Matematica per le applicazioni economiche I + maturità liceo scientifico (e scienze applicate)

MATEMATICA

Liceo scientifico - Economia all'Università

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Derivate

• g(x) = x^m
• g'(x) = m ⋅ x^m-1

• g(x) = k
• g'(x) = 0

• g(x) = e^x
• g'(x) = e^x

• g(x) = a^x
• g'(x) = a^x ⋅ ln a

• g(x) = log_ax
• g'(x) = 1 / x ln a

• g(x) = ln x
• g'(x) = 1 / x

• g(x) = sin x
• g'(x) = cos x

• g(x) = cos x
• g'(x) = -sin x

g'(x) = [g(x)]ⁿ − g₁(x) ⋅ g₂(x)

esercizi

1. y = 3x + 5e^x + 2 sin x
2. y' = 3 + 5e^x + 2 cos x
3. = 12x³ + 5e^x + 2 cos x

1. y = √x³ + 7x + 9
2. y = ^1/2(x³ + 7x + 9)
3. y' = ^3/2x^1/2 + 7 - 2x

y' = ^3/2 √x + 14x

3. altra fx definita e definita a tratti

definire continuità della funzione

g^o(x) = 2x + 2 se x ≤ 1 4x + 8 se x > 4 in 1 potrebbe essere discontinua

4. lim ∃ x che dera definire g_eo continua?

lim x → 1^- 2x + 2 = lim x → 1⁺ 4x + 8

lim x → 1^- 2x + 2 = 2 + 2 = 4

lim x → 1⁺ 4x + 8 = 4 + 8 = 4

anche se deriva senza continuità in 1

5. devo ancora verificare la terza ipotesi

g_eo(a) = g_eo(b) → g_eo(-3) = g_eo(3)

estranei agli interni dei quali la ea funzione

g_eo(-3) = (-3)² + 2(-3) = 9 - 6 = 3

sostituisci -3 nella funzione

g_eo(3) = -2(3)² + 8(3) - 3 = -18 + 24 - 3 = 3

ipotesi verificata ✓

POSSO APPLICARE IL TEOREMA

-2x+3

4x

-2x+3 = 4-2

4x = 3x-2

5(-2x+3) - 4

20x = 20x

-10x + 15 = -4

-10x = -19

10x = 19

x = 19/10 = 1.9

punto C acconsente, perché è qui intorno

per trovare la concavità (verso l’alto o verso il basso)

e i punti di flesso (dove da giù verso cambia concavità)

→ derivata seconda

y'' = 3x + 6

y'' = 3(2x) - 6 = 6x - 6

→ pongo la derivata > 0

y'' > 0

6x - 6 ≥ 0

6x ≥ 6

x ≥ 1

→ studio di nuovo la tabella

- | +

∩ | ∪

punto di flesso

ie punto ± è un punto di flesso

dove cambia la concavità

Integrali con funzioni composte

g(x) = (2x + 3)³

derivata: g'(x) = 3(2x + 3)² ⋅ 2

∫ 2x (x² + 1)³ dx

f(g(x)) g'(x)

Se all'interno dell'integrale la derivata g(x) moltiplicata per la sua derivata g'(x) appare,

applico la regola dell'integrazione somma potenze:

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + c

= ((x² - 1)⁴)/4 + C

Esercizio:

∫ √4x + 1 dx

= ∫ (4x + 1)^1/2 dx

= 1/4 ∫ 4(4x + 1)^1/2 dx

g'(x)

= 1/4 (4x + 1)^3/2/ (3/2) + c

= 2/4 ⋅ 2/3 ⋅ (4x + 1)^3/2 + c

= 1/6 (4x + 1)^3/2 + c

dx =

x = t²

(x-1)^3/2 = t

1/2 (x-1)^1/2 dx = dt

1/2 x dx = dt

dx = dt · 2x_2t

dx = 2t · dt

= ∫ x / √x =

= ∫ 2t · dt =

= ∫ 2x dt

= ∫ (t² + 1) 2 dt =

= 2 ∫ 2t^1/2 dt

= 2 (t^3/3 + t) + c

= 2 [(x-1)^3/3 · (x-1)] + c

esercizio:

\(\int x^2 \cdot e^x \, dx =\)

\(g(x) = x^2 \quad \rightarrow \quad g^1(x) = 2x\)

\(g'(x) = e^x \quad \rightarrow \quad g(x) = e^x\)

