Matematica Finanziaria

Calcolo combinatorio

Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi. In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno. Il calcolo combinatorio fornisce quegli elementi di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possano formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti secondo le modalità seguenti:

• I k oggetti possono formare gruppi ordinati (che chiamiamo disposizioni).
• I k oggetti possono formare gruppi non ordinati (che chiamiamo combinazioni).
• Se k = n otteniamo dei gruppi ordinati che chiamiamo permutazioni.

Disposizioni semplici

Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero k ≤ n. Si chiamano disposizioni semplici di n elementi presi k alla volta, un gruppo formato da k degli n elementi dell'insieme dato A in modo che valgano le seguenti proprietà:

1. In ciascun raggruppamento figuriamo k oggetti senza ripetizione.
2. Due di tali disposizioni si ritengono diverse quando differiscono per l'ordine con cui gli stessi elementi si presentano.

CASA OSPITI CASA OSPITI Lazio Roma Roma Lazio Pur avendo gli stessi elementi, l'ordine cambia. Anche nel gioco del Lotto l'ordine con cui escono gli elementi non è una caratteristica di differenziazione.

Calcolo combinatorio

Oggetto del calcolo combinatorio è quello di determinare il numero dei modi mediante i quali possono essere associati, secondo prefissate regole, gli elementi di uno stesso insieme o di più insiemi. In molte applicazioni sorge il problema di sapere in quanti modi possibili si può presentare un certo fenomeno. Il calcolo combinatorio fornisce quegli elementi di calcolo per determinare il numero di raggruppamenti che si possano formare con un numero k di oggetti presi da un insieme contenente n oggetti secondo le modalità seguenti:

• K oggetti possono formare gruppi ordinati (che chiamiamo disposizioni).
• K oggetti possono formare gruppi non ordinati (che chiamiamo combinazioni).
• Se k = n otteniamo dei gruppi ordinati che chiamiamo permutazioni.

Disposizioni semplici

Consideriamo un insieme A formato da n elementi distinti ed un numero k ≤ n. Si chiamano disposizioni semplici di n elementi presi k alla volta, un gruppo formato da k degli n elementi dell'insieme dato A in modo che valgano le seguenti proprietà:

1. In ciascun raggruppamento figuriamo k oggetti senza ripetizione.
2. Due di tali disposizioni si ritengono diverse quando differiscono per l’ordine con cui gli stessi elementi si presentano.

Pur avendo gli stessi elementi, l’ordine cambia. Anche nel gioco del Lotto l’ordine con cui scrivo gli elementi non è una caratteristica di differenziazione.

Il numero delle disposizioni semplici di n elementi distinti della classe k è uguale al prodotto di k numeri interi consecutivi decrescenti dei quali il primo è n:

D_n,k = n . (n-1) . (n-2) . ... (n-k+1)

1                    2                3             4          k-1      k

21    20    19    18

n = 21

k = 5

n - (k - 1) = 21 - (5 - 1) = 17

• La ripetizione non è possibile
• L’ordine è importante

Le cifre decimali: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Voglio costruire un numero di quattro cifre k = 4

D_10,4    D_n,3 = 9 . 8 . 7

Dati: 22 palle, quali sono i possibili ordini di arrivo?

m = 22

k = 22

D_22,22 = 22 · 21 · 20 · 19 · 18 · 17 · 16 · 15 · 14 · 13 · 12 · ... · 1 = 22!

Parte da 22 e considera tutti i fattori fino a 1

Il simbolo n! si legge n fattoriale e non è altro che il prodotto di n numeri interi decrescenti a partire da n e per definizione si pone 0! = 1

Se n = k → D_n,n = P_n (permutazione su n elementi)

⁶/₂₂ = ³/₁₁

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 = 306!

= ^{6 · 5}/_{22 · 21 · 20}

G₄ = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

6! = ^{6 · 5 · 4}/₆

D_n,k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

k = n

D_n,n = P_n = n(n-1)...1 = n!

D_n,k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)

D_n,k = ^n!/_(n-k)!