Calcolo della Probabilità: formulario e prove d'esame

Concezione Classica

P(E) = # casi favorevoli a E / # casi possibili

Concezione Frequentista

P(E) ≈ # successi / # prove

Legge empirica dei grandi numeri

Concezione Soggettivista

Ps(E) = puntata / posta

Elementi Operazioni tra Insiemi

• Unione A∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Intersezione A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Differenza A–B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
• Complemento A = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A}

Leggi di De Morgan

A∩B = Ā∪B

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A∪B = Ā∩B

Spazio Probabilistico e Assiomi di Kolmogorov

(Ω, B, P)

Ω → non vuoto, ed è chiamato spazio degli eventi elementari o spazio campionario

B → è una σ-algebra (sigma algebra). Soddisfa 3 proprietà:

• 1. Ω ∈ B
• 2. ∀A ∈ B → A^c ∈ B
• 3. ∀(A_n) ⊂ B unione ∈ B

P → "Misura di probabilità". 3 Proprietà (Assiomi di Kolmogorov):

• 1. P(Ω) = 1
• 2. ∀A ∈ B P(A) ≥ 0
• 3. P(∪A_n) = ΣP(A_n)

Formule elementari calcolo della probabilità

• P(A ̅) = 1 - P(A)
• P(∅) = 0
• P(B) ≤ P(A)
• P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
• - P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) Disuguaglianza di Boole
• - P(A ∪ B ∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) - P(A ∪ B) ∩ C

UNIFORME DISCRETA

X_∼UD(n)

FUNZIONE PROBABILITÀ

F_X(x) = P(X = x) = 1/n

x ∈ S_X = {1, ..., n}

VALORE ATTESO

E(X) = (n + 1)/2

VARIANZA

Var(X) = (n² - 1)/12

FUNZIONE GEN. MOMENTI

G_X(t) = ε E(e^xt)

= Σ e^xt = 1/n Σ e^xt

= e^t(1 - e^nt)/n(1 - e^t)

BERNOULLI

S_X = {0, 1}

FUNZIONE PROBABILITÀ

F_X(x) = P(X = x) = 0˟ (1 - 0)^{1 - x}

MOMENTO l-ESIMO

E(X) = 0˟ = 0

VARIANZA

Var(X) = 0(1 - 0)

FUNZIONE GEN. MOMENTI

G_X(t) = ε (0˟ e^t + 1 - 0)ⁿ

BINOMIALE

S_X: {0, 1, 2, ..., n}

FUNZIONE PROBABILITÀ

F_X(x) = P(X = x)

= ( n ) 0˟ (1 - 0)^{n - x}

VALORE ATTESO

E(X) = n 0

VARIANZA

Var(X) = n 0(1 - 0)

FUNZIONE GEN. MOMENTI

G_X(t) = ε(0˟ e^t + 1 - 0)ⁿ

POISSON

S_X = ℕ

FUNZIONE PROBABILITÀ

F_X(x) = P(X = x) = e^-d dˣ/x!

ε e^-d dˣ/x!

= 1

VALORE ATTESO

E(X) = d

VARIANZA

Var(X) = d

FUNZIONE GEN. MOMENTI

G_X(t) = e^-d(e^t - 1)

Variabili Casuali in Due Dimensioni

F_X,Y(x,y) = P(X < x, Y < y)

Proprietà

• lim_x→-∞ F_X,Y(x,y) = 0
• lim_y→-∞ F_X,Y(x,y) = 0
• lim_x→+∞ F_X,Y(x,y) = 1
• lim_y→+∞ F_X,Y(x,y) = F_X(x)
• lim_x→+∞ F_X,Y(x,y) = F_Y(y)

Indipendenza Variabili Casuali

X ⋄⋄ Y

P((X,Y) ∈ A × B) = P(X ∈ A) P(Y ∈ B)

Caso Particolare

A = (-∞,x]

