Formulario di Statistica

NOME FORMULE NOTE AGGIUNTIVE

Distribuzione n

condizionata di Y ij

¿

associata alla modalità n i 0

x di X

i

Statisticamente n × n

indipendente i 0 0 j

=

n

ij N

Contingenza −^

n n

ij ij

=

c ^

ij n ij

Chi quadrato 2

^

( )

−

n n

∑ ∑ ij ij

2 [

2

ℵ = ℵ ∈ [

0 ;+∞

^

n

i j ij

Contingenza quadratica √

√

media 2

^

( )

−

n n

2

1 1 ∑ ∑ ij ij

ℵ

= =

Y ^

N N n

i j ij 5

Formule Statistica I →

Indice Cramer Min. Massima

Y indipendenza.

C= →

Max. Massima

√ ( )

mi n s−1 ,t−1 dipendenza.

[ ]

∈

C 0,1

Media di Y condizionata

a X=x t

1

i ∑

( ) =

μ x y n

Y i j ij

n j=1

io

Media t

1 ∑

=

μ y n

Y j 0 j

N j=1

s

1 ∑ ( )

¿ μ x n

Y i i 0

N =1

j

Indipendenza statistica =f =f

f =x

YIX YIX= x YIX= x

1 i s

Indipendenza statistica ( ) ( ) ( )

in media =μ =μ

μ x x x

Y 1 Y i Y s

Devianza spiegata di y s

∑ 2

( )

( )

= −μ

D μ x n

S Y i Y i 0

i=1

Devianza totale di y t

∑ 2

( )

= −μ

D y n

Y j Y 0 j

j=1

Devianza residua di y s t

∑ ∑ 2

( )

( )

= −μ

D y x n

R j Y i ij

i=1 j=1

Scomposizione della =D +

D D

devianza Y S R ↔

Rapporto di Min. Y indipendente in

correlazione ( )

=0

D .

media da x S

D D ↔

Max. Y dipende

2 S R

ɳ = =1−

y D D perfettamente in media da x

Y Y ( )

=0

D .

R [ ]

2

ɳ ∈ 0 ; 1

Con: y

x

Se è quantitativa si

possono calcolare entrambi

gli indici di correlazione.

Regressione lineare ( )

=0

μ x

( )

semplice = +

μ x β β x Con: ε i

Y i 0 1 i 6

Formule Statistica I

Pendenza x∗¿

¿ ¿

μ

Y

Residuo = − ^

e y y

i i i

Errore complessivo ∑ ∑

2 2

( )

= −^

e y y

i i i

Retta MQ ∑ ( ) ( )

−μ −μ

x y C σ

( )

Cov X ,Y

i X i Y XY XY

= = = =

b ∑

1 2 2

D ( )

Var X

( ) σ

−μ

x X

i X X

=μ −b

b μ

0 Y 1 X

Devianza SST n

∑ 2

( )

= −μ

D y

Y j Y

j=1

Devianza SSR n n

∑ ∑

2 2 2

( ) ( ) ( )

= ^ −μ = ^ −μ =

D y y b D

^

SL i i Y 1 X

Y

i=1 i=1

Devianza SSE n

∑

2 2

( )

=¿ −^

e y y

i i i

i=1

n n

∑ ∑

2

( )

= −μ = ¿

D e

RL i E

i=1 i=1

Scomposizione =D +

D D

devianza Y SL RL ↔

Coefficiente di Min. Tutti i valori previsti

D D

determinazione sono uguali alla media

2 SL RL

= =1−

r ( )

=0

D .

❑ D D SL

Y Y ↔

Max. Quando non ci

sono errori, tutti i punti sono

( )

2

C XY sulla retta, quindi ho

2 2

D

( )

b D C previsioni perfette

X

1 X

2 XY

= = =

r D ( )

=0

D .

X

D D D D RL

Y Y X Y [ ]

2 ∈

Con: r 0 ; 1

❑

x

Se è quantitativa si

possono calcolare entrambi

gli indici di correlazione.

Errore quadratico 7

Formule Statistica I √

√

medio di previsione n

D 1 ∑ 2

RL ( )

^

= = −

σ y y

RL i i

n N i=1

Regressione con distribuzioni

Medie marginali

doppie: s

1 ∑

=

μ x n

X i i 0

N i=1

t

1 ∑

=

μ y n

Y j 0 j

N j=1

Regressione con distribuzioni n

∑ 2

( )

Devianza di X e Y = −μ

D x n

doppie: X i x i 0

i=1

n

∑ 2

( )

= −μ

D y n

Y j Y 0 j

j=1

Regressione con distribuzioni

Codevianza ∑ ∑

doppie: ( ) ( )

= −μ −μ

C x y n

XY i x i y 0 j

Regressione con distribuzioni

doppie: n

∑

DSL 2

( )

= ^ −μ

D y n

^

SL i i 0

Y

i=1

Regressione con distribuzioni

doppie: ∑ ∑ 2

( )

= −^

D y y n

DRL RL i i ij

Codevianza: Unità concordanti:

∑ ( ) ( )

−μ −μ >0

x y

( ) ( )

= −μ −μ

C x y i x i y

XY i x i y Unità discordanti:

( ) ( )

−μ −μ <0

x y

i x i y

Covarianza C

2 XY

=

σ XY N

Coefficiente di Con: −μ −μ

x y

correlazione lineare i x i y

= =

z e z

x y

σ σ

i i

x y

∑ z z

σ [ ]

∈

r 1 ;−1

x y

XY

= =

r i i XY

XY σ σ N =¿

r →

1 Tutti I valori

X Y XY

stanno su una retta

∀ >0

r

crescente ( ).

