Guida su come risolvere alcuni esercizi Algebra lineare

W

Wit

(c) W

Se Trovare

devi = Aggiungi

C ) indip.

vert

2

+ lin

=

.

. . .

Trovare base di un sottospazio scritto con equazioni:

(2) 03

V

w)/zz w

+ =

-

((x 7

y

u v

4

= , , ,

, , ----

· in

ed MATR

Trasforma . .

Riduci Scald

· a

Scrivi Scala

Rid

Sist ea

· a

.

. .

variabili libere vincolare

Trova

· e

libere

· consequenza

Scrivi e vincolate di

Trova

es Var

. .

2)

(U Libere S

ES = X =

. , E Corrispondenti

Scrivi vert .

Trovare equazioni cartesiane per sottospazio scritto normale V

(3) 1177

<(1 01

V 0 1

= .

, , ....

• scrivi sistema (ax + by + cz + dw = 0) corrispondente (a, b, c, d) e riduci in forma a

scala

• trova variabili libere e vincolate

• scrivi variabili libere e determina corrispondenti variabili vincolate

• Dai vettori trovati scrivi il nuovo sistema in x, y, z, w

VI e dim

Se V dimV

V

VIt

è 1

Richiesta

la anche C I così Ho

+ eg

-rolgo

= un

. . .

Vincolata

una var in

.

meno

Trovare base di un sottospazio scritto in matrici:

(4) • scrivo una grande matrice e la riduco a scala

• Quello che rimane è la base corrispondente

V V indiD.

Aggiungo

VI M2

t 2 (IR)

Se vert lin

chiedono C + >

mi = - .

. . .

,

Trovare base di un sottospazio scritto in sistema equazioni corrispondente ad una matrice

(5) 03

((9)/(a-a

u = • scrivere matrice corrispondente e ridurla a scala

• Trovo variabile libera e vincolata

• scrivi variabili libere e trovo di conseguenza variabili vincolate

• Trovo vettori e li riscrivo in matrici <(2) (22)

(6) Trovare equazioni cartesiane a partire da sottospazio scritto in matrici v = ,

• Scrivo matrice grande e riduco in forma a scala

• Scrivo sistema corrispondente e trovi variabili libere e vincolate

• Fissate variabili libere trovo vincolate di conseguenza

• Risocrivo sistema con i nuovi vettori trovati ma in a11 a12 a21 a22

(7) Trovare una base di un sottospazio In R <3 [x]:

a

b 0 3

c

a + =

-

-

I

(ax da 3b

bx

u c

3 0

+

+ +

cx

= + -

:

• scrivo matrice e riduco a scala

• Scrivo sistema corrispondente e trovo variabili libere e vincolate

• Fisso variabili libere e trovo vincolate di conseguenza

• Scrivo vettori e la base di conseguenza ma in questa maniera:

-1 0

1-3

no 2)

se x3 3x3

(

, x

. , 2)

x +

+

- -

( , -

0 0

1

1

- , ,

,

x3x2 1

X [X 13

IR13[X] X2

base

ha chiedono

X aggiungere

canonica se

Da

=

, ,

, base

completare

di

WaiR4 (4

(0

Dato 4 0)

(1 3) Wz 1

0

1) 0)

0 1

0 Wa

1

2

Wz

<1

We

:

· = =

-

= -

- ,

,

1 ,

, ,

,

,

,

, , ,

, ,

, .

DIPENDENZA

RELAZ TRA

DETERMINARE UNA Wa

DI Wa

Wa

WI , ,

. , .

I

100 1 100 1

10 1

0 W1 WI

W1 -

- - 02

1013 18

0014

Wz W3

Wz W1 -

- 0014

10

02 02-10

Ws Wy

W3 Wz

- -

04

44 10 04-14 14

Wa Wa

Wa-4W 4W1

-

- -

100 1 W1

- 0

dip

=> Relaz lineare 3Wn wa

di W2 2Wz

: =

+

-

10

02 - -

W3 .