B = (-∞,y]

F_X,Y(x,y) = F_X(x) F_Y(y)

Covarianza

Cov(X,Y) = E((X-ξ_x)(Y-ξ_y))

Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Incorrelazione

X ⋄⋄ Y ⟹ Cov(X,Y) = 0

Proprietà

• Simmetrica Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
• Bilinearità Cov(aX+bY, Z) = aCov(X,Z) + bCov(Y,Z)

Convergenza in Distribuzione

X_n ^d→ X

F_X(x) è continua

lim_n→∞ F_Xn(x) = F_X(x)

Disuguaglianza Markov

Y ≥ 0 variabile casuale

E(Y) = μ_Y

P(Y ≥ ε) ≤ μ_Y/ε ε > 0

Disuguaglianza Chebyshev

X variabile casuale

E(X) = x̄

Var(X) = σ²

P(|X - x̄| ≥ ε) ≤ 1 - σ²/ε² ε > 0

Regola 3σ

ε = 3σ

P(|X - x̄| < 3σ) ≥ 1 - σ²/(3σ)² = 8/9 ≈ 89%

DIMOSTRAZIONE

lim_n→∞ f_n(x) ≡ lim_n→∞ (n) α^*(1-α)^-x =

lim_n→∞ n^† α^*(-α)^* (1-α)^-x x^† lim_n→∞ (μ-d/n)ⁿ =

= x^† e^-x

VAR(X) = E(X²) – E(X)²

x• g(x) = E(X) – lo elevo al 2

CONVERGENZA PROBABILITA

Sia {X_n}_n∈N una successione di variabili casuali.Sia data una variabile casuale X.

Allorà la successione {X_n}_n∈N converge in probabilità X_n → X se ∀ε>0 lim_n→∞ P(|X_n-X| ≥ ε)=0

CONVERGENZA DISTRIBUZIONE

Sia {X_n}_n∈N una successione di variabili casuali.Sia data una variabile casuale X.

Allorà la successione {X_n}_n∈N converge in distribuzione X_n →_d X se ∀x∈R f_x(x) è continua

lim_n→∞ F_n(x)=F_x(x)

25

27 [PALINE VERDI]

Z = Ipergeometrica (5,2,3_p)

S2: {0,1,2,3}

Z(z) = (³/₅)(^5-z/₃)

P(2-z)-F(z) = (²/₃)(⁸/_5-2)

(³/₃)

(⁵/₅)

Esercizio 3

3.1

Definizione quantile di livello α ∈ (0,1)

P(X ≤ M) ≥ 1/2 = P(X ≥ M)

P(X ≤ x_α) > α ≥ P(X ≤ x_α)

F_X(x_α-ε) ≤ α ≤ F_X(x_α+ε)

F_X è continua

F_X continua ⇒ F_X(x^-) = F_X(x⁺) = F_X(x^*)

F_X(x_α-ε) ≤ F_X(x_α) = F_X(x_α) = α

F_X(x_α) = α ⇒ x_α = F_X^-1(α)

3.2

X ∼ N(μ,σ²)

f.d. √d, >σ² = x₀,(√d,σ²) ≅ N(0,1)

x₀(√d,σ²) = x₀(√d,σ²)

F_Z(d) = Φ(d) ==> d = Φ^-1(α)

F_X(x) = α

F_X(x) = Φ(x₀-x/σ) = Φ(x₀-x/σ)

x₀-x = Φ^-1(α) = d(α)

x₀(√d,σ²) = σ d_α + ζ

3.3

X ∼ N(ζ,σ²) E(X)=0 P(X<-1)=0,59

Var(X)=? P(0,5≤X≤ｘ₇)=?

ζ=? σ²=?