=¿

r →

0 Incorrelazion

XY

e. =¿

r →

-1 Tutti I valori

XY

stanno su una retta

∀ <0

r

decrescente ( ). 8

Formule Statistica I =1→

r

Coefficiente di Perfetta

S

correlazione tra N concordanza.

∑ 2

( )

−p

6 p

graduatorie x y

i i √

i=1 2

(Spearman): =1− =

r r

S ( )

2 −1

N N 9

Formule Statistica I PROBABILITÀ

CONVENZIONI:

A A incluso in B.

B:

→

A B: A implica B.

0 ≤ P(E) ≤ 1 per qualsiasi evento E

P(E)=1: evento certo

P(E)=0: evento impossibile

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE:

Supporto: valori che può assumere.

Distribuzione di probabilità: con quali probabilità si possono assumere i valori del supporto.

NOME FORMULA NOTE AGGIUNTIVE

Evento unione Collettivamente esaustivi:

∪

U= A B

∪B

C=A

Evento intersezione Disgiunti: ∅= A ∩ B

D= A ∩ B

Approccio classico casi favorevoli

( )=

P E casi possibili

Assiomi ( )

¿ =1−P ( )

a P Á A

( ) ( )

∪

¿ =P +

b P Á A Á P( A)

( ) ( )

¿ + =1

c P Á P A

Conseguenze:

( )

∅

¿ =0

a P ( )

∪ ∪

¿ =1

b A B=S → P A B

( )=P ( )

∪ ∪

¿ +

c A B=∅ → P A B A P(B)

Evento complementare ( ) =1−P ( )

P Á A

Regola della somma (o

additiva) ( )=P ( )

∪ +

P A B A P( B) -

( )

P A ∩ B

Disposizioni con n oggetti di classe k

ripetizione (r ) k

=n

D n ,k

Disposizioni semplici n oggetti di classe k

n! ( ) ( )( )

= =n +1

D n−1 n−2 n−k

n ,k ( )

n−k !

Permutazioni Di classe n 10

Formule Statistica I =D =n

P !

n n , n

Combinazioni n oggetti di classe k

( ) n!

(Coefficiente binomiale n

= =

C

di Newton) n , k ( )

k k ! n−k !

Indipendenza statistica |

( )=P(

¿

a P A B A)

( )=P(B)

¿

b P B∨A

¿

c Regola del prodotto:

( ) ( )

=P

P A ∩ B A P( B)

Probabilità totali La probabilità di A si ottiene

∑ come media pesata delle

( )= ) (C )

P A P( A∨C P

i i prob di A dato C come pesi.

1

Probabilità congiunta |

( )=

P B A → Indipenden

(A

P ∩ B) 2

|

( )=

P B A za.

P( B) |

( )

P B A ≠ P( A∨B)

Formula di Bayes (A∨C ) )

P P(C

| i i

( ) =

P C A

i P( A) θ : parametro (individua

{ } la famiglia).

( ) ∈ ʘ

FAMIGLIE f x ; θ : θ ʘ: spazio parametrico

PARAMETRICHE (ampiezza famiglia).

(=modello

probabilistico)

Funzione di probabilità Assiomi:

¿ (

a f x)≥0

Funzione di probabilità:

( )=P ( ) ∑

=x =P(A )

f x X ( )=1

¿

b f x

x

Funzione di ripartizione:

( )=P(X

F x ≤ x)

Valore atteso (o ∑

speranza matematica) ( )= ( )

μ=E X xf x

Varianza ∑

2 2

( )= ( )

=Var (x)

σ x x−μ f

Distribuzione uniforme Stessa probabilità di primi n

numeri naturali

1

discreta ( )=

f x ,n n

x=1,2,3 … n

( )

p∈ 0,1

n+1

( )=

E x

:

Media 2 11

Formule Statistica I 2 −1

n

( )=

Var x

Varianza: 12

Distribuzione di Per variabili binarie, cioè:

x=1: SUCCESSO (A si

Bernoulli x 1−x

( )= ( )

P X=x p 1− p verifica)

(

X Be p) x=0: INSUCCESSO (A non si

{ }

∈

x 0,1

Supporto: verifica).

Spazio parametrico:

( )

p∈ 0,1 ( )=p

E x

:

Media ( )= ( )

Var x p 1− p

Varianza:

Distribuzione binomiale Insieme di n Bernoulli, prove

IID:

( )

(n

X B , p) n n−x

x

( )= ( )

P X=x ; n , p p 1− p -identiche

x -indipendenti.

Numero di prove:

{ }

∈

n 0 ,+ ∞ { }

∈

x 0 , n

Supporto:

Spazio parametrico:

( )

p∈ 0,1 ( )=np

E x

:

Media ( )=np ( )

Var x 1− p

Varianza:

Distribuzione di -La Poisson non è che la

somma della Bernoulli.

Poisson −

x λ

λ e

( )=

f x ; λ ( ) n

λ

X Poi(λ) x! −λ

=e

lim 1+

- n

{ }

∈

x 0 ,+∞

Supporto: n →∞

-riproduzione per somma

λ>0

Parametro:

( )=np

E x λ

: =

Media ( )=

Var x λ

Varianza:

Distribuzione uniforme Assiomi:

¿ (

a f x)≥0

continua b

∫

( )= ( )

<b

P a< X f x dx +∞

∫ ( )

¿

b f x dx=1

a −∞

Media: +∞

∫ ( )

=E(X )=

μ xf x dx

X −∞

Varianza: + ∞

∫

( )

2 2 2

( ) ( ) ( )

=E = −μ

σ X−μ x f x