.

→ Se f non è continua in un punto x₀ ∈ A allora è discontinua in x₀.

→ 2 tipi di discontinuità: 1) discontinuità eliminabile se &lim;_x→x0^- f(x) = l = &lim;_x→x0⁺ f(x) con l ∈ R

2) No discontinuità non eliminabile se &lim;_x→x0 f(x) non esiste o esiste infinito.

Funzione di Dirichlet

(es. funzione non continua)

Def.

L’insieme delle funzioni continue su [a,b] si denota con C[a,b], l’insieme delle funzioni continue su A ⊂ R si denotano con C(A).

Teorema 1:

Siano f,g continue su Δ ⊂ R allora 1) αƒ + βg è continua su Δ ∀α,β ∈ R

2) ƒ⋅g è continua su Δ 3) ^ƒ⁄_g è continua su A.

Teorema di permanenza del segno

Sia f: [a,b] → R continua. Sia c ∈ (a,b) t.c. f(c) ≠ 0 ∀ allora esiste δ > 0 t.c. f(x) > 0

∀x ∈ (c-δ, c+δ) ∩ (a,b) analogamente se f(c) < 0 esiste δ > 0 t.c. ∀x ∈ (c-δ, c+δ) ∩ (a,b).

In altre parole se f(c) ≠ 0 esiste un intorno di c in

Dim Supponiamo f(c) > 0

Per il "teorema di permanenza del segno per i limiti" si ha che esiste un intorno di (c-δ, c+δ)

+f_x ∀x ∈ (c-δ, c+δ) ∩ (a,b),

Siccome f(c) > 0 la tesi è dimostrata.

Teorema di esistenza degli zeri

Sia f: [a,b] → R continua.

Se ƒ(a)βƒ(b) < 0 allora esiste c ∈ (a,b) t.c. ƒ(c) = 0.

Dim. Possiamo supporre che f(a)f(b) < 0.

Definiamo c come sup {x ∈ (a,b) t.c. ƒ(x)≤0}=Sup A.

Supponiamo per assurdo che f(c) > 0.

Siccome ƒ è continua in c ƒ ha segno ƒ(x) = ƒ(c) >0

S>A <0. ∀ x ∈ (c-δ, c+δ) ∈ R.

Supponiamo per assurdo che f(c) ≤ 0 applico il teorema di permanenza del segno

∃ δ > 0 t.c. ∀x∈(c-δ, c+δ) ≤ 0 Siccome ƒ(x) ≤ 0

∃ ^c-δ⁄₂ <0 c∈A Assurdo!!perchè c è il maggiorante.

Teorema dei valori intermedi

Sia f: [a,b] → R continua, e siano m = inf ƒ(x)_[a,b] e m = inf ƒ(x)

Dim. ƒ assume tutti i valori compresi tra m = inf ƒ(x) e M = sup ƒ(x)_[a,b].

∀ v t.c. m = inf ƒ(x) ≤ v ≤ M = sup ƒ(x) ∃ c ∈ [a,b] t.c. ƒ(c) = v.

Dim. Sia n < n ≤ n &l _f(n) t.c. v₂ e f(x)_a⟶b g( n)_2m

g(t^[a,b]) = m = m = ℜ = ℜ e

Sappiamo che ∃ c ∃ c ( n_x