Prove di Bernoulli e coefficiente binomiale

Probabilità e prove di Bernoulli

Indipendenza degli eventi

Quindi la probabilità di successo non cambia se considero le diverse prove. Gli eventi A devono essere indipendenti, quindi i successi, in parole diverse, sono eventi indipendenti. Ci sono esempi in cui questo appare logico; in altri esempi potremmo avere delle prove ripetute in cui invece non vale questa proprietà. Per esempio, se considerassimo il sacchetto di una tombola e il successo fosse il fatto che viene estratto un numero pari, mano a mano che estraggo un numero e non li inserisco nel sacchetto della tombola, la probabilità che esca pari continuerebbe a cambiare in funzione dei numeri che ho già estratto. Pertanto verrebbe meno sia la prima che la seconda proprietà perché staremmo legando dei risultati posteriori ai risultati anteriori.

Note sulle prove di Bernoulli

La legge di probabilità si trova completamente determinata dalla conoscenza p della probabilità di successo, quindi l’esperimento della prova di Bernoulli è completamente noto quando noi specifichiamo il valore di p. q = P( ) = 1 - p quindi q è la probabilità di insuccesso.

Esempi di prove di Bernoulli

Esempi di prove di Bernoulli: lanci ripetuti di una moneta, puntare sul rosso ripetutamente alla roulette, slot machine, …

P(A₁ A₂ A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃) = p^kq^n-k se considero una successione specificata di successi e insuccessi. Ho l'uguaglianza indicata, in particolare posso dire che la prima uguaglianza vale per il fatto dell’indipendenza; la seconda vale perché tutte le volte che ho successo la probabilità vale p e tutte le volte che ho insuccesso la probabilità vale q.

Coefficiente binomiale

Facciamo riferimento alle combinazioni di n elementi a gruppi di k. Mi chiedo in quanti modi posso estrarre k (senza tenere conto dell’ordine di estrazione). La risposta è fornita dal coefficiente binomiale.

Consideriamo un esempio: siano 4 carte: fante, regina, re ed asso. Mi chiedo quante sono le combinazioni di 4 carte a gruppi di 2. Tutte le possibili coppie, trovate in maniera esaustiva, sono: {J, Q}, {J, K}, {J, A}, {Q, K}, {Q, A}, {K, A}. Quindi avremo che il coefficiente binomiale vale 6, che coincide con le 6 combinazioni trovate in maniera esaustiva.

Teorema per trovare la probabilità di successo sulle prove di Bernoulli

La probabilità p(k) di ottenere k successi su n prove di Bernoulli è: p(k) = p^kq^n-k. Questa formula è detta formula del binomiale.

Consideriamo un esempio da prendere come “dimostrazione”: Abbiamo che in questo caso intendiamo con successo il caso in cui esce un 6. Bisogna capire in quanti modi diversi ci possono essere due volte il lancio del 6 (non almeno 2 volte ma solo 2, inoltre non sto specificando a quali lanci deve uscire). Proprio perché voglio che esca il 6 esattamente due volte, allora nel primo caso la probabilità che esca 6 è di 1/6, come anche nel secondo caso, poi per gli altri lanci devo calcolare la probabilità che esca un numero diverso da 6, cioè 5/6. Abbiamo quindi fatto tutti i calcoli e abbiamo ottenuto il risultato. Notiamo che ciascuno degli eventi tra parentesi è disgiunto dagli altri, quindi se si verifica uno di essi non può verificarsi uno degli altri. Essendo sequenze disgiunte, allora la probabilità dell’unione è la somma delle probabilità per il terzo assioma delle probabilità. Notiamo che 6 = , viene fuori il coefficiente binomiale perché in questo caso noi abbiamo dovuto trovare tutti i modi con cui si possono collocare i due successi sulle 4 prove, quindi noi abbiamo 4 posizioni, lancio 1, 2, 3, 4, e possiamo collocare i nostri successi in 2 posizioni su 4 quindi dobbiamo trovare tutte le disposizioni di due posizioni ordinate, di due ordinali, su 4 ordinali possibili, quindi viene fuori il coefficiente binomiale.

Il bello è che ciascuna delle possibilità ha la stessa probabilità, quindi c’è il termine che rimane uguale per tutti, poi si tratta solo di enumerare tutte le alternative. Questa enumerazione avviene attraverso il coefficiente binomiale. Sulla falsa riga di questo esempio sarebbe facile dare una dimostrazione formale della binomiale.

Formula binomiale e triangolo di Tartaglia

Notiamo che la formula p(k) è anche detta binomiale di ordine n perché coincide con il k-esimo termine dell’espansione della potenza del binomio (p+q)ⁿ, detto anche binomio di Newton. Il fatto che la binomiale coincida con il k-esimo termine di questa potenza, possiamo dire che un altro modo per ottenere l’espansione di questo binomio è mediante il triangolo di Tartaglia. I numeri però che troviamo nel triangolo di Tartaglia sono generati dal coefficiente binomiale.

