Insiemi numerici e intervalli

ANALISI MATEMATICA 1 INSIEMI

NUMERICI INSIEMI NUMERICI

PRINCIPALI INSIEMI

NATURALI: ne fanno parte: {0, 1, 2, 3…}

ℕ,

INTERI: ne fanno parte: {… -2, -1, 0, 1, 2, 3…}

ℤ,

RAZIONALI: ne fanno parte: {

ℚ, : ≠ 0 ∧ , ∈ ℤ ∧ , }

REALI: ne fanno parte: {-1, 0, 1,

ℝ, }

√2,

COMPLESSI: : { + i} con i = immaginari

ℂ ℝ

Vale sempre la seguente relazione: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

STRUTTURA DI ℚ

È un insieme dotato di 2 operazioni BINARIE: somma e prodotto

SOMMA:

1) Commutativa

∀ ℚ: + = +

,

2) Associativa

( ) ( )

∀, , ∈ ℚ: + + = + +

3) Esistenza elemento neutro

∃0 ∈ ℚ; ∀ + 0 =

,

4) Esistenza elemento opposto

∀ ∈ ∃ ∈ : + = 0

,

PRODOTTO:

1) Commutativa

∀ ∈ ℚ: ⋅ = ⋅

,

2) Associativa

( ) ( )

∀ ℚ: ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

, ,

3) Esistenza elemento neutro

∃ 1 ℚ ∶ ∀ ⋅ 1 =

,

4) Esistenza elemento opposto

∀ ≠ 0, ∃ℚ: ⋅ = 1

GENERICA:

1) Distributiva somma/prodotto

( ) ( ) ( )

∀ ℚ: ⋅ + = ⋅ + ⋅

, ,

Un insieme Q dotato delle due operazioni binarie (somma e prodotto) che soddisfano le

proprietà elencate, viene detto CAMPO. In questo caso campo RAZIONALE.

pag. 1

Revello Daniele

ANALISI MATEMATICA 1 INSIEMI

NUMERICI

SOTTRAZIONE: (−)

∀ ∈ ℚ: − ⇔ +

, 1

DIVISIONE: ∀ ℚ ∶ = ( )

,

PROPRIETA’: è un campo totalmente ordinato che soddisfa le premesse di somma e

ℚ

prodotto. In è definita una relazione d’ordine:

ℚ

 ∀ℚ: ≤

 ∀ ∈ ℚ: ≤ ∧ ≤ ⇔ =

,

 ∀ ∈ ℚ ∶ ≤ ∧ ≤ ⇔ ≤

, ,

Le 3 elencate sono le proprietà d’ordine di ℚ.

PROBLEMATICA: Nel 500 a.C. circa, sorse un problema matematico riguardo la completezza

del campo Presi OA distanza di valore 1 e AP, sempre di valore 1, due cateti di un

ℚ.

triangolo rettangolo orientato con la base sull’asse si nota che l’ipotenusa del triangolo

ℚ,

OP riportata con traslazione sull’asse non è esprimibile attraverso il rapporto m/n del

ℚ,

campo Il valore risulta non esprimibile da definizione. È necessario dunque inserire

ℚ. √2

un campo più denso e completo rispetto ℚ.

STRUTTURA DI ℝ

è la retta reale, continua in ogni punto e senza salti. Risulta più