Prove di Bernoulli e coefficiente binomiale

Quindi la probabilità di successo non

cambia se considero le diverse prove

Gli eventi A devono essere

2. i

indipendenti, quindi i successi, in

parole diverse, sono eventi

indipendenti

Ci sono esempi in cui questo appare

logico, in altri esempi potremmo avere

delle prove ripetute in cui invece non

vale questa proprietà, se per esempio

considerassimo il sacchetto di una

tombola e il successo fosse il fatto che

viene estratto un numero pari, mano a

mano che estraggo un numero e non li

inserisco nel sacchetto della tombola

la probabilità che esca pari

continuerebbe a cambiare in funzione

dei numeri che ho già estratto,

pertanto verrebbe meno sia la prima

che la seconda proprietà perché

staremmo legando dei risultati

posteriori ai risultati anteriori.

Note sulle prove di Bernoulli:

La legge di probabilità si trova

3. completamente determinata dalla

conoscenza p della probabilità di

successo, quindi l’esperimento della

prova di Bernoulli è completamente

noto quando noi specifichiamo il valore

di p

q =P( )=1-p

4. i

quindi q è la probabilità di insuccesso

Esempi di prove di Bernoulli: lanci

5. ripetuti di una moneta, puntare sul

rosso ripetutamente alla roulette, slot

machine, …

P(A A A =P(A )P(A )P( )P(A )P(

6. 1 2 4 1 2 4

3 2

)=p q

se considero una successione

specificata di successi e insuccessi ho

l’uguaglianza indicata, in particolare

posso dire che la prima uguaglianza

vale per il fatto dell’indipendenza, la

seconda vale perché tutte le volte che

ho successo la probabilità vale p e

tutte le volte che ho insuccesso la

probabilità vale q.

Coefficiente binomiale

Facciamo riferimento alle combinazioni di

n elementi a gruppi di k, mi chiedo in

quanti modi posso estrarre k (senza tenere

conto dell’ordine di estrazione)

La risposta è fornita dal coefficiente

binomiale Che semplificando

otterremmo

Consideriamo un esempio: siano 4 carte:

fante, regina, re ed asso, mi chiedo quante

sono le combinazioni di 4 carte a gruppi di

2, tutte le possibili coppie, trovate in

maniera esaustiva, sono: {J, Q}, {J, K}, {J,

A}, {Q, K}, {Q, A}, {K, A}

Quindi avremo che il coefficiente

binomiale vale: che coincide con le

6 combinazioni trovate in maniera

esaustiva

Teorema (per trovare la probabilità di

ottenere successo sulle prove di Bernoulli)

La probabilità p (k) di ottenere k successi

n k n-k

su n prove di Bernoulli è: p (k)= p q ,

n

questa formula è detta formula del

binomiale

Consideriamo un esempio da prendere

come “dimostrazione”:

Abbiamo che in questo caso intendiamo

con successo il caso in cui esce un 6,

bisogna capire in quanti modi diversi ci

possono essere due volte il lancio del 6

(non almeno 2 volte ma solo 2, inoltre non

sto specificando a quali lanci deve uscire.

Proprio perché voglio che esca il 6

esattamente due volte allora nel primo

caso la probabilità che esca 6 è di 1/6,

come anche nel secondo caso, poi per gli

altri lanci devo calcolare la probabilità che

esca un numero diverso da 6, cioè 5/6),

abbiamo quindi fatto tutti i calcoli e

abbiamo ottenuto il risultato. Notiamo che

ciascuno degli eventi tra parentesi è

disgiunto dagli altri, quindi se si verifica

uno di essi non può verificarsi uno degli

altri. Essendo sequenze disgiunte allora la

probabilità dell’unione è la somma delle

probabilità per il terzo assioma delle

probabilità. Notiamo che 6= , viene fuori

il coefficiente binomiale perché in questo

caso noi abbiamo dovuto trovare tutti i

modi con cui si possono collocare i due

successi sulle 4 prove, quindi noi abbiamo

4 posizioni, lancio 1, 2, 3, 4 e possiamo

collocare i nostri successi in 2 posizioni su

4 quindi dobbiamo trovare tutte le

disposizioni di due posizioni ordinate, di

due ordinali, su 4 ordinali possibili, quindi

viene fuori il coefficiente binomiale. Il bello

è che ciascuna delle possibilità ha la

stessa probabilità quindi c’è i termine

che rimane uguale per tutti, poi si tratta

solo di enumerare tutte le alternative,

questa enumerazione avviene attraverso il

coefficiente binomiale.

Sulla falsa riga di questo esempio sarebbe

facile dare una dimostrazione formale

della binomiale.

Notiamo che la formula p (k) è anche

n

detta binomiale di ordine n perché

coincide con il k-esimo termine

dell’espansione della potenza del binomio

n

(p+q) detto anche binomio di Newton, il

fatto che la binomiale coincida con il k-

esimo termine di questa potenza,

possiamo dire che un altro modo per

ottenere l’espansione di questo binomio è

mediante il triangolo di tartaglia, i numeri

però che troviamo nel triangolo di tartaglia

sono generati dal coefficiente binomiale.

