Econometria - Prove d'esame risolte

X D

in cui è una variabile continua e una variabile binaria.

i i

a) Si scrivano le espressioni per le rette di regressione dei due gruppi definiti dalla variabile

D ;

i è possibile sottoporre a verifica l’ipotesi

b) si spieghi come che le due rette abbiano la mede-

sima pendenza; è possibile sottoporre a verifica l’ipotesi congiunta

c) si spieghi infine come che le due rette

abbiano la medesima pendenza e la medesima intercetta.

4. (Capitolo 15) Dato il modello = + +

0 1

̂ − può essere approssimato (con T grande) da

1 1 1

∑

=1

̂ − ≈

1 1 2

si derivi l’espressione

a) della varianza dello stimatore OLS in presenza di autocorrela-

1

zione per T = 2;

b) si derivi l’espressione della varianza dello stimatore OLS in presenza di autocorrela-

1

zione per T = 3;

si scriva infine l’espressione

c) della varianza dello stimatore OLS in presenza di auto-

1

correlazione per un generico T. 19

1) dell’1% è associato un aumento di

→ − : 0,01 × ,

a) ad un aumento di sales di ovvero

1 1

dello 0,00621%. ad un aumento dell’1% di

→ − :

profmar è associato un aumento di dello 0,050%

2

RICORDA: ∆

– ≅ → ∆ → ∆ =

Modello LIN LIN: 1 1

∆

∆ ′

– ≅ → ∆ 1% → ∆ = 0,01

Modello LIN LOG: 1 1

∆/

∆/

– ≅ → ∆ → ∆ = 100 × %

Modello LOG LIN: 1 1

∆

∆/ ′

– ≅ → ∆ 1% → ∆ =

Modello LOG LOG: 1 1

∆/

b) : = = 0 vs. : ≠ 0 ≠ 0

0 1 2 1 1 2

0,621−0 rifiuto l’ipotesi nulla ad un livello di

| | | |

= = 2,1: > 1,96

significatività del 5% poiché

1 1

0,296

0,050−0 rifiuto l’ipotesi nulla ad un livello di significatività del 5% poiché

| | | |

= = 2,5: > 1,96

2 2

0,020

c) : = = 0 vs. : ≠ 0 / ≠ 0

0 1 2 1 1 2

2 2

1 2,1 + 2,50 − 2 × 0,4 × 2,1 × 2,50

= = 3,85

( )

2

(0,4)

2 1 −

quindi rifiuto l’ipotesi nulla congiunta con

> = 3 = 5%

2,∞

2) è l’effetto sui consumi di una variazione unitaria del reddito, a parità di ricchezza, ovvero ad una va-

a) 1

riazione unitaria di corrisponde una variazione di pari a

1

= + + = +

b) dove

0 1 2

L’omissione del regressore

potrebbe rendere il regressore distorto, infatti esso potrebbe essere so-

1

l’impatto dell’omissione dipende dal segno di

vrastimato o sottostimato; e dal segno della correlazione

2

l’omissione di W causerebbe una sovrastima di

> 0,

tra i due regressori (Y e W). Supponendo che 2 1

)

( , > 0

poiché ( , )

+ -

2 + sovrastima sottostima

- sottostima sovrastima

3) = 0: = + +

a) 0 1 ( )

= 1: = + + + + → = + + + +

0 1 2 3 0 2 1 3

= 0

b) Medesima pendenza se 3

: = 0 . : ≠ 0

0 3 1 3

− 0

3 ′

| | | |

= > 1,96 : = 0

3 3 0 3

( )

3

: = = 0 . : ≠ 0 / ≠ 0

c) 0 2 3 1 2 3

22 32

+ − 2 × ̂ × ×

1 , 2 3 ′

2 3

= > 3 : = = 0

( ) 0 2 3

2 1 − ̂

,

2 3

4) a) ( , ) ( , ) ( , )

1 2 1 2 1 2 2

) )

= ( , = = → = → ( , =

1 1 2 1 1 2 1

2

2 2

)( )

√( √

1 2 1

1 1

( )]

