Prima parte Schemi Matematica 1

INSIEMI

Def. Un insieme A ∈ ℂ si dice finito se è vuoto oppure se esiste un numero n ∈ ℕ , n≥1 t.c. gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri {1, 2, 3, ..., n}.

Def. Due insiemi hanno la stessa cardinalità (o potenza) se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi.

Def. Un insieme si dice infinito se non è finito.

Def. Un insieme è numerabile se A è infinito e ha la stessa cardinalità di ℕ.

Def. Un insieme è al più numerabile se è finito o numerabile.

Teorema: L'unione di insiemi numerabili è numerabile.

Il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile.

Ogni sottoinsieme proprio infinito di un insieme numerabile è numerabile.

Def. Un insieme ha la potenza del continuo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con ℝ.

VETTORI

• Somma: x+y = (x₁+y₁,x₂+y₂,...,x_n+y_n)
• Prodotto per uno scalare: α · x = α · (x₁,x₂,...,x_n) = (α·x₁,α·x₂,...,α·x_n)

Proprietà

1. x+y = y+x
2. (x+y)+z = x+(y+z)
3. 30 = (0, 0, ..., 0) ∈ ℝⁿ ⇒ x+0 = x
4. ∀ x ∈ ℝⁿ ∃ y ∈ ℝⁿ t.c. x+y = y+x = 0
5. (x+y)(α) = α·x+α·y
6. (α+β)·x = α·x + β·x
7. α·(x+y) = α·x + α·y

Proprietà

1. x≤ y se x_i ≤ y_i   ∀i = 1, ..., n
2. → Possono anche essere uguali.
3. y<x
4. "Fortemente" — se sono tutti diversi e tutti minori.
5. (x≤y)∧(y≤z) ⇒ x≤z

Def. Si dice combinazione lineare dei vettori x₁,...,x_m ∈ ℝⁿ se esistono α₁, α₂, ..., α_m ∈ ℝ.

Def. Un sottoinsieme V di ℝⁿ è un sottospazio vettoriale di ℝⁿ se soddisfa:

1. 0 ∈ V
2. ∀ x,y ∈ V → x+y ∈ V
3. ∀ ά ∈ ℝ ⇒ αx ∈ V

← Sostituisco (0,0)

1. 1. (x)₁ (y₁)
2. 2. (-x)₁ (-y₁)
3. 3) ∀ x,y ∈ V ⇒ x-y ∈ V

Def. La norma di un vettore x = (x₁,...,x_n) ∈ ℝⁿ è ||x|| = √∑x_i2.ⁿ

1. ‖x‖ = 0 ⟺ x = 0

2. ‖αx‖ = |α|‖x‖

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (disuguaglianza triangolare)

4. ‖x‖ ≥ 0

5. |x·y| ≤ ‖x‖·‖y‖ (disuguaglianza di Cauchy Schwarz)

Dim.1.

Se x = 0 allora ‖x‖² = √0+0+...+0 = 0. Viceversa se ‖x‖ = 0 allora tutte le componenti di x devono essere nulle ⟹ ‖x‖² = x₁²+x₂²+...+x_n² = 0 ⟹ x₁²+x₂²+...+x_n² = 0 che implica x_k² = 0 ∀i = 0;...;n ⟹ x = 0

Una somma di numeri positivi o nulli può essere nulla solo se tutti i numeri sono nulli.

Dim.2.

‖(αx)‖ = (αx₁, αx₂, ..., αx_n)‖ = √(α²x₁² + α²x₂² + ... + α²x_n²) = √(α²(x₁² + x₂² + ... + x_n²)) = |α|√(x₁² + x₂² + ... + x_n²) = |α|‖x‖

Versore: un vettore di Rⁿ con norma unitaria.

Versori fondamentali: e¹ = (1,0) e² = (0,1)

‖e¹‖ = √(1²+0²) = 1

‖e²‖ = √(0²+1²) = 1

e¹·e² = 0 (sono ortogonali)

Distanza tra 2 vettori di Rⁿ: d(x, y) = ‖x - y‖ = √(x₂ⁱ - y_i²) = √((x₁-y₁)²+(x₂-y₂)²+...) = √Σ(x_i-y_i)² = ...

➡️ La distanza di un vettore x dall'origine coincide con la sua norma, d(x, 0) = ‖x‖

Dim.

1. d(x, y) = 0 ⟺ x = y

2. d(x, y) = (x - y) = ‖x - y‖ = 0 ⟹ x = y ⟺ d(x, y)

3. d(x, y) ≤ d(x, t) + d(t, y) ⟹ ‖x - y‖ ≤ ‖x - t‖ + ‖t - y‖ ⟹ d(x, y) ≤ d(x, t), ∀x, y, t

Def.

Si dice intorno sferico di centro x_o ∈ ℝⁿ e raggio r > 0:

r ∈ ℝ è l'intervallo - Bᵣ(x_o) = {x ∈ ℝⁿ / d(x, x_o) < r} - Bᵣ(x_o) = {x ∈ ℝⁿ : ‖x - x_o‖<r}

(x-x_o)² + (y-y_o)² < r² = Bᵣ(x_o, y_o)

es. B₄(1,1,4)={x∈ℝ³ / d(x,(1,1,4))<4}

es. B₄(0) = {x ∈ ℝ² : d(x,0)< 3}

Def.

Un insieme A c Rⁿ si dice limitato se esiste un intorno sferico dell'origine che lo contiene, cioè ∃r>0 s.t. A c Bᵣ(0).

Def.

Dato un insieme A ⊂ R si dice maggiorante di A un numero M ∈ R, se ∃x t.c. x ≤ M, ∀x ∈ A.

si dice minorante di A un numero m ∈ R, se ∃x t.c. x ≤ m, ∀x ∈ A. ➡️

Sono infiniti

A ⊂ R si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante.

si dice limitato inferiormente se ha almeno un minorante.

➡️ Dato A ⊂ R limitato superiormente, si dice c ∈ R ℓ'estremo superiore di A,

c = supA = è il più piccolo dei maggioranti di A.

A ⊂ R è limitato inferiormente, si dice che b è l'estremo inferiore di A

b = infA = è il più grande dei minoranti di A

Il più grande minorante di A dato C, b < C ⟹ A

Si dice massimo di A, si indica con max A, il punto M ∈ A, se ∃t.c. M = max x ∀x ∈ A.

Si dice minimo di A, si si indica con min A, il punto M ∈ A, se ∃t.c. m ≤ x ∀x ∈ A.

Massimale: non necessariamente un unico {x} > x₀ ⟹ quando max A non esiste. ➡️ x₀ massimale di Δ

Massimale debole: ∄ x ∈ Δ t.c. x > x₀ x₀ maxA di Δ