X ∼ N(ζ,σ²)

E(X)= ζ = 0

Var(X)= σ²

P(X ≤ X_α) = α

P(X < X_α) = α

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

PROVA SCRITTA DEL 23/4/2013

Esercizio 1

Si consideri una successione \(X_n\) di v.c. indipendenti e distribuite come una v.c. di Bernoulli con parametro \(\theta_0\) e sia \(S_n = X_1 + ... + X_n\).

(1.1) Nel caso in cui \(\theta_0 = 0\), si determinino la funzione di probabilità e la varianza della v.c. \(S_n\), motivando le risposte.

Sempre nel caso in cui \(\theta_0 = \theta\) si consideri la seguente successione di eventi:

\[E_0 = \{X_1 = 1\}, E_1 = \{X_1 = 0\}∩\{X_2 = 1\}, ... , E_i = \{X_1 = 0\}∩...∩\{X_i = 0\}∩\{X_{i+1} = 1\}...\]

(1.2) Si calcoli la funzione \(\psi(k) = P(E_k)\) e la si interpreti come funzione di probabilità di una v.c. \(\bar{\nu}\).

(1.3) Dopo aver definito l'indipendenza di due eventi, si stabilisca se \(E_0, E_1 e E_2\) sono indipendenti.

(1.4) Dopo aver posto \(\theta = 1\) nella funzione di probabilità ottenuta in (1.1), si determini il limite per \(n \to \infty\) di \(\psi(S_n = x)\) e lo si interpreti come funzione di probabilità di una v.c. \(\bar{\nu}\).

(1.5) Si fornisca un esempio di somma di 3 v.c. Bernoulliane con lo stesso parametro ma non indipendenti e si specifichi la funzione di probabilità della v.c. \(\bar{\sigma}\) proposta.

Esercizio 2

Si supponga che il 48% dei cittadini italiani sia contrario a un certo progetto di legge, il 48% sia favorevole e il restante 4% si dichiari indifferente.

Sia \(X\) il numero dei cittadini contrari al progetto in un campione di numerosità 50 estratto con reinsertimento.

(2.1) Si stabilisca se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema Centrale del Limite e si fornisca un'opportuna approssimazione Normale per \(X\).

(2.2) Sulla base dell'approssimazione Normale fornita, si calcoli \(P(25 \leq X \leq 45)\) e si determini il quantile di ordine 0.75.

Sia \(Y\) il numero dei cittadini favorevoli al progetto presenti nel campione considerato.

(2.3) Si specifichino la distribuzione della v.c. bidimensionale \((X,Y)\) e la funzione di probabilità congiunta.

(2.4) Si stabilisca se le v.c. \(X e Y\) sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando la risposta.

(2.5) Si determini la funzione di probabilità condizionata \(\phi(Y) = P(Y = y | X = 25)\) e se ne specifichi la distribuzione con particolare riferimento ai valori dei parametri che la caratterizzano.

Esercizio 3

Si consideri la funzione di densità congiunta \(\varphi(x,y) = \frac{y}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\) (con x reale e y > 0) della v.c. bidimensionale \((X,Y)\).

(3.1) Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.

(3.2) Si stabilisca se \(X e Y\) sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando la risposta.

(3.3) Si determini il valore di \(\theta\) per cui \(X^2 + 2Y - X^2\) motivando la risposta.

Siano \(X_i e X_2\) v.c. indipendenti e distribuite come v.c. sia \(D = X_1 - X_2\).

(3.4) Si determini la distribuzione della v.c. \(D\), motivando la risposta.

Sia \(Y_n\) una successione di v.c. indipendenti e distribuite come \(Y\) e sia \(T_n = Y_1 + ... + Y_n\).

(3.5) Si determini il limite a cui \(T_n / n\) converge in probabilità, motivando la risposta.

Quesito

Sia \((X,Y)\) è una v.c. bidimensionale caratterizzata da \(\rho_{X,Y} = 1\). Si dimostri che se \(\sigma^2_X \geq \sigma^2_Y\) allora si ha \(|X - \mu_X| \geq |Y - \mu_Y|\).