Dimostrazione: Si noti che, infatti, dopo aver scritto l’espansione del binomio, quindi la parte con il binomiale in quest’ultima espressione, scopro che ciascuno di questi addendi corrisponde con una binomiale. Al variare di k trovo quindi tutte le binomiali possibili e, pertanto, se leggo questa formula prendendo il primo e l’ultimo termine, mi accorgo che. In realtà questo era abbastanza scontato perché la binomiale mi dà la probabilità di avere k successi ed è evidente che se io considero un numero di successi che va da 0 a n ottengo degli eventi disgiunti perché se ho 0 successi non è vero che ne ho 1 e se ne ho 1 non è vero che ne ho 2 etc… ma l’unione di questi eventi fa l’evento certo, quindi possiamo riscriverlo come:

Consideriamo il caso di avere n prove di Bernoulli con probabilità di successo 1/3 e probabilità di insuccesso pari a 2/3, allora possiamo costruire un grafico rappresentante la forma della binomiale: La forma è allungata verso destra, questa asimmetria è data dal fatto che p è diverso da q, se fossero stati uguali avremmo avuto una simmetria rispetto a un asse centrale. Una quantità di interesse è k cioè un valore di k per cui la binomiale assume il suo massimo. In termini formali si scrive che k = imp, si può poi vedere che questo k è collocato in corrispondenza della parte intera di ((n+1)p) quindi k = int((n+1)p), inoltre come ultima proprietà possiamo dire che se (n+1)p è intero allora ci sono due valori che hanno la stessa probabilità e che sono quelli in corrispondenza di k e di k -1 quindi.

Esempi

Calcolare la probabilità che testa esca per la prima volta al (k+1)-esimo lancio

Sia una moneta onesta, vogliamo calcolare la probabilità che testa esca per la prima volta al (k+1)-esimo lancio. Valutare tale probabilità per k=5.

Introduco la notazione S₁ che è il numero d’ordine del 1° successo, quindi se lancio la moneta e viene CCT (quindi primo successo al terzo tentativo), dirò che S₁=3. Per come è stato formulato, vogliamo considerare la probabilità che il primo successo si verifichi al (k+1)-esimo tentativo, quindi i primi k tentativi sono tutti insuccessi, quindi stiamo cercando la probabilità che S₁ = k+1 quindi P(S₁ = k+1)=P(…A_k+1) ma data l’ipotesi di indipendenza avremo che è uguale a P(A_k+1)P( )…P(A_k+1) ma qui entra in gioco l’invarianza della probabilità di successo. La probabilità di successo sarà sempre pari a p (quindi P(A_k+1)=1) e quella di insuccesso pari a q (quindi P( ) con i=1, …, k), quindi avremo che questo è pari a q^kp.

La probabilità che abbiamo appena trovato quindi vale P(S₁ = k+1)= q^kp ed è detta geometrica poiché se la grafichiamo al crescere di k si vede che decade con un decadimento di tipo geometrico, di tipo esponenziale. Per k=5 avremo che P(S₁=6)=0.5⁵ × 0.5=0.015625, dunque la probabilità è abbastanza piccola, infatti se pensiamo a una moneta, l’idea di avere 5 volte di fila croce non è impossibile ma comunque abbastanza difficile.

Calcolare la probabilità che testa esca al (k+1)-esimo lancio sapendo che nei primi k lanci è sempre uscita croce

Consideriamo un problema un po' diverso che ci pone in una situazione in cui saremmo tentati di tener conto dei ritardi. Si calcoli la probabilità che testa esca al (k+1)-esimo lancio sapendo che nei primi k lanci è sempre uscita croce. La formulazione del problema sembra quasi identica alla precedente ma c’è una differenza sostanziale che si nota nella parola “sapendo”. Nell’esercizio precedente non era presente questa condizione. Data una clausola di questo tipo è evidente che facciamo riferimento alla probabilità condizionata.

P(S₁ = k+1 | S₁ > k) = p, dove al denominatore è dato dal fatto che abbiamo k insuccessi di seguito a partire dall’inizio, cioè. Inoltre notiamo che avendo più eventi la congiunzione si usa mettendo la virgola, cioè è la probabilità di un evento congiunto, quindi un’intersezione di più eventi, in questo caso {S₁ = k+1}, {S₁ > k} = {S₁ = k+1}.

Tenendo conto di questi due fatti possiamo scrivere avendo come risultato p allora viene ribadita la proprietà di non memoria, una proprietà che rende vano il tentativo di affidarsi ai ritardi. Infatti c’è una sorta di superstizione secondo cui se non ho visto uscire testa per tante volte di seguito, uno pensa che ci sia una forza sovrannaturale che deve rimettere le cose a posto. In realtà non è vero perché per ipotesi stessa di prova di Bernoulli ogni prova è indipendente dalle precedenti e quindi la probabilità che il primo successo arrivi al (k+1)-esimo se i primi sono andati male resta comunque la probabilità di avere successo nel (k+1)-esimo tentativo, quindi pari a p. Quindi andare a cercare i ritardi per orientare le proprie scelte risulta una superstizione anche se poi in alcuni casi risulta innocua questa superstizione perché nel caso della moneta, che noi scommettiamo per testa o croce, la probabilità è sempre di 0.5 in entrambi i casi.