Teoria completa di Algebra delle matrici

Matrici

Introduzione

Def: Fissati un campo K e due numeri interi positivi m ed n, dicesi matrice ad elementi in K, una tabella A costituita da m·n elementi del campo disposti ordinatamente lungo m linee orizzontali (righe) ed n linee verticali (colonne).

Gli elementi di A si indicano con una lettera dotata di due indici, di cui il primo indica la riga ed il secondo la colonna di appartenenza dell'elemento. Ad esempio a_ij indica l’elemento della matrice A che occupa la i-sima riga e la j-sima colonna.

Una matrice A si indica con:

A =

(a₁₁ a₁₂ ... a_1n)

(a₂₁ a₂₂ ... a_2n)

(a_m1 a_m2 ... a_mn)

Una matrice A ad m righe ed n colonne è detta di tipo m × n (m,n) e in forma compatta si indica con: A = (a_ij) con i = 1, 2, ..., m e j = 1, 2, ..., n a seconda del numero di righe e colonne.

Es.

A =

( 1 -2 0 3 1 )

( -3 0 √3 π )

( -1 0 0 1 e )

A è di tipo 3 × 5 o (3, 5). L'elemento di A, a₂₄, si trova all’incrocio tra la seconda riga e la quarta colonna, ed è √3 a₁₅ = 1, a₃₁ = -1.

Se il numero di righe m ed il numero di colonne n sono diversi, con m ≠ n, si ha una matrice rettangolare.

Matrici Particolari

Se m = n la matrice è detta quadrata di ordine n.

A₃ = -1 -2 0 -3 2 0 -7 0 0

A₃ una matrice quadrata di ordine 3.

L'insieme di tutte le matrici reali di tipo m x n si indica con il simbolo K^m,n o M_m,n(k).

L'insieme di tutte le matrici reali di tipo n x n, cui è quotato l'indice con il simbolo K^n,n o M_n(k).

Una matrice di tipo 1 x n o (1,n) è detta vettore o matrice riga, composta da una sola riga.

Es.

A₅ = -1 0 0 7 5

matrice 1 x 5 o (1,5)

Una matrice di tipo n x 1 o (n,1) è detta matrice colonna, cioè composta da una sola colonna.

Es.

A₃ = 1 -3 -7

matrice 3 x 1 o (3,4)

In una matrice di tipo m x n, se si vuole indicare solo una determinata riga, si può usare il simbolo r'avanti l'indice (di modo la colonna preso in considerazione t'inuncia può indicare solo una colonna s'usa il simbolo c).

Es. Considerano il primo esempio nella prima pagina:

r₁ = 1 -2 0 3 1

c₂ = -2 0 0

Matrice Simmetrica:

Def: Considerata una matrice A ∈ M_n (R), si dice simmetrica se i suoi elementi sono simmetrici rispetto alla diagonale maggiore, tali ∀ a_ij = a_ji ; i, j=1,2,...,n.

Esempio:

A₃ = ( 1   -2   0 ) ( -2   3   5 ) ( 0   5   0 )

Matrice Scalare:

Def: Se A ∈ M_n (R), si dice scalare se tutti i suoi elementi sono pari a quelli delle diagonali maggiori che devono essere tutti uguali.

Esempio:

A₃ = ( -2   0   0 ) ( 0   -2   0 ) ( 0   0   -2 )

Matrice Identica Scalare Diagonale:

Una matrice identica è scalare e anche diagonale, ma non vale il contrario.

Identica I₂ = ( 1   0 ) ( 0   1 )

Scalare A₂ = ( -2   0 ) ( 0   -2 )

Diagonale A₂ = ( 3   0 ) ( 0   -2 )

DETERMINANTE

Considero una matrice quadrata di ordine n, A. È possibile associare alla matrice A un solo numero reale, chiamato DETERMINANTE di A, può indicare o con det A o con |A|.

Per n = 1: Essi una matrice A = (1, 1) con un solo elemento (A = (a₁₁)), il determinante di A è l’elemento stesso: |A| = a₁₁.

Per n = 2: Si dimostra che il determinante è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale, meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria.

Es.

A = ((a₁₁, a₁₂) (a₂₁, a₂₂))

|A| = a₁₁a₂₂ - (a₁₂a₂₁)

Per n = 3: Inutile non si può usare il metodo precedente ma ci sono altri modi per trovare il determinante:

1. METODO DI SARRUS: Consiste nel riscrivere nuovo alla matrice 3x3 le primi 2 colonne. Poi per calcolare il determinante basta fare la somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale, meno la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria.

   Es.

   A = (a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₁, a₁₂ a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₂₁, a₂₂ a₃₁, a₃₂, a₃₃, a₃₁, a₃₂)

   Quindi il determinante sarà uguale a:

   |A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - (a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₃a₂₂a₃₁)

2. SECONDO METODO DI SARRUS O METODO A SICILI: Metodo equivalente al primo consiste nel sommare il prodotto degli elementi della diagonale principale con il prodotto degli elementi dei triangoli con basso parallelo alle diagonale.

Matrici aggiunta e matrice inversa di una matrice quadrata

Matrici aggiunta

Def: Considero una matrice quadrata di ordine n, A, si dice matrice aggiunta di A quella matrice che ha per elementi i complementi algebrici degli elementi di A, ma questa matrice è trasposta. Si indica con agg(A).

A = ( a₁₁ a₁₂ ... a_1n ) ( a₂₁ a₂₂ ... a_2n ) ................. ( a_m1 a_m2 ... a_mn )

Considero la trasposta di A: A^T

A^T = ( a₁₄ a₂₄ ... a_n4 ) ( a₁₂ a₂₂ ... a_n2 ) ................. ( a_1m a_2m ... a_nm )

Adesso sostituisco questi elementi con i rispettivi complementi algebrici e ottengo:

agg(A) = ( a'₁₁ a'₂₁ ... a'_m1 ) ( a'₁₂ a'₂₂ ... a'_m2 ) ................. ( a'_1m a'_2m ... a'_mn )

Matrice inversa

Def: Considerato A una matrice quadrata di ordine n, si chiama INVERSA di A e si indica con A^-1 quella matrice di ordine n tale che:

A^-1A = A^-1 = I_n

A è invertibile se ∃ B ∈ M_n(ℝ) ⇒ AB = BA = I_n

A è invertibile se il determinante ≠ 0