.

- (la Riga she Siannulla

0014 Wi

Wz -

0000 Wa-4W1-2W3-W2 We

+

)

W

Base di caries

Eg

in

(scritte +

vent

· :

.

. (4

(0 4 0)

(1 3) Wz 1

0

1) 0)

0 1

0 Wa

1

2

W2

(1

W1 = =

-

= -

- ,

,

, ,

, ,

,

,

,

, . ,

, ,

, .

100 1 100 1

- -

1013 10

02 - 1413

[11 (0 0

01

-1)

0 (0 -1

Basew 0

10

02 2

0014 : .

- .

.

. .

. , .

44 10 0000

-

CARTES

Eq :

.

S d

a a

0

a = =

- b (d d)

4d

D 4d 2d

0

2c = = -

-

- - ,

> ,

,

-

b 2d 4(1 1)

4

4d 0 2

+ c =

= -

- - , ,

,

& 4y p

2z

X w

+

) =

-

= -

U lin

Sistema

di Scrina

Base U in :

· X3X9

, 0

10 3 7

(1 0) -

-

S , , ,

,

vincolate)

8 STROVO e

x2 libere

2x3 var

x1 +

=

- - 1)

. 0

1

1) (1

(0 - ,

,

, ,

0

X2 + X4

2x3 =

- /Vcw)

U solosp

e W

verifisare di

che un

· .

S 113

40

U 0

/1

01 1

1 Base .

indip

Gen

-2 Sist

: lin

=

, , .

. . .

, ,

, 4z 0

wix 2y + w =

-

- S 4

4

0 0

+ + 0 Ok

=

-

i

verifico l'equazione

Soddistino di W

che velt : 1

1

. +

2 0 Ok

=

-

Un L intersez

:

· :

Bu (42)

(41)

: , (e2

BL <es 1

: , (9)

buz

v +

aun =

=

limpongo in L :

(b) duz

su +

= , d

Sist e

diso

geb

e

Facio in funz

Trovo sostituisco

. .

a d canonica

rispetto base

Determinare alla

associata

matr

· :

.

DATI :

d 8)

(1 (1 2)

4

2 = -

-

, .

,

,

9 (0 (0

0) 3)

6

3 = - -

, . .

, P(b)

di

10 è 12

1

Relativo

-1) 2

V -3 a

autovett =

= -

= .

, ,

D(0 10 6

1) 2)

-3 =

-

,

, , ,

abc

def

A = ghk (

(r)

(

(r)

all = = =

· 9) 2h

+

)

( (

=

a() [3D

=

=

· (8)

a)) S

=

· f h sostituisco

a d e e

b k

<

Trovo g ,

, ,

, , ,

,

AB

Determinare f base

Rispetto alla

associata 9

B f

, ,

((1 113

B 1)(0

(0

8)

1 0

1

= -

1 -

,

, .

, .

,

285

4 66

-

-

A =

ABB Fras

Arbia A

= .

f B.r. id

, S ↓ 4) base (Datal

Risp

F

Matr ass can

a .

1 .

.

.

-

A 10 I 4 66

-

-

↑ 35 3

-

002

At

A sempre

DIAGONALIZZ diagonaliz

ORTOGONALM Se Simm

matr Sono

2

=

= . .

.

BIAGONALIZZ Se-Pol Ga Reali

Rad

CaraIT .

.

& .

Molt Geometrica

Molt alg . = .

.

SIMILI e

(Se

se è

Diagonalizz B lo

l'altra

diag

simili

A anch

una

sono e

e .

- .

I

I

I Stesso pol CARATT .

.

stessi avioral .

molteplicità

Stessa

Determinante : 1 st

A1

dett0 invertibile =

· A

et

&

le biett

iniettivar surient

= =>

+ .

- isomorfismo

Per indip-

lin Schembe

Geom ) >

= .