∑ ( ) +

[

+ 1 2

1 2

=1 2

2

( ) ≈ ( ) → ( )=

1 2 2 4

1 1 1 1

2 2 2 2 2

[(

( )] ) ) )] ( ) (2 )

+ = + ( + 2 ( , = + + 2 = + 2

[ 1 2 1 2 1 2 1 1

2 4 4 4 1 2

1 1 1

2

(̂

2 2 2

(1 ) (1 ) (1 )

= 2 + = + = × = + → =

)

1 1 2 2 1 1 2

4

4 2 2

20

b) 1

1

1 ( )]

( )

∑ + +

[

+ +

1 2 3

1 2 3

=1 3

3

( ) ≈ ( ) → ( )=

1 2 2 4

1 1 [(

( )] ) ) ) ) ) )]

+ + = + ( + ( + 2 ( , + 2 ( , + 2 ( ,

[ 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3

3 9

1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) (3 )

= + + + 2 + 2 + 2 = + 4 + 2

1 1 2 1 2

9 9

1 4 2 1 4 2 1 2 1

2 2 2

= 3 (1 + + ) = (1 + + ) = × = 1 + 2 ) +

[( ]

1 2 1 2 3 3 1 2

9 3 3 3 3 3 3 3 3

1 2

3

(̂ =

)

1 3

4

c) Espressione generale: −1

2

1 −

(̂ = × = 1 + 2 ∑

) ( )

1

4

=1

21

22

Econometria I

16 gennaio 2013

analizzare l’effetto della localizzazione geografica

2. (Capitolo 8) Un econometrico vuole dei la-

voratori (Nord e Sud) e della loro età lavorativa (X) sul salario (Y).

a) Si scriva il modello da stimare (definendo chiaramente le variabili utilizzate) permettendo

influenzi sia il salario d’ingresso (per X = 0), sia l’effetto

che la localizzazione geografica

dell’età lavorativa; a test l’ipotesi

b) dato il modello specificato in (a), spiegate come sia possibile sottoporre

d’ingresso

che il salario non dipenda dalla localizzazione.

3. (Capitolo 14) Data la variabile stazionaria

scrivano le espressioni per l’autocovarianza e l’autocorrelazione

a) si di ordine j;

espressioni per l’autocovarianza campionaria e

b) si scrivano le corrispondenti

l’autocorrelazione campionaria di ordine j;

c) si scriva per la stessa variabile un modello di autoregressione di quarto ordine;

d) si spieghi infine come sia possibile sottoporre a verifica se congiuntamente i ritardi di cui

al punto (c) contribuiscono alla previsione della variabile .

4. (Capitolo 18) Dato il modello = +

2

(|) = 0 (|) =

e date le assunzioni e

a) si derivino le espressioni per il valore atteso condizionato e la varianza condizionata dello

̂ ′ −1 ′

(

= )

stimatore OLS

b) si derivino le espressioni per il valore atteso condizionato e la varianza condizionata dello

2 con Ω nota e

(|) = Ω Ω ≠

stimatore OLS qualora β̂

si scriva infine l’assunzione aggiuntiva necessaria affinché lo stimatore OLS

c) abbia una

distribuzione normale multivariata. 23

2)

D = 0 se Sud

D = 1 se Nord ( )

= + + + × +

a) 0 1 2 3

= à

Dove =

: = = 0 . : ≠ 0 / ≠ 0

b) 0 2 3 1 2 3

Calcolo

− 0 − 0

2 2

| | | |

= =

2 3

( ) ( )

2 3

Calcolo 2 2

1 + − 2 × 0,4 × ×

2 3 2 3

= ( )

2

2 1 − ( )

,

2 3

> = 5%

2,∞ 0

< = 5%

2,∞ 0

3)

a) ( , )

−

= ( , = =

)

− )(

√( )

−

)](

= , = {[ − ( − (

( ) )]}

− − −

b)

̂ ( , )

−

=

̂( , = ̂ =

)

− ( )

̂

Dove

1 ̅ ̅

̂ , =