Dimostrazione:

Si noti che , infatti

, dopo aver scritto

l’espansione del binomio, quindi la parte

con il binomiale in quest’ultima

espressione, scopro che ciascuno di questi

addendi corrisponde con una binomiale, al

variare di k trovo quindi tutte le binomiali

possibili e, pertanto, se leggo questa

formula prendendo il primo e l’ultimo

termine, mi accorgo che . In realtà

questo era abbastanza scontato perché la

binomiale mi dà la probabilità di avere k

successi ed è evidente che se io considero

un numero di successi che va da 0 a n

ottengo degli eventi disgiunti perché se ho

0 successi non è vero che ne ho 1 e se ne

ho 1 non è vero che ne ho 2 etc… ma

l’unione di questi eventi fa l’evento certo,

quindi possiamo riscriverlo come:

Consideriamo il caso di avere n prove di

Bernoulli con probabilità di successo 1/3 e

probabilità di insuccesso pari a 2/3, allora

possiamo costruire un grafico

rappresentante la forma della binomiale:

La forma è allungata verso destra, questa

asimmetria è data dal fatto che p è

diverso da q, se fossero stati uguali

avremmo avuto una simmetria rispetto a

un asse centrale. Una quantità di interesse

è k cioè un valore di k per cui la

m

binomiale assume il suo massimo, in

termini formali si scrive che k = i

m

può poi vedere che questo k è collocato

m

in corrispondenza della parte intera di

((n+1)p) quindi k =int((n+1)p), inoltre

m

come ultima proprietà possiamo dire che

se (n+1)p è intero allora ci sono due valori

che hanno la stessa probabilità e che sono

quelli in corrispondenza di k e di k -1

m m

quindi

Consideriamo ora degli esempi:

Sia una moneta onesta, vogliamo

1. calcolare la probabilità che testa esca

per la prima volta al (k+1)-esimo

lancio. Valutare tale probabilità per

k=5

Introduco la notazione S che è il

1

numero d’ordine del 1° successo,

quindi se lancio la moneta e viene CCT

quindi primo successo al terzo

tentativo, dirò che S =3. Per come è

1

stato formulato il vogliamo considerare

la probabilità che il primo successo si

verifichi al (k+1)-esimo tentativo,

quindi i primi k tentavi sono tutti

insuccessi, quindi stiamo cercando la

probabilità che S =k+1 quindi

1

P(S =k+1)=P( … A ) ma data

1 k+1

l’ipotesi di indipendenza avremo che è

uguale a P( ) P( )…P( )P(A ) ma qui

k+1

entra in gioco l’invarianza della

probabilità di successo, la probabilità

di successo sarà sempre pari a p

(quindi P(A )=1)e quella di

k+1

insuccesso pari a q (quindi P( ) con

i=1, …, k), quindi avremo che questo è

k

pari a =q p

La probabilità che abbiamo appena

k

trovato quindi vale P(S =k+1)= q p è

1

detta geometrica poiché se la

grafichiamo al crescere di k si vede

che decade con un decadimento di

tipo geometrico, di tipo esponenziale:

Per k=5 avremo che

5 6

P(S =6)=0.5 0.5=0.5 =0.015626,

1

dunque la probabilità è abbastanza

piccola, infatti se pensiamo a una

moneta, l’idea di avere 5 volte di fila

croce non è impossibile ma comunque

abbastanza difficile.

2. Consideriamo un problema un po'

diverso che ci pone in una situazione

in cui saremmo tentati di tener conto

dei ritardi

Si calcoli la probabilità che testa esca

al (k+1)-esimo lancio sapendo che nei

primi k lanci è sempre uscita croce. La

formulazione del problema sembra

quasi identica alla precedente ma c’è

una differenza sostanziale che si nota

nella parola “sapendo”, nell’esercizio

precedente non era presente questa

condizione. Data una clausola di

questo tipo è evidente che facciamo

riferimento alla probabilità

condizionata.

P(S =k+1| S >k)= dove

1 1

al denominatore è dato dal

· fatto che abbiamo k insuccessi di

seguito a partire dall’inizio, cioè

inoltre notiamo che avendo più

· eventi la congiunzione si usa

mettendo la virgola, cioè

è la probabilità di un evento

congiunto, quindi un’intersezione di

più eventi, in questo caso

{S =k+1} { S >k}={S =k+1)

1 1 1

Tenendo conto di questi due fatti

possiamo scrivere avendo

come risultato p allora viene ribadita la

proprietà di non memoria, una

proprietà che rende vano il tentativo di

affidarsi ai ritardi, infatti c’è una sorta

di superstizione secondo cui se non ho

visto uscire testa per tante volte di

seguito, uno pensa che ci sia una forza

sovrannaturale che deve rimettere le

cose a posto, in realtà non è vero

perché per ipotesi stessa di prova di

Bernoulli ogni prova è indipendente

dalle precedenti e quindi la probabilità

che il primo successo arrivi al (k+1)-

esimo se i primi sono andati male resta

comunque la probabilità di avere

successo nel (k+1)-esimo tentativo,

quindi pari a p, quindi andare a cercare

i ritardi per orientare le proprie scelte

risulta una superstizione anche se poi

in alcuni casi risulta innocua questa

superstizione perché nel caso della

moneta, che noi scommettiamo per

testa o croce la probabilità è sempre di

0.5 in entrambi i casi, la conseguenza

importante può essere quella