Mappa concettuale Geometri/algebra

Def. di spazio vettoriale:

Uno spazio vettoriale è un insieme V munito di una operazione di "somma" ed un operazione di "prodotto" per scalare in modo che valgano le seguenti proprietà:

1. (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u,v,w ∈ V
2. ∃ 0 ∈ V | v + 0 = v ∀ v ∈ V
3. ∀ v ∈ V ∃ w | v + w = 0
4. u + v = v + u ∀ u,v ∈ V
5. (c*d)*v = c*(d*v) ∀ c,d ∈ R, ∀ v ∈ V
6. (c + d)*v = c*v + d*v ∀ c,d ∈ R, ∀ v ∈ V
7. (c*v) + (d*v) = (c + d)*v ∀ u,v ∈ V
8. 1*v = v ∀ v ∈ V

Gli elementi di uno spazio vettoriale si chiamano vettori.

Vett. lin. indip.

S = {v₁, ..., vk} sono lin. indip. se nessuno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri vettori dell'insieme.

Sistema di generazioni

Dato S = {v₁, ..., vk} ⊂ V, esso è una sist. di gen. se ogni elemento di V può essere espresso come comb. lineare di tali vettori di S.

Base: sia V spazio vettoriale una base è una lista di vettori v₁, v₂, v_k ⊆ V t.c.: 1) 0 lin. indip.

Base canonica:

Base canonica di ℝⁿ quando le coordinate di un vettore di ℝⁿ coincidono con le sue componenti

V = ℝ³

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

Ɛ = [5/6/7]

[Ɛ]_B = (5/6/7)

Teorema della base

Se B₁ e B₂ sono due basi di uno sp. vett. V, allora B₁ e B₂, con tengono lo stesso numero di elementi

B₁ - {u₁, …, u_k} B₂ - {u₁, …, u_n} n = k

Teorema: data una matrice A_nxm

dim (Ker A) = n^o colonne - rg(A)

n^o incognite - n^o incognite

Rouche - Capelli

Sistema lineare A·X = B ammette sol.

<=> rg A = rg Ă

Teorema di struttura dello spazio delle soluz. di un sistema lineare

Se X₀ è soluz. di A·X₀ = B. Tutte le altre sol. si ottengono aggiungendo a X₀ elementi del Ker (A).

Vettori del nucleo di A sol. di A·X = B = ø_k

Matrice a scala: A_nxm se: - riga di A nulla, tutte le succ. lo sono

(Triangolare)

rgA = n^o di pivot

= primo riga 1, pivot + 1 riga 2 a dx ….

c) Base _B2 di W^⊥

B₁ = { ( ⋮ ₁ | ₁ | ₂ | ₃ ) }

A = {_{1 1 1 1}}

(_{1 2 3 4}) → vettori in della una

A tale che W = {X | Ax=0}

Applichiamo Gram-Schmidt e otteniamo una base ortogonale _B2 di W^⊥ dato da

B₂ = { ( ⋮ }

({₁|₁|₁) ({_-3|_-1|₇)} )

1) DIM. W ⊆ W^⊥

2) BASE ortog. di W

3) || dim W^⊥, posso usare i vettori

ziga di A.

4) Coord. di _e1 in base B = B₁ ∪ B₂

|_e1 · x₁ / || x₁ ||²_|| |_^^e1 · x₂ / || x₂ ||²