Matematica per l'economia, teoria

Per il 1’ Teorema sulle funzioni monotone, f (x) è

strettamente crescente o strettamente decrescente in x0. Ciò

significa che non ci può essere né un massimo né un minimo.

Però, il punto di massimo o minimo relativo deve esistere per

ipotesi, allora la tesi non può essere negata, quindi la tesi è vera.

Da un punto di vista geometrico: integriamo l’annullarsi della

derivata prima nel punto X0 con lo studio del segno della

derivata prima, questo ci permette di capire dove la derivata

prima si annulla, dove è crescente e dove è decrescente per

trovare i punti candidati e gli eventuali massimi e minimi relativi.

Se X0 è un punto in cui la derivata prima si annulla e a destra e a

sinistra cresce o decresce, allora sarà un punto di massimo o di

minimo e ci serve per vedere l’andamento della funzione ovvero

la monotonia.

2) 1’ Teorema funzioni monotone: data una funzione f(x)

definita in un sottoinsieme A di R e X0 appartiene

all’intervallo ]a,b[, se la derivata prima è maggiore di zero

calcolata nel punto X0 allora la funzione è strettamente

crescente, se invece è minore di zero sarà strettamente

decrescente.

2’ Teorema funzioni monotone (viceversa del primo): f(x)

una funzione definita nel sottoinsieme A di R dove A e X0

appartiene all’intervallo ]a,b[, se la funzione X0 è strettamente

crescente in X0, allora la derivata prima sarà maggiore o

uguale di 0, se invece la funzione è strettamente decrescente

in X0, allora la derivata prima sarà minore o uguale di 0.

Dim: per assurdo f ‘ (X0) < 0, per il 1’ teorema f ‘ (X0) è

strettamente decrescente, quindi questo va a contrastare

l’ipotesi. Ciò significa che la tesi non può essere negata quindi

la tesi è vera.

3’ Teorema funzioni monotone (generalizzazione del 1’):

f (x) è definita in A sottoinsieme di R, dove A è un intervallo ]

a,b[, se f (x) è derivabile in ]a,b[, e se

f ‘ (X) > 0 per ogni X appartenente ad ]a,b[, allora la funzione

è strettamente crescente in tutto l’intervallo ]a,b[.

3) A cosa è uguale il coefficiente angolare di una retta?

Il coefficiente angolare di una retta è dato dal rapporto della

differenza delle ordinate e delle ascisse dei punti considerati.

Dunque il rapporto incrementale della funzione in x=c è il

coefficiente angolare della retta S (secante) alla curva y=f(x)

passante per A e B.

Per trovare la posizione limite della retta secante ed ottenere

la retta tangente alla curva nel punto A, dobbiamo portare il

punto B in A, cioè dobbiamo a zero l’incremento h.

Il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in A,

definito come limite per h che tende a zero del rapporto

incrementale, è chiamata “Derivata della funzione” nel

punto x=c.

4) Cos’è la derivata di una funzione?

Data una funzione y= f(x) definita nell’intervallo [a,b], la

derivata della funzione valutata nel punto x=c è il coefficiente

angolare della retta tangente.

Quando il limite del rapporto incrementale esiste, c la

indichiamo come f ‘(x).

Se invece il limite del rapporto incrementale non esiste allora

la funzione non è derivabile in quel punto.

5) A cosa è uguale il differenziale di una funzione?

È il prodotto tra la derivata prima della funzione e l’incremento

rispetto alla variabile indipendente cioè la variabile x e si

indica in dx

6) Perché i coefficienti binomiali si chiamano cosi e quali

sono le proprietà?

Questi coefficienti si chiamano cosi perché sono i coefficienti

dello sviluppo ennesimo di un binomio ovvero il binomio di

Newton.

N su 0 = 1

N su N = 1

N su N-H = N su H

N su H + N su H-1 = N+1 su H

7) Teorema di Lagrange:

f (x) una funzione definita in [a,b] derivabile in ]a,b[, allora

esiste almeno un punto c ]a,b[ tale che, f (b) - f (a) = f ‘(c)

∈

(b-a) però siccome il dominio non è un solo punto, a è

∙

diverso da b ovvero (b-a) è diverso da 0, quindi si divide a

destra e a sinistra per (b-a) e ci troviamo che f ‘(c) = f (b) – f

(a) / (b-a). Il primo membro dell’uguaglianza è il coefficiente

angolare della retta tangente al grafico nel punto x=c, mentre

a sinistra abbiamo il rapporto incrementale che sarebbe il

coefficiente angolare della retta secante nei punti A e B.

Questo significa che esiste almeno un punto c tale che la retta

tangente passante per il punto (c,f(c)) e la retta secante sono

parallele.

8) Teorema Rouche Capelli:

Dato un sistema lineare di m equazioni e di n incognite, se

costruiamo la matrice A (matrice incompleta) e la matrice B

(matrice completa), se e solo se il rango di B e il rango di A

sono uguali allora il sistema è compatibile.

9) Cos’è un sistema normale?

Date m equazioni ed n incognite, se il numero delle equazioni

è minore o uguale al numero delle incognite e il rango della

matrice A è uguale al numero delle equazioni m, allora il

sistema si dice normale.

Per definizione: m è minore uguale di n, però n è sicuramente

minore del suo successivo cioè n+1, quindi m è minore di n+1,

per questo il massimo rango della matrice B è m e siccome A è

una sottomatrice di B, il rango di A e il rango di B sono uguali e

quindi per il teorema di capelli è compatibile, quindi un

sistema normale è sempre compatibile.