\(somma: \quad g(x) \cdot g(x) - \int g'(x) \cdot g(x)\)

\(x^2 \cdot e^x = \int 2x \cdot e^x =\)

\(= x^2 \cdot e^x - 2 \cdot \int x \cdot e^x = \left[ x \cdot e^x - \int e^x \right]\)

\(= x^2 \cdot e^x - 2 \cdot \left[ x \cdot e^x - e^x \right] =\)

\(-x^2 \cdot e^x - 2xe^x + 2e^x\)

_________________________________

esercizio:

\(\int \frac{x}{2\sqrt{x+1}} \, dx =\)

\(= \frac{1}{2} \int x \cdot (x+1)^{-\frac{1}{2}} \, dx =\)

\(g(x) = x \quad \rightarrow \quad g^1(x) = 1\)

\(g'(x) = (x+1)^{\frac{3}{2}} \quad \rightarrow \quad g(x) = (x+1)^{-\frac{3}{2}} = 2\sqrt{x+1}\)

\(somma: \quad g(x) \cdot g(x) - \int g'(x) \cdot g(x)\)

\(\frac{1}{2} \left[ x \cdot 2\sqrt{x+1} - \int 1 \cdot 2\sqrt{x+1} \, dx \right]\)

\(= \frac{1}{2} \left[ 2x\sqrt{x+1} - 2 \int \sqrt{x+1} \, dx \right]\)

\(= \frac{1}{2} \left[ 2x\sqrt{x+1} - 2 \cdot \frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} \right] + C =\)

\(= x\sqrt{x+1} - \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} + C\)

1. de _n il più semplice → m il grado ≤ del num

∫ (x - 1) / (x² + 5x - 6) dx =

1) scomporre denominatore

numeri : 6; -1

∫ (x - 1) / ((x + 6)(x - 1)) dx =

= A / (x + 6) + B / (x - 1)

= (A)(x - 1) + B(x + 6) / ((x + 6)(x - 1)) =

dato trovare i valori di A e B per scrivere in questo modo

x(A + B) + A + 6B

= (A + B) x - A + 6B / ((x + 6)(x - 1)) =

{ A + B = 1 A + 6B = -1

{ 7B = /

B = 0

A = 1

) testo con integrale

1 / (x + 6) + / (x - 1)

∫ 1 / (x + 6) dx = ln|x + 6| + C

esercizio:

_∫⁴(1+x³)/x dx =

Dominio: { x ≠ 0 } → lo zero è estremo di integrazione

→ non può essere sottituito perché la funzione in zero non esiste

1) sostituisco lo zero con un estremo e faccio tendere da estremo a zero

= lim_{t→0 ∫}⁴ (1+x³) dx =

= lim_t→0 [_∫⁴1/x + ^x2/₃] =

= lim_t→0 [ ( ln|x| + ^x2/₃) ⁴_t ] =

2) sostituisco una volta t e poi sottraggo e sostituisco con t:

= lim_t→0 [0 + ¹/₃ - (∞ + 0) ] =

= lim_t→0 [-¹/₃ - ( ∞ ) ] =

= lim_t→0 [¹/₃ + ∞ ] = + ∞

L'integrale è divergente perché tende a + ∞

Regole di derivazione

f^'(x)

• n: 0
• x: 1
• n·x: n
• xⁿ: nx^n-1
• sen x: cos x
• e^x: e^x
• a^x: a^x ln a

Operazioni

• k·g(x): k·g^'(x)
• [f(x) ± g(x)]: f^'(x) ± g^'(x)
• [f(x) · g(x)]: f^'(x)·g(x) + f(x)·g^'(x)
• [f(x) / g(x)]: [f^'(x)·g(x) − f(x)·g^'(x)] / [g(x)²]

Massimi e minimi

g^'(x) ≷ 0

• Decremento/Incremento: punto di min/max
• Derivata prima = 0

g^''(x) ≷ 0

• Concavità convessa/concava: punto al cambio di gesso
• Derivata seconda = 0

Integrali

∫ n dx

n x + C

∫ x dx

x²/2 + C

∫ xⁿ dx

xⁿ⁺¹/n+1 + C

∫ e^x dx

e^x + C

∫ a^x dx

a^x/ln a + C

∫ 1/x dx

ln|x| + C

goniometriche

∫ sin x dx

-cos x + C

∫ cos x dx

sin x + C

∫ 1/1+x² dx

arctan x + C

∫ 1/√1-x² dx

arcsin x + C