Formulario di Fisica

Queste formule si applicano ignorando la resistenza del mezzo (l’aria). Se consideriamo l’aria e la sua densità

dobbiamo tenere in conto che il corpo sentirà una certa forza che ne contrasta il moto. Conoscendo questa

forza possiamo definire la velocità limite (o terminale) del corpo:

1 2

2 √

= → =

lim

2

In questa formula è un coefficiente determinato sperimentalmente (variabile), è la densità del mezzo

−3

( ) e è l’area della sezione del corpo.

Dinamica del punto

Leggi di Newton: il legame tra la forza e lo stato di moto di un corpo è dato dalla famosa (seconda) legge

di Newton:

= → =

Da questa formula segue che è necessaria una forza per poter muovere un corpo (ovvio). La terza legge di

Newton afferma inoltre che, se un corpo esercita una forza su un corpo allora anche eserciterà una

,

forza di modulo uguale e verso opposto alla prima:

= −

Quantità di moto: si definisce quantità di moto il vettore:

= → =

Che ritroviamo nella forma più generale della seconda legge di Newton.

Impulso: si chiama impulso di una forza la quantità che provoca una variazione della quantità di moto. Se la

massa è costante:

= ∫ = ∫ = ∫ = − = =

In assenza di forze applicate la quantità di moto rimane costante, ovvero si conserva.

Forza centripeta: sappiamo che in un moto circolare l’accelerazione del corpo è ortogonale alla traiettoria

in ogni suo punto. Possiamo associare a questa accelerazione una forza, detta centripeta:

2

= =

Forza peso: la forza associata all’accelerazione gravitazionale è proporzionale alla massa del corpo

=

e costante se è costante:

= =

Reazione vincolare: Se un corpo rimane fermo su un piano, ad esempio, esercita una forza diretta verso

il basso sul piano. Il piano a sua volta spinge il corpo con una forza perpendicolare. Chiamiamo questa forza

impressa dal piano e agente sul corpo reazione vincolare o forza normale:

+ = 0 → = − ↔ = −

Forza di attrito radente: applichiamo una forza parallela al piano orizzontale ad un corpo appoggiato

su di esso. Il corpo non inizia a muoversi fino a quando non supera un certo valore, uguale alla forza che

tende a “tirare” il corpo in direzione opposta a quella della forza impressa. Questa forza si chiama forza di

attrito radente ed è data dalla formula: ≤

= − → {

>

Nel primo dei casi sopra il corpo resta fermo, poiché la forza non supera quella di attrito statico . Una

volta che il corpo inizia a muoversi, quindi quando si verifica la seconda condizione sopra, questo risente di

un’altra forza che si oppone al moto, quella di attrito dinamico:

= − → + = <

I coefficienti e si dicono rispettivamente coefficiente di attrito statico e coefficiente di attrito dinamico.

Piano inclinato: consideriamo un corpo appoggiato su un piano inclinato di un certo angolo Se non

.

agiscono forze di attrito possiamo scomporre le forze lungo gli assi:

→ − cos + = 0 → cos = → sin =

Se invece agissero forze di attrito dovremmo tenerne conto per studiare le condizioni di equilibrio o di

movimento lungo il piano: sin ≤ = cos → tan ≤

Il movimento lungo il piano è descritto da: (sin

→ − cos + = 0 → sin − = = − cos )

Tensione dei fili: quando un filo è fissato ad un corpo e viene impressa una forza all’estremità libera si dice

che il filo è in tensione. Il valore della tensione è esattamente uguale alla forza che sente il corpo.

=

Nella direzione contraria a quella del moto la tensione sarà uguale alla forza ma di segno opposto = −.

Forza elastica: la forza elastica è quella con direzione costante e modulo proporzionale alla distanza dalla

posizione di equilibrio. Consideriamo una molla elastica: per allungarla di una certa lunghezza (o per

comprimerla) dobbiamo imprimere una forza, data da:

= −

Dove è la distanza dalla posizione di riposo e è una costante detta costante elastica che dipende dalla

molla.

Pendolo semplice: un pendolo semplice è costituito da un punto materiale appeso tramite un filo ideale.

