Analisi 1 (Schemi)

Numeri complessi

• - a + ib ⟶ ℂ
• - Re (a + ib) = a | Im (a + ib) = b
• - z = Re (z) + i Im (z)
• - -z̅ = i² = -1
• - |z|² = a² + b²

Proprietà

• |z| ≥ 0
• |z₁ ± z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (proprietà triangolare)
• |z₁z₂| = |z₁||z₂| ∀ z ∈ ℂ
• (Ovviamente Re (z) | Im (z) | ≤ |z|)

• (con z = a + ib)
• - z₁ = z₂ ⟷ x₁ = x₂ + y₁ = y₂
• - z̅ = z ⇔ z ∈ ℝ
• - z̅₁ ± z̅₂ = z̅₁ ± z̅₂
• - z̅₁·z̅₂ = z̅₁·z̅₂

N.B.

• |z| = 0 ⟷
• Re (z) = 0 ⟷ Im (z) = 0
• (z ∈ ℝ og log)

- z̅ = z² | z̅ = -z

- z = |z| sgn(z)

• sgn(z) = 1 | se z ≠ 0
• 0 | se z = 0

|z| = |z|

- z ≠ 0 ⟹ ∃α tale che sgn(z) = cosα + i sinα ⟹ z = |z| (cosα + isinα)

• α Argomento di z

• z₁ = |z₁| (cosα₁ + isinα₁)
• z₂ = |z₂| (cosα₂ + isinα₂)
• z₁·z₂ = |z₁||z₂| (cos (α₁+α₂) + isin (α₁+α₂))
• z^m = |z|^m (cos (mα) + isin (mα))

• - z^m = W ⟶ W = |W| (cosθ + i sinθ)

• z_j = |w|^1/m (cos (θ + 2πj)_m + i sin (θ + 2πj)_m)
• j = 0, ..., m - 1

• |z| = |z̅|
• z̅ = a - ib
• z = |z| (cos α + i sin α)   z = a + ib
• cos α = a / √a² + b²
• sin α = b / √a² + b²
• z₁ = |z₁| (cos α₁ + i sin α₁)
• z₂ = |z₂| (cos α₂ + i sin α₂)
• z₁ / z₂ = |z₁| / |z₂| (cos (α₁ - α₂) + i sin (α₁ - α₂))

lim_n→∞ n^1/p = 0 , p > 0

lim_n→∞ x^1/n = 1 , x > 0

lim_n→∞ (1 +1/n)ⁿ = e ( e = lim_n→∞ (1 + log(n)/n)ⁿ )

lim_n→∞ (n^x/aⁿ) = 0 , a > 1 ; x > 0

lim_n→∞ log_a(n)/log_c(n) = e²

lim_n→∞ n^1/n = 1

lim_x→0 xⁿ = 0 x

lim_x→0 x^1/n = 0 , x > 0

lim_n→∞ n^{1/n - 1} = x

- Se lim_x→0 f(x) = 1 , ( f(x) ≈ a + xⁿ )

( f(x) va a zero come x^α )

- ordine infinitesimo di f = x > 0 per x > 0

- Se lim_x→0 x f(x) = 1/z lim_x→0 z x f(x)&supx = 1

- ordine f = x , parte principale di f = 1/x per x > 0

- Se ho n^x lo sviluppo con le derivate x

se fε B(R) allora

∫_a^b f(x) dx = F(x)¦_a^b = F(b) - F(a) dx

- Integrale V. assoluto (INTEGRALI DEFINITI)x

∫_a^b |f(x)| dx ≥ ∫_a^b f(x) dx, se tolgo il modulo e vedo il segno dellaM integrale normaleK funzione in [a,b]. Se f(x) ≥ 0 in [a,b] → = 0 in [a,b]

| ∫_a^b f(x) dx | = √∫^bf(-x) dx = ∫_a^b f^- (x) dx

= ∫_-1² 1/x dx = log x ≥ x ⊈&Real;

1/^_2x+3 1/x^-1 dx = 3/^_4(x-1)-2 dx - √^₃ dx - 1/^_2x1/2(1x2) dx =

- ∫_a^b in generale ¦+&Real;x

4/_^2x2+3x2 = 1/a arctan (x)_x = +&Real;

- ∫_-2² [log(x²+1}^-] b arctan x + &Real;x

NB. se scrivo prendendo un denominatore di grado ≥ 2tutti 1/n + (x²+1) improprie b/x dx poi integrandoviene log (x²+1)Esempi:∫_x- 2-/bx-c dx = b ± +3 -x² (x_nd+1)(x²+c)

- Cos ≠ sin³∫ x⁴d (x)com'è cos + 1 a+b d x = 1 log|x|-b+&Real;

- Se ho f(sin)cosx pongo sinx+=t, se ho f (cosx) sinx pongo   cosx = t ¦ x

- (sin x)≠ sin x (sin x - (∫ ∫⁴) = x x sin( x sin^x)^x = sinx (1 - cos⊃ x)   Per ∫ sin⊃ x dx e ∫             ∫

per invece dx su

cos⊃2 dx si usa cos⊃2 x = 1/2 (1+ cos2x) + sin⊃2 x ∫1 - cos2x

Se ho esponenti frazionari es. x^1/2≠x^1/3 cambio variabilex = t b x³ ¦ 1/x³ x = t x²) x- Se come

Come a-b ho n praco modulo limite

&Para; -≠

◻&psiv;

^N>D_{- (-2+1/4)}

∅ T²⁺

_t²+1+ (T⁵)

⊂

_{- z}

(∫^-± (-<) - ^(-3)

) T⁺³

⊂ + ^-3+4_(-2+4)