Matematica Finanziaria

Calcolo Combinatorio

Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefisse regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi. In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno.

Il calcolo combinatorio fornisce quegli elementi di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi de un insieme contenente n oggetti secondo le modalità seguenti:

• a) k oggetti possono formare gruppi ordinati (che chiamiamo disposizioni).
• b) k oggetti possono formare gruppi non ordinati (che chiamiamo combinazioni).
• c) se k=n otteniamo dei gruppi ordinati che chiamiamo permutazioni.

Disposizioni Semplici

Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero k ≤ n. Si chiamano disposizioni semplici di n elementi, presi k alla volta, un gruppo formato da k degli n elementi dell'insieme dato A in modo che valgano le seguenti proprietà:

1. in ciascun raggruppamento figuriamo k oggetti senza ripetizione
2. due di tali disposizioni si ritengono diverse quando differiscono per l'ordine con cui gli stessi elementi si presentano.

Per avendo gli stessi elementi, l'ordine cambia.

Anche nel gioco del lotto l'ordine con cui esce una serie di elementi non è una caratteristica di differenziazione.

Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classe k, è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti, dei quali il primo è n.

D_n,k = n . (n-1) . (n-2) ... (n-k+1)

n = 21

k = 5

n - (k - 1) = 21 - (5 - 1) = 17

• La ripetizione non è possibile
• L'ordine è importante

Le cifre decimali:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Voglio costruire un numero di quattro cifre

k = 4

D_10,4 = 9 . 8 . 7

MAMMA MAMMA

Le sequenze delle lettere hanno lo stesso significato.

Se fossero simboli diversi, potrebbero variare in 5 fattoriale modi. Dividere per il numero di modi in cui le due A permutano (cioè cambiano posizione reciproca).

MAMMA

K_T = 5 K₁ = 2 "A" K₂ = 3 "M" K₃ = 0 K₄ = 0

^5!/_2!3! = ^{5·4·3·2·1}/_2·1·3·1 = 10

Gli anagrammi della parola "mamma" sono 10.

Se i simboli sono diversi in quanti modi possono cambiare posizione reciproca? Ci sono dei simboli che si ripetono?

n = 3 (1, X, 2)

K_T = 14

^{14·13·12·11·10·9·8·7·6}/_6!·5·3·1 = 168168

Ci sono 168168 colonne che contengono 6·1, 5·X, 3·2

^K!/_K1!K2!...Kn! = P_n^{k₁,k₂,...,k_n}

Indica le permutazioni con ripetizione su k elementi in cui il primo elemento è ripetuto k₁ volte, l'ennesimo elemento è ripetuto k_n volte.

Esempio:

^{24 10 10 10 10 24} C  L  C  C  L  L C ∈ {0, 2, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 8, 9} L ∈ Alfabeto inglese - ∑\{O}

Quante targhe possono essere realizzate? 24·1000 = 331776000

All'anno vengono immatricolate mediamente 3000000 di automobili. Questo sistema può andare avanti per circa un secolo (100 anni).

Si definiscono DISPOSIZIONI SEMPLICI di n elementi «a_k, a_k, a_k» (o della classe k) per k ≤ n, i gruppi, ciascuno di k elementi scelti fra questi dati distinti fra loro, che si possono formare in modo che ogni gruppo differisca da tutti gli altri o per la natura di qualche elemento o per l'ordine secondo cui gli elementi stessi sono collocati.

Il numero di disposizioni di n elementi della classe seconda è uguale al numero delle disposizioni della classe prima moltiplicato per gli (n - 1) elementi rimanenti:

D_n,1 = n

D_n,2 = n (n - 1)

D_n,k = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) ... (n - k + 1)

_{"IMPEDIRE CHE CI SIANO DUE ELEMENTI UGUALI"}

Considerando le 21 lettere dell'alfabeto, potremo formare parole differenti di 3 lettere ciascuna perciò:

D_21,3 = 2120918

MAI: 2 elementi uguali nello stesso gruppo

DIFF.: o per COMPOSIZIONE di elementi

o per ORDINE

Le DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE differiscono da quelle semplici per il fatto che in ciascun raggruppamento ogni elemento può anche figurare più volte. Si può dunque dire che: sono disposizioni con ripetizione di n elementi, presi k a k tutti i gruppi che si possono formare con k degli elementi dati, non necessariamente distinti, in modo che ogni gruppo differisca dagli altri o per la natura degli elementi o per l'ordine secondo cui gli elementi sono collocati.

Es. Vogliamo calcolare quanti numeri di 3 cifre si possono formare con i primi 5 numeri della serie naturale.

D_5,3 = 5³ = 125

6

Quanti sono i numeri di 7 cifre decimali tutte diverse?

• Cifre decimali: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• n = 10
• k = 7

D_10,7 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 604800

7

Quanti numeri aventi non più di tre cifre diverse si possono scrivere con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6?

D₁ + D₂ + D₃ = 40

PERMUTAZIONI

1. Trovare il numero degli anagrammi della parola "AMORE"
• n = k = 5

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

2. In quanti modi 7 persone si possono disporre in 7 sedie allineate?
• n = k = 7

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

3. Quante parole possono essere formate con le lettere della parola "SINDROME"? Quante terminano con la lettera "R"?
• n = k = 8

8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

Pⁿn!

4. In quanti modi 6 persone possono disporsi in riga per farsi fotografare?
• n = k = 6

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

5. Tra i numeri di 9 cifre diverse tra loro e diverse da zero, quanti sono quelli le cui prime due cifre sono scelte tra 5 e 2?

2 · 7! = 10080

Esercizio 5

Assumiamo come misura della probabilità di un evento il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero dei casi possibili. Calcolare la probabilità di spingere (con gli occhi bendati) un tasto numerico su una tastiera di un pc che contiene 26 tasti alfabetici, 10 tasti numerici, 52 tasti di servizio.

numero casi favorevoli

numero casi totali

E se vengano contemporaneamente le 5 dita di una mano che valore assume la probabilità di spingere 1 tasto numerico?

• 10 / 26+10+52
• 9 / 26 . 9 . 52
• 8 / 26 . 8 . 52
• 7 / 26 . 7 . 52
• 6 / 26 . 6 . 52

Esercizio 7

In una carrozza ferroviaria ci sono 44 poltrone orientate equamente (in termini di numero) nei due possibili versi di marcia del treno. 34 passeggeri si siedono occupando prima tutti i posti orientati come il verso di marcia, e poi sedendosi negli altri. Determinarne il numero di sistemazioni dei passeggeri nella carrozza.

Combinazioni semplici

• n = 34
• k = 22
• n₁ = 34 - 22 = 12
• k = 22

Se i 34 passeggeri sono suddivisi in 22 donne e 12 uomini, calcolare il numero complessivo di sistemazioni nell'ipotesi che le donne si seggano solo nelle poltrone orientate come il verso di marcia.

• n = 22
• k = 22 donne
• n₂ = 12
• k = 22 uomini