La posizione di riposo è quella verticale, per cui vale

=

Se spostiamo il corpo dalla posizione di equilibrio questo inizierà ad oscillare. Vogliamo studiare questo moto

in assenza di attrito. Le forze agenti sul filo sono e , perciò il moto è regolato da

+ =

Il periodo delle oscillazioni vale (con la lunghezza del filo):

2

= = 2√

Lavoro ed energia

Lavoro: si definisce lavoro infinitesimo di una forza il prodotto scalare tra la forza (o meglio, della sua

proiezione lungo la direzione dello spostamento) e lo spostamento:

= ⋅ = cos ⋅ = ⋅

Se vogliamo trovare dobbiamo risolvere l’integrale di linea della forza lungo un certo percorso:

= ∫ ⋅ = ∫ cos = ∫

Vedremo più avanti il calcolo del lavoro per le forze più importanti.

Potenza: la potenza corrisponde al lavoro per unità di tempo:

= =⋅ =⋅

Energia cinetica: la definizione standard di energia cinetica è

1 2

=

2

Possiamo usare questa formula per calcolare il lavoro compiuto da una forza da un punto ad un punto

.

Infatti:

1 1

2 2

= ⋅ = = = = → = ∫ = − = − =

2 2

Questo prende il nome di teorema dell’energia cinetica e afferma che il lavoro compiuto da una forza nello

spostamento da a è uguale alla differenza di energia cinetica nei due punti.

Lavoro della forza peso: il lavoro della forza peso per un generico spostamento da un punto ad

un’altezza ad un punto ad un’altezza vale:

ℎ ℎ

) )

= −(ℎ − ℎ = −(ℎ − ℎ = −ℎ

Si nota che il valore di non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni iniziale e finale.

Lavoro della forza elastica: il lavoro della forza elastica per uno spostamento lungo l’asse vale

−

1 1

2 2

= ∫ − = − ∫ = − ( − )

2 2

Anche in questo caso il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale e non dal precorso compiuto.

Lavoro della forza di attrito radente: il lavoro compiuto dalla forza di attrito si scrive

= ∫ = ∫ − = − ∫ = −

Il lavoro della forza di attrito è sempre negativo e non può essere scritto come differenza tra due punti, poiché

dipende dal percorso.

Forze conservative: le forze per cui il calcolo del lavoro non dipende dal particolare percorso compiuto si

dicono conservative. Grazie a questa affermazione sappiamo che qualunque sia il percorso compiuto il lavoro

non cambia e quindi per percorsi chiusi vale sempre

∮ = 0

Le forze per cui il lavoro dipende dal percorso scelto, come la forza d’attrito, si dicono non conservative o

dissipative.

Energia potenziale: la conservatività delle forze permette di definire in ogni punto dello spazio una funzione

che dipende solo dalla posizione del punto. Anche questa può essere utilizzata per calcolare il lavoro, infatti:

= −( − ) = −

L’energia potenziale può essere definita solo per forze conservative, per le quali il lavoro si esprime come

l’opposto della variazione dell’energia potenziale stessa.

Energia potenziale della forza peso: l’energia potenziale è tanto maggiore quanto più il punto considerato

si trova in alto. Calcolando l’integrale della forza peso ricaviamo:

ℎ ℎ

= ∫ = ∫ = ℎ − 0 = ℎ

0 0

Energia potenziale elastica: l’energia potenziale elastica aumenta all’aumentare della distanza dalla

posizione di riposo della molla. Calcolando l’integrale otteniamo:

1 2

=

2

Energia meccanica: sappiamo che per le forze conservative valgono

= − = − = − =

Eguagliando le due equazioni otteniamo:

− = − → + = +

Queste somme prendono il nome di energia meccanica nei punti e rispettivamente. Dalle equazioni scritte

vediamo che l’energia meccanica resta costante durante il moto.

= + =

In presenza di forze non conservative l’energia meccanica non resta costante e la sua variazione è uguale al

lavoro delle forze non conservative. L’energia meccanica del sistema diminuisce durante il processo

= −