Formulario Completo per l’Esame di Analisi Matematica I

Da cui, ad esempio, segue che: 2 2 )

arctan = ( definitivamente per → 0

Infatti: 2

arctan

2 2

arctan = ∙

2

Ove: 2

arctan

|()| = | | ≤ 1 definitivamente per → 0

2

Nota invece che: 2 2 ′

definitivamente per

)

= ( → 0 E FALSO

Infatti, com’è noto: 2 2

arctan arctan

2 2

arctan = ∙ ma ↛ 0 per → 0

2 2

Invece, si mette in evidenza che è vero che: 2

arctan

2 2

arctan = () definitivamente per → 0, infatti arctan = ∙ = ∙ () = ()

2

2

arctan

2 2

arctan = () definitivamente per → 0, infatti arctan = ∙ = ∙ () = ()

2

+

|()|

visto che ≤ definitivamente ∀ℝ

() ∈ (()),

Notasi che, più propriamente, la notazione corretta sarebbe ma, pur con abuso di

() = (()).

notazione, è oramai comunemente accettata la notazione del tipo

Notasi pure il significato grafico, analogo a quello già

()

fornito per o piccolo ma invertendo i ruoli di e

(). () = (())

Nel grafico fornito, ad esempio,

→ >

definitivamente per poiché, come si

0 ()

∃ > 0 ≤

| |

evince, t.c., semiequivalentemente, ()

(

, ∀ ∈ − , + )\{}, ∀ > . Questo

0

() ()

comporta quindi che giace sopra

∙ ()

definitivamente, mentre, per converso, giace

()

() ,

sopra con opportuno così che il rapporto ()

sia limitato (semiequivalentemente).

Nicola Arangino – University of Rome “Tor Vergata”

Sommatorie e calcolo combinatorio

Formula Example

3

( + 1) 3(3 + 1) 2 ∙ 2 ∙ 3

∑ = ∑ =1+2+3=6= = =6

2 2 2

=1 =1

2

( + 1)(2 + 1) 2(3)(4 + 1)

2 2

∑ = ∑ = 1 + 4 = 5 = =5

6 6

=1 =1

3

)

(1 − 2 ∙ (1 − 8) −14

∑ = ∑ 2 = 2 + 4 + 8 = 14 = =

1− 1−2 −1

=1 =1 = 14

Progressione geometrica:

+1

1 −

∑ = 1−

=0

!

( )= (

! − )!

−1 −1

( )=( )+( )

−1 + 1):

Dalla precedente (per sostituzione di con

+1

( )= ( )+( )

−1 2 2 2

Potenza generica di binomio 2 0 2−0 1 2−1 2 0

( + ) = ( ) + ( ) + ( )

0 1 2

− 2 2 2

( + ) = ∑ ( ) 2 2

= + +

1∙2 1∙1 2∙1

=0 2 2

= + 2 +

( )

Nota che, per rammentare i coefficienti binomiali del tipo che compaiono in una potenza generica di

binomio, si può sfruttare il Triangolo di Tartaglia riportato di seguito:

Nicola Arangino – University of Rome “Tor Vergata”

Proprietà generali delle sommatorie (, ℕ)

Rule Expression

Proprietà associativa-dissociativa [()

∑ ± ()] = ∑ () ± ∑ ()

[ ] [ ]

(stabilità rispetto alla somma algebrica) = = =

Proprietà distributiva ∙ ∑ () = ∑ ∙ ()

(stabilità rispetto al prodotto esterno) = =

+ +

Scomposizione ∑ () = ∑ () + ∑ ()

(ovvietà) =1 =1 =+1

+

Traslazione degl’indici ∑ () = ∑ ( − )

ℕ)

(di un =1 =1+

Fattoriali da sapere a memoria (eccetto i contrassegnati con *, forniti a scopo informativo)

Fattoriale 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!* 8!*

Valore 1 (conv) 1 2 6 24 120 720 5,040 40,320

→ +∞ ∈ ℕ,

Gerarchie di infiniti (per con ma facilmente riconducibili al caso dei limiti di funzione)

Si ha che:

log ≺ √ ≺ ≺ ≺ ≺ ! ≺ per → +∞

≺ > 1.

Ove il simbolo denota “infinito di ordine inferiore” e Ciò significa che, a titolo di esempio:

log = ()

= (!)

! = ( )

D’altra parte, si osservi che:

≺ sse <

Queste relazioni sono assai utili al fine della risoluzione di limiti di successione e di uso così comune da

renderne necessario uno studio mnemonico.

