Matematica - Vettori e Matrici

Vettori in Algebra Lineare: Intro

Introducendo un sistema di riferimento cartesiano, il piano si può identificare come l'insieme R² delle coppie ordinate di numeri reali.

Ad ogni punto si può associare anche un vettore, pensabile come segmento orientato che ha per estremi l'origine e il punto stesso.

Ne segue che possiamo identificare il vettore ^(→)OP con la coppia ordinata (x,y) delle coordinate del punto P, scrivere ^(→)v = (x,y) invece di ^(→)OP =^(→)v.

^(→)v = (x, y)

Componenti scalari

|^(→)v| = √(x² + y²)

Norma o modulo

Operazioni

Somma: Dati due vettori ^(→)v = (x₁, y₁) e ^(→)w = (x₂, y₂) la loro somma è un vettore avente per componenti la somma delle componenti di ^(→)v e ^(→)w.

^(→)v + ^(→)w = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Es.: ^(→)v = (a; i) e ^(→)w = (j; i) determinare ^(→)v + ^(→)w

^(→)v + ^(→)w = (a+3; 2+1) = (a + 3)

NB: Norma del vettore somma è minore uguale dei moduli dei 2 vettori sommati.

Disuguaglianza triangolare: |^(→)v + ^(→)w| ≤ |^(→)v| + |^(→)w|

Vale se ^(→)v e ^(→)w sono paralleli e hanno lo stesso verso.

Moltiplicazione per scalare

Dati ^(→)v = (x,y) ed il numero reale λ, il vettore λ^(→)v ha per componenti quelle del vettore ^(→)v moltiplicate per λ.

^(→)v = (x, y)

Es.: 2^(→)v = (2.1; 2.2) = (2,4)

^(→)v = (+1;+1;+t) = (+1;-2)

Opposto ^(→)v

Nella moltiplicazione per λ:

• Norma moltiplicata per |λ|
• Direzione resta stessa
• Verso uguale se λ ≥ 0 opposto se λ < 0

PRODOTTO SCALARE E ANGOLO TRA VETTORI

DATI DUE VETTORI ^→_v = (x₁, y₁) E ^→_w = (x₁, y₁) IL LORO PRODOTTO SCALARE, CHESI INDICA CON LA NOTAZIONE ^→_v^→_w O <^→_v,^→_w>, È ASSEGNATO DALLA FORMULA:

^→_v^→_w = x₁ x₁ + y₁ y₂ (NUMERO REALE)

= |^→_v||^→_w| cos θ

= |^→_v| sin θ_v||^→_w| sin θ_w

cos(θ_v − θ_w) = |^→_v||^→_w| cos θ

DALLE FORMULE SEGUE CHE:

^→_v^→_w > 0 ⟷ α < 90°

^→_v^→_w < 0 ⟷ α > 90°

^→_v^→_w = 0 ⟷ α = 90° O CHE UNO DEI VETTORI È VETT. NULL

ANGOLO TRA VETTORI

cos α = ^→_v→_w/_{|^→v||^→w|} ⟹ α = arccos (^→_v→_w/_{|^→v||^→w|})

ESEMPIO: DET. ANGOLO TRA ^→_v = (1, 2) E ^→_w = (3, 1)

cos α = ^→_v^→_w = ^1.3+2.1/_{√¹⁺²²√³²⁺¹} = ⁵/_√5.√10

²⁵/₅₀ = 1/_√2

α = arccos (¹/_√2) = 45° = π/₄

* SE ^→_v = (a, b), ALLORA |^→_v| = √^{a2 + b2}

RELAZIONE TRA NORMA E SCALARE(MODULO)

SIA ^→_v = (x, y) UN VETTORE ALLORA ^→_v^→_v = xx + yy = x² + y² |^→_v|² = √^→_v^→_v

Spazi Vettoriali

Un campo è un insieme K in cui sono definite due operazioni interne (somma e prodotto) che godono delle seguenti proprietà:

• P₁: ∀ x, y, z ∈ K (x + y) + z = x + (y + z) - Proprietà associativa della somma
• P₂: ∀ x, y ∈ K x + y = y + x - Proprietà commutativa della somma
• P₃: ∃ 0 ∈ K x + 0 = x ∀ x ∈ K - Esistenza dell'elem. neutro della somma
• P₄: ∀ x ∈ K ∃ y ∈ K x + y = 0 - Esistenza dell'opposto
• P₅: ∀ x, y, z ∈ K (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) - Proprietà associativa del prodotto
• P₆: ∀ x, y ∈ K x ⋅ y = y ⋅ x - Proprietà commutativa del prodotto
• P₇: ∃ 1 ∈ K x ⋅ 1 = x ⋅ x = x ∀ x ∈ K - Esistenza dell'elem. neutro del prodotto
• P₈: ∀ x ∈ K {0} ∃ y ∈ K x ⋅ y = 1 - Esistenza dell'inverso
• P₉: ∀ x, y, z ∈ K x(y + z) = xy + xz - Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

Osservazioni:

• Os_n: I numeri I e II in C sono limitazioni che qui permettono di essere definiti campi.
• Os₂: Si può parlare invece di un campo riferendosi ai num. reali (R) e num. complessi (C).

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme V in cui sono definite:

• 1. Un'operazione interna tra elementi di V, detta somma.
• 2. Un'operazione di prodotto che associa ad ogni coppia formata da un elemento di K (vettore) e un (unico) elemento di V, uno scalare.

Queste operazioni devono rispettare queste proprietà:

• SV₁: ∀ u, v, w ∈ V (u + v) + w = u + (v + w)
• SV₂: ∃ o ∈ v o + v = v ∀ v ∈ V
• SV₃: ∀ v ∈ V ∃ v ∈ V v + w = o
• SV₄: ∀ u, v ∈ V u + v = v + u
• SV₅: ∀ λ, µ ∈ K ∀ v ∈ V λ(µv) = (λµ)v
• SV₆: ∀ v ∈ V v = 1 ⋅ v
• SV₇: ∀ λ, µ ∈ K ∀ v ∈ V (λ + µ)v = λv + µv
• SV₈: ∀ λ ∈ K ∀ u, v ∈ V λ(u + v) = λu + λv
• SV₉: ∀ v ∈ V v = v

SPAN, SISTEMI DI GENERATORI E BASI

Dati n vettori v₁, v₂, ... v_n di uno spazio vettoriale V in un campo K si definisce span lineare l'insieme

Span(v₁, v₂, ... v_n) = {λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_nv_n | λ_i ∈ K}

di tutti i vettori scrivibili come combinazione lineare di v₁, v₂, ... v_n.

Si può dimostrare che Span(v₁, v₂, ... v_n) è un sottospazio vettoriale di V ed è anche chiamato sottospazio vettoriale generato da v₁, v₂, ... v_n.

Talvolta indicato con L(v₁, v₂, ..., v_n) o L(v_i ... v_n).

Esempio 1:

Se v₁ ≠ 0 è un vett. in ℝ allora L(v₁) contiene tutti i vettori λv₁.

Si tratta quindi della retta passante per l'origine e di direzione v₁.

Esempio 2:

Se v₁ ≠ 0 e v₂ ≠ 0 sono 2 vettori in ℝ allora L(v₁, v₂) contiene tutti i vettori del tipo λ₁v₁ + λ₂v₂. Si tratta quindi di:

• intero ℝ se v₁ e v₂ non paralleli
• retta per l'origine contenente v₁, v₂ se paralleli
• in questo caso λ(v₁, v₂) = L(v_i)

Esempio 3:

Se v₁ ≠ 0 è un vett. in ℝ allora L(−v₁) contiene tutti i vettori λ₁v₁ con λ ∈ ℝ.

Retta passante per l'origine con direzione v₁.

Esempio 4:

Se v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0 sono 2 vett. in ℝ³ allora L(v₁, v₂) contiene tutti i vettori del tipo λ₁v₁ + λ₂v₂. Si tratta di:

• piano passante per l'origine che contiene v₁ e v₂ se i 2 vett. non sono parl
• retta obliante per l'origine che contiene v₁ e v₂ se i 2 vett. sono parl. L₂ = L(v_i)

Esempio 5:

Se v₁ ≠ 0 e v₂ ≠ 0, v₃ ≠ 0 sono 3 vett. in ℝ³ allora L(v₁, v₂, v₃) contiene tutti i vett. λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃. Si tratta di:

• intero ℝ³ se i vett. non sono complanari
• di un piano pass. per l'origine se almeno 2 non paralleli e tutti complanari
• di una retta pass. per l'origine se tutti complanari