Formula di Stirling (fornita a scopo informativo)

Si ha che:

! ∼ ( ) per → +∞

√2

Nicola Arangino – University of Rome “Tor Vergata”

Proprietà dell’integrazione

Rule Expression

Calcolo dell’integrale definito

(Formula fondamentale del Calcolo Integrale di ∫ () = () − ()

Torricelli-Barrow) (,

∀ ∈ )

Addittività rispetto alla zona di integrazione ∫ () = ∫ () + ∫ ()

Addittività rispetto alla funzione integranda* ∫[ + ] = ∫ + ∫

∀ ∈ ℝ

Stabilità rispetto a costante reale* ∫ ∙ () = ∙ ∫ ()

() ≤ ∫|()|

|∫ |

Disuguaglianze triangolari dell’integrazione

sup|()| |

∫ () ≤ ∙ − |

[, ]

Sia , ∈ ℝ, t. c. <

∫ () ≔ − ∫ ()

“Inversione” della zona di integrazione

∫ () ≔ 0 ϵ ℝ

Integrale nullo

∀, ∈ ℝ

*Proprietà di linearità ∫[ + ] = ∫ + ∫

Nicola Arangino – University of Rome “Tor Vergata”

Proprietà dell’integrazione

Rule Expression

Poniamo () = ()

Proprietà di sostituzione rispetto a variabile ′ ()

∫ (()) ∙ ≔ ∫ ()

()

()

[()]

≔ ()

−1 ()

Proprietà di sostituzione “inversa” rispetto a

variabile ′ ()

∫ (()) (()) ≔ ∫ (()) ∙

(USO RARO) −1

()

Simmetria degli integrali definiti con zona di ∫ () ≔ 0

integrazione simmetrica: Funzione dispari −

∫ () ≔ 2 ∫ ()

Simmetria degli integrali definiti con zona di

integrazione simmetrica: Funzione pari − 0

Nicola Arangino – University of Rome “Tor Vergata”

Regole di massima per l’integrazione di classi di funzioni notevoli

Class of functions Integral – Course of action

Razionali t.c. Si opera come di seguito:

() (Divisione tra polinomi)

∫ () = ()() + ()

() ⇓

() ()

deg () ≥ deg () = () +

() () ()

()

ove si integra con tecniche note, mentre è tale che

()

deg () < deg ().

si integra come nel caso ()

Razionali t.c. 1. Si scompone il denominatore

2. Si opera come di seguito:

•

() Metodo dei fratti semplici (formulone), ad esempio:

∫

() 2

3 + 2 − 5 +

() = + + +

deg () < deg () 2 2 2 2

(

+ 1)( + 1) +1 +1

o, altro caso

() 2

con scomponibile 3 + 2 − 5 (2 + 1) +

() = +

2 2

( + 1)( + + 1) + 1 + + 1

A parole, si divide una frazione in fatti semplici,

()

ciascuno con ogni fattore di al denominatore e,

per ciascuno, se ne appone uno elevato a ciascuna

molteplicità algebrica fino al grado massimo che

().

appare in Al numeratore, per ciascun fattore

(ignorando la molteplicità riportata in ciascun fratto), si

() deg () =

riporta un polinomio t.c.

deg(fattore) − 1. Può essere utile isolare da subito la

derivata di ciascun fattore di grado 2 o superiore, come

().

mostrato in

• Metodo di Hermite (facile per gradi alti), ad esempio:

2

3 + 2 − 5 =

2 2 3

(

+ 1)( + 1) 2

+ + +

= + + +

2 2

+ 1 + 1 ( + 1)

A parole, il metodo è analogo ai Fratti Semplici, con

sostanziali differenze: in fratti semplici appongo solo

molteplicità agebriche unitarie, mentre appongo la

() ()

derivata prima di una frazione , ove contiene

()

tutte le molteplicità “residue” (ignorate nei fratti

semplici: brutalmente, si abbassa di uno ogni

()), mentre () è un generico

molteplicità in

polinomio t.c. deg () = deg () − 1.

3. Si risolve il sistema nelle variabili alfabetiche maiuscole

(Un sistema lineare, risolvibile facilmente con l’algoritmo

di Gauss)

Nicola Arangino – University of Rome “Tor Vergata”

Class of functions Integral – Course of action

Razionali t.c. 1. Si utilizza la parte in al numeratore per far comparire

mediante i soliti artifizi algebrici (addizionare e sottrarre)

() ()

la derivata del denominatore

∫ 2. Ora si separa l